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赵春祥 《中学数学教学参考》2001,(11)
在三角函数这一章里 ,由于公式多 ,解题方法比较灵活 ,但有时若解法选择不当 ,不仅解起来十分麻烦 ,而且还会出错 .下面分析一例 .例 若ｃｏｓα -ｃｏｓβ=12 ,①ｓｉｎα-ｓｉｎ β=-13 .②求ｓｉｎ(α β) .对于①、②形式出现的三角习题 ,等式两边平方是常见解法 ,学生受其影响 ,产生了下面解法 .解 :①2 ②2 得2 -2ｃｏｓ(α -β) =1 33 6 ,所以有ｃｏｓ(α -β) =5972 ,①2 -②2 得ｃｏｓ 2α ｃｏｓ 2 β -2ｃｏｓ(α β) =53 6 ,即ｃｏｓ(α β)ｃｏｓ(α -β) -2ｃｏｓ(α β) =53 6 ,∴ｃｏｓ(α β) [2ｃｏｓ(α -β) -2 … 相似文献
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题目 已知ｃｏｓ(α π4) =35,2π ≤α <32 π 求ｃｏｓ(2α π4)解法 1 由ｃｏｓ(α π4) =35,可得 ｃｏｓα -ｓｉｎα =3 25… (1)再由ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1,得 :2ｃｏｓ2 α -625ｃｏｓα -72 5=0 ,解得ｃｏｓα =-210 或7210 ,又 π2 ≤α <32 π ,所以ｃｏｓα=-210 ,ｓｉｎα=-7210 ,所以ｃｏｓ2α=ｃｏｓ2 α-ｓｉｎ2 α=-2 42 5,ｓｉｎ2α =72 5所以ｃｏｓ(2α π4) =22 (ｃｏｓ2α -ｓｉｎ2α)=-3 1250 .解法 2 易知ｃｏｓα=-210 ,记ｘ =ｃｏｓ(2α π4)所以ｃｏｓ π4 ｃｏｓ(α π4) ｃｏｓ(2α π4) =[ｃ… 相似文献
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定理 1 设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓ2 αｓｉｎ( β γ)ｓｉｎ( β-γ) ｃｏｓ2 βｓｉｎ(γ α)ｓｉｎ(γ -α) ｃｏｓ2 γｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α - β) =0 . ( 1) 定理 2 设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｓｉｎ2 αｓｉｎ( β γ)ｓｉｎ( β -γ) ｓｉｎ2 βｓｉｎ(γ α)ｓｉｎ(γ-α) ｓｉｎ2 γｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α- β) =0 ( 2 ) 证明 沿用文〔1〕、〔2〕的方法 ,构造二元一次方程组ｘｃｏｓ2 α ｙｃｏｓ2 β =ｃｏｓ2 γ , (ａ)ｘｓｉｎ2 α ｙｓｉｎ2 β =ｓｉｎ2 γ . (ｂ)由 (ａ)、(ｂ)两式可得ｘｓｉｎ( β α)ｓ… 相似文献
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定理 设α、β、γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓαｓｉｎ ( β -γ) ｃｏｓβｓｉｎ (γ -α) ｃｏｓγｓｉｎ (α - β) =0 . ( 1)ｓｉｎαｓｉｎ ( β -γ) ｓｉｎβｓｉｎ (γ -α) ｓｉｎγｓｉｎ (α - β) =0 . ( 2 )证明 构造二元一次方程组ｘｃｏｓα ｙｃｏｓβ =ｃｏｓγ ,(ａ)ｘｓｉｎα ｙｓｉｎβ =ｓｉｎγ . (ｂ)由 (ａ)、 (ｂ)两式可得ｘｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎ(γ - β) ,(ｃ)ｙｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎ(α -γ) . (ｄ) 将 (ａ)式两边同乘ｓｉｎ (α - β)后 ,再将(ｃ)、 (ｄ)两式代入即得 ( 1) .将 (ｂ)式两边同乘ｓｉｎ (… 相似文献
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一、整体代入 解某些涉及若干个量的求值题时要有目标意识 ,将题中一些已知式子视作一个整体代入运算 ,可以避免非必求的量参与运算所带来的困难或麻烦 .例 1 已知ｔａｎαｃｏｔβ =5,求ｓｉｎ(α + β)ｃｓｃ(α - β)的值 .解 :∵ ｔａｎαｃｏｔβ =5,∴ ｓｉｎ(α + β)ｃｓｃ(α - β) =ｓｉｎ(α+ β)ｓｉｎ(α- β) =ｓｉｎαｃｏｓβ +ｃｏｓαｓｉｎβｓｉｎαｃｏｓβ -ｃｏｓαｓｉｎβ=ｔａｎαｃｏｔβ + 1ｔａｎαｃｏｔβ - 1=32 .二、整体变形 对于某些问题 ,只是静止地观察整体 ,或许仍然不能取得满意的效果 ,若作整… 相似文献
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题 : 已知α、β为锐角 ,且ｓｉｎ(α +2 β) =2ｓｉｎα,求角α的最大值 ,并求此时ｔａｎ(α +β)的值。这是南充市 8所重点中学 ,高中 2 0 0 2级第一次联考第 1 9题 ,试题遵循了“能力立意、强调综合、重视数学思想和方法考查”的高考命题原则 ,是整套试卷的把关题之一。现就它的解法作些分析并给出更一般性的结论。1 突出通法 ,获得结论直接展开求含ｔａｎα的三角函数的解析式 ,运用万能公式化简 ,利用基本不等式求α的最值。由题设知 ｓｉｎ(α +2 β) =2ｓｉｎα ,∴ｓｉｎαｃｏｓ2 β +ｃｏｓαｓｉｎ2 β=2ｓｉｎα ,∴ｃｏｓα… 相似文献
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1 安徽淮南十六中 刘华为 (邮编 :2 32 0 53)题 已知ｃｏｓαｃｏｓβ =1 /2 ,ｓｉｎαｓｉｎβ =ｍ ,求ｍ的取值范围。解一 ∵ｃｏｓαｃｏｓβ ｓｉｎαｓｉｎβ=( 1 /2 ) ｍ ,∴ｃｏｓ(α -β) =( 1 /2 ) ｍ ,∴ -1≤ ( 1 /2 ) ｍ≤ 1 ,∴ -3/2≤ｍ≤ 1 /2。又 -1≤ｓｉｎαｓｉｎβ≤ 1 ,故 -1≤ｍ≤ 1 /2。解二 仿照解法一易得ｃｏｓ(α β) =( 1 /2 ) -ｍ ,综合 -1≤ｃｏｓ(α β)≤ 1 ,得 -1 /2≤ｍ≤ 3/2。又 -1≤ｓｉｎαｓｉｎβ≤ 1 ,故 -1 /2≤ｍ≤ 1。解三 ∵ 1 /4 =ｃｏｓ2 αｃｏｓ2 β=( 1 -ｓｉｎ2 α) ( 1 -… 相似文献
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在三角函数这一章的学习过程中常遇到已知三角函数值求角度这方面问题 ,此类问题怎样求解较好呢 ?请看下面几例 :例 1 已知α、β都是锐角 ,且ｓｉｎα =55,ｓｉｎβ=1 01 0 ,求证 :α +β=π4.分析 ∵α、β都是锐角 ,且ｓｉｎα =55,ｓｉｎβ=1 01 0 ,∴ｃｏｓα =1 -ｓｉｎ2 α=1 -15=2 55. ｃｏｓβ=1 -ｓｉｎ2 β=1 -11 0 =3 1 01 0 .∴ｓｉｎ(α +β) =ｓｉｎαｃｏｓβ+ｃｏｓαｓｉｎβ=55×3 1 01 0 +2 55× 1 01 0 =22 .∴ α+β =π4.这种解法有没有错误呢 ?如果有 ,错误又在什么地方呢 ?∵ 0 <α<π2 ,0 <β<π2 ,∴ … 相似文献
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由正、余弦的三倍角公式ｓｉｎ3θ =3ｓｉｎθ- 4ｓｉｎ3 θ ,ｃｏｓ3θ=4ｃｏｓ3 θ- 3ｃｏｓθ ,可得衍生公式 1ｓｉｎ3 α =14(3ｓｉｎα -ｓｉｎ3α) ,ｃｏｓ3 α =14(3ｃｏｓα +ｃｏｓ3α) .衍生公式 1的优点是 :对正弦、余弦的三次乘方形式可直接降幕 .例 1 (1994年全国高考题 )求函数ｙ=1ｃｏｓ2 2ｘ(ｓｉｎ3ｘｓｉｎ3 ｘ+ｃｏｓ3ｘｃｏｓ3 ｘ) +ｓｉｎ2ｘ的最小值 .解 由公式 1,原函数变为ｙ=1ｃｏｓ2 2ｘ[ｓｉｎ3ｘ· 14(3ｓｉｎｘ-ｓｉｎ3ｘ) +ｃｏｓ3ｘ· 14(ｃｏｓ3ｘ+ 3ｃｏｓｘ) ]+ｓｉｎ2ｘ=1ｃｏｓ2 2ｘ(34ｓｉｎｘｓ… 相似文献
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在解决三角求值问题中 ,学生往往出现错解、漏解、增解甚至无从下手 ,原因是对题设条件理解不够深刻 ,不善于分析题设条件与结论中的角的相互关系 ,特别是对角的范围不注意 .本文通过例题说明上述问题 .一、注意考察轴线角这里所说的轴线角是指角的终边落在坐标轴 (ｘ轴或ｙ轴 )上的角 ,这些角的三角函数值为特殊值或不存在 ,解题时要小心 ,避免漏解、增解 .例 1 已知ｃｏｓα =3ｃｏｓ β ,ｃｏｔα =4ｃｏｔβ ,求ｓｉｎα .分析 题中涉及两个角α、β ,但求ｓｉｎα ,故可利用ｓｉｎ2 β+ｃｏｓ2 β=1消去 β角 .由题设条件 ,得ｓｉｎ… 相似文献
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题目 已知复数ｚ1 =ｉ(1 -ｉ) 3.(Ⅰ )求ａｒｇｚ1 及 ｜ｚ1 ｜ ;(Ⅱ )当复数ｚ满足｜ｚ｜=1 ,求｜ｚ-ｚ1 ｜的最大值 .(Ⅰ )解略 .下面给出 (Ⅱ )的七种解法 :解法 1 (三角形式法 )设ｚ=ｃｏｓα ｉｓｉｎα ,则ｚ-ｚ1 =(ｃｏｓα -2 ) (ｓｉｎα 2 )ｉ;∴ ｜ｚ -ｚ1 ｜=(ｃｏｓα-2 ) 2 (ｓｉｎα 2 ) 2=9 42ｓｉｎ(α-π4)≤ 9 42 =2 2 1 .上式等号当且仅当ｓｉｎ(α-π4) =1时取到 .从而得到｜ｚ-ｚ1 ｜的最大值为 2 2 1 .解法 2 (代数形式法 ) 设ｚ=ａ ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ) ,且ａ2 ｂ2 =1 ,则｜ｂ-ａ｜2 =｜ａ2 ｂ2-2ａ… 相似文献
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公式ｓｉｎ2 α ｃｏｓ2 α =1反映了同一个锐角α的正弦和余弦之间的关系 .应用这一关系 ,许多较复杂的问题可获得简捷的解答 .例 1 ｓｉｎ53°ｃｏｓ37° ｃｏｓ53°ｓｉｎ37° =.( 1 998年山西省中考题 )解 ∵ 53° 37°=90° ,∴ ｃｏｓ37°=ｓｉｎ53° ,ｓｉｎ37°=ｃｏｓ53°.∴ 原式 =ｓｉｎ2 53° ｃｏｓ2 53°=1 .例 2 已知ｓｉｎα ｃｏｓα=ｍ ,ｓｉｎα·ｃｏｓα =ｎ ,则ｍ、ｎ的关系是 ( ) .(Ａ)ｍ =ｎ (Ｂ)ｍ =2ｎ 1(Ｃ)ｍ2 =2ｎ 1 (Ｄ)ｍ2 =1 -2ｎ( 1 999年天津市中考题 )解 将ｓｉｎα ｃｏｓα =ｍ… 相似文献
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20 0 0年北京、安徽春季高考数学试题体现了以能力立意的命题思想 ,涌现出了许多考查能力的创新试题 .本文将对选择、填空题中的部分创新试题给出较简捷解法 ;对解答题中的把关题给出别解 ,并做简要评析 ,供大家参考 .选择题 ( 11) 解法 1(直接法 ) :∵ｚ2 =( 2ｓｉｎθ ｉｃｏｓθ)·[ｃｏｓ( - 34π) ｉｓｉｎ( - 3π4 ) ]=( 22 ｃｏｓθ- 2ｓｉｎθ) - ( 2ｓｉｎθ 22 ｃｏｓθ)ｉ,∴ｔｇφ =- ( 2ｓｉｎθ 22 ｃｏｓθ)22 ｃｏｓθ - 2ｓｉｎθ=2ｓｉｎθ ｃｏｓθ2ｓｉｎθ-ｃｏｓθ.又∵ π4 <θ <π2 ,∴ｃｏｓθ≠ 1,∴ｔｇφ… 相似文献
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一、选择题1 .ｓｉｎ2 π12 -ｃｏｓ2 π12 的值为 ( ) (Ａ) -12 (Ｂ) 12 (Ｃ) -32 (Ｄ) 322 .已知ｃｏｓαｃｏｓ β+ｓｉｎαｓｉｎ β =0 ,那么ｓｉｎαｃｏｓβ-ｃｏｓαｓｉｎ β的值为 ( ) (Ａ) -1 (Ｂ) 0 (Ｃ) 1 (Ｄ)± 13 .已知ｆ(ｔａｎｘ) =ｃｏｓ 2ｘ ,则 ｆ -22 等于( ) (Ａ) -2 23 (Ｂ) 0 (Ｃ) 13 (Ｄ) -14.化简1 +ｓｉｎθ-ｃｏｓθ1 +ｓｉｎθ+ｃｏｓθ等于 ( ) (Ａ)ｔａｎθ (Ｂ)ｃｏｔθ (Ｃ)ｔａｎ θ2 (Ｄ)ｃｏｔ θ25 .如果 1 -ｔａｎＡ1 +ｔａｎＡ… 相似文献
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运用三角变换固然是解三角题的基本方法 ,但由于三角中的诱导公式较多 ,因此就形成了丰富多彩的变换技巧 .本文试图通过挖掘知识间的横向联系 ,针对题目的特点 ,另辟蹊径 ,实施非三角变换 .这对于发展智力、活跃思维、提高能力大有裨益 .1 代数化策略将三角函数用字母代换 ,转化成代数问题求解 .例 1 已知ｓｉｎα-ｃｏｓα =12 ,求ｓｉｎ4α ｃｏｓ4α-ｓｉｎ2 αｃｏｓ2 α的值 .解 :设ｓｉｎα =ａ ,ｃｏｓα=ｂ ,则ａ2 ｂ2 =1ａ-ｂ=12,从而解得 ,ａｂ=38.∴ｓｉｎ4α ｃｏｓ4α -ｓｉｎ2 αｃｏｓ2 α =(ａ2 ｂ2 ) 2-3ａ2 ｂ2 =1 -… 相似文献
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严碧友 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):18-19
我们知道 ,ａｓｉｎα+ｂｃｏｓα =ａ2 +ｂ2 ｓｉｎ(α +φ) ,其中 φ角所在象限由ａ、ｂ的符号确定 ,φ角的值由ｔａｎφ =ｂａ 确定 ,这个公式称为辅助角公式 .该公式在解题中有广泛的应用 .一、求最值例 1 求函数 ｙ =3ｓｉｎ(ｘ +2 0°) +5ｓｉｎ(ｘ +80°)的最大、最小值 .解 :令θ =ｘ +2 0°,则ｙ =3ｓｉｎθ +5ｓｉｎ(θ +6 0°) =3ｓｉｎθ+512 ｓｉｎθ+32 ｃｏｓθ =112 ｓｉｎθ +52 3ｃｏｓθ=7ｓｉｎ(θ +φ) .∴ ｙ的最大、最小值分别为 7、- 7.二、求值例 2 若函数ｆ(ｘ) =ｓｉｎ2ｘ +ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- … 相似文献
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题目 已知 3ｓｉｎ2 α +2ｓｉｎ2 β =2ｓｉｎα,求ｓｉｎ2 α +ｓｉｎ2 β的取值范围 .错解 ∵ 3ｓｉｎ2 α+2ｓｉｎ2 β=2ｓｉｎα,∴ｓｉｎ2 α+ｓｉｎ2 β =ｓｉｎ2 α +12 ( 2ｓｉｎα -3ｓｉｎ2 α) =-12 ｓｉｎ2 α+ｓｉｎα =-12 (ｓｉｎα-1 ) 2 +12 .∵ｓｉｎα∈ [-1 ,1 ],∴ｓｉｎ2 α +ｓｉｎ2 β∈ -32 ,12 .剖析 在上述求解过程中 ,已注意到ｓｉｎα取值范围 :-1 ≤ｓｉｎα≤ 1 ,但是还没有注意到题设条件对ｓｉｎα的取值限制 .事实上 ,由 3ｓｉｎ2 α+2ｓｉｎ2 β=2ｓｉｎα ,得ｓｉｎ2 β=12 ( 2ｓｉｎα-3ｓ… 相似文献
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题目 判断函数 ｙ=1 ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ 的奇偶性 .不少学生是这样解答的 :ｙ =1 ｓｉｎｘ-ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ=2ｓｉｎ ｘ2 ｃｏｓ ｘ2 2ｓｉｎ2 ｘ22ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ2 2ｃｏｓ2 ｘ2=2ｓｉｎ ｘ2 (ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ2 )2ｃｏｓ ｘ2 (ｓｉｎ ｘ2 ｃｏｓ ｘ2 )=ｔｇ ｘ2 .∵ｆ(-ｘ) =ｔｇ(- ｘ2 ) =-ｔｇ ｘ2 =- ｆ(ｘ) ,所以函数 ｙ=1 ｓｉｎｘ-ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ 是奇函数 .初看 ,解答正确 ,其实结论是错误的 ,原函数既非奇函数也非偶函数 .之所以会产生这种情况 ,究其原因 ,一方面… 相似文献
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在三角函数的条件求值问题中 ,常需要运用整体观念 ,巧变角 ,沟通条件式和欲求式之间的关系 .现举两例说明 .例 1 已知ｃｏｓα-π3 =1 51 7.,-π2 <α<0 ,求ｃｏｓα的值 .分析 若将条件式ｃｏｓα-π3 直接展开求ｃｏｓα ,虽然思路清晰 ,但无疑有一定的计算量 .若将α-π3 看作整体 ,则ｃｏｓα =ｃｏｓα -π3 +π3=12 ｃｏｓα-π3 -32 ｓｉｎα-π3=1 53 4-32 ｓｉｎα -π3 ,∵ -π2 <α<0 ,∴ -5π6<α -π3 <-π3 ,∴ｓｉｎα -π3 =-81 7,∴ｃｏｓα=1 5+833 4.注 本题通过角的变换α=α-π3 +π3 ,只需求出ｓｉｎα -π3 的值… 相似文献
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徐龙虎 《宁波大学学报(教育科学版)》2001,23(5):123-124
三角类习题题型繁多 ,解法灵活 ,这要求学生在学习中 ,牢固掌握三角函数的概念 ,把握公式及变形技巧 ,熟练地运用图象与性质。学生在上述诸方面常常达不到要求 ,兼之不少学生解题时 ,思考不周或审题不慎 ,常常造成解题出现错误。本人结合自己的实践体会 ,就三角教学中学生普遍存在的错误进行剖析 ,供参考。一、混淆角的概念1、忽视轴线角例 1 ,已知ｃｓｃα=ｔ,求ｃｏｓα(高中代数上册Ｐ1 0 5,1 2题 )错解 ,由ｃｓｃα=ｔ得ｓｉｎα =1ｔ ｃｔｇα=± ｃｓｃ2 α-1 =± ｔ2 -1 ｃｏｓα=ｃｔｇα·ｓｉｎα=± ｔ2 -1ｔ (α是一、… 相似文献