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新教材明确指出 :将圆按照某个方向均匀压缩 (拉长 )可以得到椭圆因此椭圆与圆之间 ,可以通过伸缩变换转化 .三角函数图象变换中的周期变换和振幅变换实际上就是图象沿x轴和y轴方向上的伸缩变换 .由于我们对圆的性质相对于椭圆来说要熟悉得多 ,因此解决椭圆问题时 ,有时可化为圆来解决 ,只要利用伸缩变换即可 .例 1 求椭圆 x2a2 +y2b2 =1的斜率为k的一组平行弦中点的轨迹方程 .解 作变换 x′ =bax ,y′=y ,则椭圆化成圆x′2 +y′2 =b2 ,平行弦方程y=kx +m化成y′=abkx′ +m .易得在圆内平行弦中点的轨迹是垂直于弦且过圆心的直线y′=-bakx… 相似文献
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近期,《数学通报》问题解答栏目刊登了两道涉及椭圆点共线问题,给出的答案均比较烦琐,本文将用伸缩变换的方法给出比较简单的证明.首先介绍一下伸缩变换的有关内容.
在平面直角坐标系下,作如下伸缩变换变换:﹛x' =x y'=a/by,则椭圆b2x2 +a2y2=a2b2(a＞b＞0)变为圆:x2+ y2=a2. 相似文献
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纵观近年来高考很多试题源于课本高于课本,因此在高三数学复习中利用好课本的例习题对于提高复习的针对性、有效性至关重要,兹举两个例子加以说明.一、研究解法【例1】在椭圆4x52 2y02=1上求一点P,使它对两焦点F1、F2张直角.(以下称原题)解法1:设欲求点为P(x0,y0),又知左、右焦点为F1(-5,0)、F2(-5,0),由∠F1PF2=90°,有kPF1.kPF2=-1,即y0-0x0 5.xy00--50=-1,得x02 y20=25①又由椭圆方程得4x520 2y002=1②联立①、②解得x02=9,y20=16.再由对称性知所求的点为(3,4),(-3,4),(-3,-4),(3,-4).解法2:由题设知F1F2是过点P、F1、F2三点的圆… 相似文献
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孙道斌 《中学生数理化(高中版)》2005,(16)
对于椭圆x2/a2+y2/b2=1,令x’=x/a,y’=y/b,则椭圆方程变为:x’2+y’2=. 1,此为单位圆方程.这样,椭圆问题就可充分利用圆的性质来解决了.举例说明. 例1若直线l:x+2y+t=0与椭圆C:x2/9+y2/4=1相交于两点,求t 的取值范围. 解:令x=3x’,y=2y’,则椭圆C和直线l分别变成圆C’:x'2+y'2= 1和直线l':3x’+4y’+t=0. 相似文献
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给定椭圆c:(x~2/a~2) (y~2 b~2)=1,作线性变换:x′=x/a,y′=y/b,(*)则椭圆C变为单位圆C′:x′~2 y′~2=1.我们把变换(*)称为均匀伸缩变换,通过均匀伸缩变换可以把任意形状的椭圆变为单位圆,从而可利用单位圆的性质来解决椭圆的有关问题,为此,我们首先介绍均匀伸缩变换下的不变性,这些性质的证明可参看高等几何方面的书籍,也可利用解析几何知识给出初等证明,此处略去,有兴趣的读者不妨一试。 相似文献
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圆锥曲线有很多优美的几何特征,随着对其研究的逐步深入,新的几何性质不断被发现.下面就是笔者新近发现的椭圆的一个独特性质.定理椭圆的长半轴为a,短半轴为b,中心为O,过椭圆上一点P作长轴的垂线交辅助圆于点A,B,延长半径OA交P点的法线于点C,半径OB交P点的法线于点D,则OC=a b,OD=a-b,CP=PD.图1证明如图1,分别以椭圆的长轴、短轴所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系.设椭圆的方程为b2x2 a2y2=a2b2(a>b>0),辅助圆的方程为x2 y2=a2.设P点坐标为P(x0,y0),则b2x20 a2y20=a2b2,过切点P的法线方程为a2y0x-b2x0y=(a2-b2)x0y0.因为AB垂直于x… 相似文献
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<正>题目如图1,已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为31/2/2,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与N.(1)求椭圆的方程;(2)求→TM·→TN的最小值,并求此时圆T的方程;(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP、NP分别与x轴交于R、S,O为坐标原点,求证:|OR|·|OS|为定值. 相似文献
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性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2+y2/(1+λ)b21的椭圆;双曲线x2/a2-y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是双曲线上的点,直线OM与ON的斜率之积为b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2-y2/(1+λ)b2=1的双曲线;圆x2+y2=r2,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1,则动点P的轨迹是方程为x2 +y2=(1+λ2)r2的圆. 相似文献
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例1如图1,过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB.若点M在x轴上,且使得M F为△AM B的一条内角平分线,则称点M为该椭圆的“左特征点”.(1)求椭圆x25+y2=1的“左特征点”M'的坐标.(2)试根据(1)中的结论猜测椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的“左特征点”M是一个怎样的点,并证明你的结论.解析(1)设M'(m,0)(m<0)为椭圆x25+y2=1的“左特征点”,椭圆的左焦点为F'(-2,0),可设直线A'B'的方程为x=ky-2(k≠0),将它代入x25+y2=1,得(ky-2)2+5y2=5,即(k2+5)y2-4ky-1=0.设A'(x1,y1),B'(x2,y2),则y1+y2=4kk2+5,y1y2=-1k2+5.①… 相似文献
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<正> 在函数图象变换中,有一种变换叫做伸缩变换.伸缩变换在解析几何中也有广泛应用.本文举例说明伸缩变换在椭圆中的应用.椭圆C:(x2)+(y2)/(b2)=0(a>b>0),作变换f:(x/a,y/b)→(u,v),则C变换为uOv平面内的圆C’:u2+v2=1.由此可得下面几个重要结论: 相似文献
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曲线C在点P(x0,y0)曲率圆是与该曲线C相切于点P(x0,y0)(凹侧)的最大圆,曲率圆的圆心D的轨迹曲线G称为曲线G的渐屈线.抛物线y2=2px(p>0)、椭圆x2/a2+y2/b2=1和双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐屈线方程分别为y2=8/27P(x-p)3、x3/(c2/a2/3=1和x3/(c2/a2/3-y3/(c2/b)2/3=1.抛物线、椭圆和双曲线的最小曲率圆都是它们的内切圆,其方程分别为(x-P)2+y2=p2、(x±c2/a)2+y2=b4、(x±c2/a)2+y2=b4/a2. 相似文献
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李选伟 《中学生数理化(高中版)》2013,(10)
一、数形结合,善于观察图形,充分运用平面几何知识,寻找解题途径
例1 已知点P(5,0)和圆O:x2 +y2=16,过P作直线l与圆O交于A、B两点,求弦AB中点M的轨迹方程.
解:因为点M是弦AB中点,所以∠OMP=90°.点M是在以OP为直径的圆周上,此圆的圆心为(5/2,0),半径为5/2,其方程为(x-5/2)2+y2=(5/2)2,即 x2+y2-5x=0. 相似文献
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夏一生 《中学生数理化(高中版)》2005,(2):13-14
高中数学课本第二册(上)P57例2证明了:若圆的方程为x2 y2=r2,M(x0,y0)是圆上任一点,则过点M的圆的切线方程为x0x y0y=r2. 相似文献
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现行高中《平面解析几何》(必修本)复习参考题二第10题是:在椭圆x245 y220=1上求一点,使它到两焦点的连线互相垂直.(以下称原题)此题看似简单却回味无穷,在教学中可从多角度探究其潜能.1 原题的解法探究本题的解法较多,下面仅给出具有代表性的几种解法.解1 设欲求点为P(x0,y0),∵左、右焦点为F1(-5,0),F2(5,0),则PF1⊥PF2,故有kPF1·kPF2=y0x0 5·y0x0-5=-1,即x20 y20=25.又由椭圆方程得x2045 y2020=1.联立两方程解得x20=9,y20=16.由对称性知欲求的点P为(3,4),(-3,4),(-3,-4),(3,-4).解2 ∵∠F1PF2=90°,∴以F1F2为直径且过点P的… 相似文献
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孙东升 《数理化学习(高中版)》2003,(9)
恰当地运用平几知识,不仅可以简化运算,提高解题速度,而且可以进一步优化思维品质.本文介绍平几知识在有关方面的应用.一、求点例1 已知直线l:x+y-9=0和椭圆C:x2/25+y2/16=1,在直线l上取一点M,以椭圆C的焦点为焦点,并且经过M点作一椭圆,问点M 相似文献
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熊福州 《河北理科教学研究》2007,(1):1-3
全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册(上)(以下简称教科书)P89.10.题目求当点(x,y)在以原点为圆心,a为半径的圆周上运动时,点(x y,xy)的轨迹方程.经研究发现,题目解法丰富,意义广泛,可推广为解决诸多问题的通法.解法1:由已知,圆方程为x2 y2=a2,P(x0,y0)是圆上的点,Q( 相似文献
18.
《数理化学习(高中版)》2002,(2)
点P(x0,y0)在椭圆x2/α2 y2/b2=1内(外)部的充要条件是x0/α2 y0/b2(>1).利用这一结论解决有关椭圆的范围问题,往往简捷迅速. 例1 设直线l的方程为y=mx b,椭圆E的参数方程为{x=1 αcosθ,y=sinθ (α≠0.θ为参数)问α、b满足什么条件时,使得对任意m值来 相似文献
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徐祖德 《中学数学研究(江西师大)》2013,(3):29-30
2012年福建理科卷19题为:
如图,椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e =1/2.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. 相似文献
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解析几何中与椭圆相关的问题经常出现.此类问题的常规求解过程复杂繁琐,利用高中数学选修课程中的伸缩变换可以优化计算,降低解题难度.在变换φ:{x'=λx,λ>0,y'=μy,μ>0下,点P(x,y)的对应点为点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 相似文献