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通过高中实验教材9B课本,不仅可以学习传统的立体几何的有关知识,而且还可以用空间向量的有关结论去解决立体几何问题.用空间向量可以解决的立体几何问题包括线线平行、线面平行、面面平行等平行与共面问题;点到平面的距离、异面直线的距离、平行平面间的距离等空间距离问题;异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角的问题以及线线垂直、线面垂直、面面垂直等垂直问题.一共线共面问题主要解决三点共线,四点共面,线线平行等问题.这其中应用的主要定理有1.共线向量定理:非零向量b与向量a共线的充要条件是存在唯一确定的实数λ,… 相似文献
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解立体几何题的转化途径□兰州一中王国栋一、用定义转化立体几何中的许多题目，只要根据有关几何概念的定义，作出表示几何量的平面图形，就可以直接把空间问题转化成平面问题求解例１如图（１），Ａ１Ｂ１Ｃ１—ＡＢＣ是直三棱柱，∠ＢＣＡ＝９０°，点Ｄ１、Ｆ１分... 相似文献
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用构造法解立体几何题９例兰州市二中杜丕伶一、构造长方体例１．如图（１），ＰＤ⊥矩形ＡＢＣＤ，且ＰＤ＝ＡＢ，求平面ＰＡＤ与ＰＢＣ所成的锐二面角。分析：由已知可得线段ＰＤ、ＡＤ、ＣＤ两两垂直，可以此为三度构造长方体如图（２）。显然平面ＰＡＤ、ＰＢＣ各是侧... 相似文献
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人教版高中数学新教材第二册 (下Ｂ)综合运用几何推理和向量运算的方法研究立体几何问题 .用向量方法处理立体几何问题在某些方面较几何推理方便、简洁 .下面就举例谈谈用共面向量定理在处理关于共面问题上的优越性 .为方便起见 ,我们先介绍一下共面向量定理及其一个推论 .共面向量定理 :如果两个向量ａ、ｂ不共线 ,则向量ｐ与向量ａ、ｂ共面的充要条件是存在实数对ｘ、ｙ ,使ｐ =ｘａ+ ｙｂ .由上述定理易证它的一个推论 :对空间任一点Ｏ和不共线的三点Ａ、Ｂ、Ｃ ,若有ＯＰ=ｘＯＡ + ｙＯＢ +ｚＯＣ ,则Ｐ在平面ＡＢＣ内的充要条件为ｘ+ｙ… 相似文献
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在解立体几何题时 ,很多题都需要作辅助图形(线、面或体 ) ,这个问题是困扰学生的一个难点 .为此 ,笔者特写此文 ,以近些年的高考题为例 ,谈谈几种常用的分析、思考问题的方法 ,以供参考 .1 根据定义或图形的性质作图涉及与空间角、距离、射影等有关的问题时 ,可根据相关定义 ,结合作为知识载体的几何体的性质作图 .例 1 (1997年全国高考题 )在正方体ＡＢＣＤ -Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,Ｅ、Ｆ分别是ＢＢ1、ＣＤ的中点 ,求ＡＥ与Ｄ1Ｆ所成的角 .分析 本题要求两异面直线ＡＥ与Ｄ1Ｆ所成的角 ,可按异面直线所成角的定义 ,把Ｄ1Ｆ和ＡＥ平移到同一… 相似文献
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由向量基本定理可以得到 :设ＯＡ、ＯＢ是平面内两个不共线向量 ,则Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线的充要条件是存在唯一的一对实数ｘ ,ｙ ,使得ＯＣ =ｘＯＡ+ｙＯＢ且ｘ+ｙ =1.设ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ是空间不共面的向量 ,则Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共面的充要条件是存在唯一的一组实数ｘ、ｙ、ｚ ,使得ＯＤ =ｘＯＡ +ｙＯＢ +ｚＯＣ且ｘ +ｙ+ｚ =1.用好这两个充要条件 ,在证明有关问题时可省去很多证明过程 .例 1 已知ＯＡ =ａ ,ＯＢ =ｂ,ＯＣ =ｃ ,ＯＤ=ｄ ,ＯＥ=ｅ.又Ｏ、Ａ、Ｂ不共线 ,如果ａ=3ｃ,ｂ =2ｄ ,ｅ=ｔ(ａ+ｂ) .试问 :ｔ为何值时 ,Ｃ、Ｄ、Ｅ三… 相似文献
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刘忠君 《数理天地(高中版)》2003,(9)
应用向量方法解立体几何题的基本途径是:选择基向量,用基向量表示有关向量,把空间的几何关系转化为向量的关系进行运算、求解.本文介绍应用向量知识解决立体几何问题的三种基本方法。 相似文献
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二面角的平面角的作法有定义法 ,三垂线定理(或逆定理 )法和垂面法三种 ,在解决与二面角有关的问题时 ,人们都习惯于采用前两种方法 ,而极少用到后一种方法 ,其实有些关于二面角的问题 ,特别是棱未作出的二面角的问题 ,若用垂面法则更为简捷 .特举数例 ,仅供参考 .例 1 过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ ,引ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ ,若ＰＡ =ＡＢ ,则平面ＡＢＰ与平面ＣＤＰ所成二面角的大小是 .图 1解 如图 1,由ＰＡ⊥面ＡＢＣＤ ,知面ＰＡＤ⊥面ＡＢＣＤ .又ＡＢＣＤ为正方形 ,有ＡＢ⊥ＡＤ ,ＣＤ⊥ＡＤ ,得ＡＢ⊥面ＰＡＤ ,ＣＤ⊥面ＰＡＤ ,所以面… 相似文献
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高中教材 (Ｂ)引入了空间向量坐标运算 ,使得空间立体几何的平行、垂直、角、距离等问题的解决避免了繁琐的定性分析 ,通过建立空间直角坐标系进行定量计算 ,使问题得到了大大的简化 .一、求夹角问题例 1 ( 2 0 0 2年全国高考题 )如图 1 ,正方形ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ的边长都是 1 ,而且平面ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ互相垂直 .点Ｍ在ＡＣ上移动 ,点Ｎ在ＢＦ上移动 ,若ＣＭ =ＢＮ =ａ( 0 <ａ<2 ) .( 1 )求ＭＮ的长 ;( 2 )当ａ为何值时 ,ＭＮ的长最小 ?( 3 )当ＭＮ最小时 ,求面ＭＮＡ与面ＭＮＢ所成二面角α的大小 .解 ( 1 )以Ｂ为坐标原点 ,分别… 相似文献
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陶维林 《中学数学教学参考》2000,(10)
20 0 0年高考第 2 2题是一道平面解析几何题 :如图 1,已知梯形ＡＢＣＤ中 ,|ＡＢ|=2 |ＣＤ|,点Ｅ分有向线段ＡＣ所成的比为λ ,双曲线过Ｃ、Ｄ、Ｅ三点 ,且以Ａ、Ｂ为焦点 .当 23 ≤λ≤34 时 ,求双曲线离心率ｅ的取值范围 .这里介绍用《几何画板》来探究这道题的过程 ,并谈一点想法 .1.首先是作出双曲线 ,找出点Ｅ( 1)如图 2 ,在ｘ轴上取一点Ｂ ,作线段ＯＢ的垂直平分线 .( 2 )在ＯＢ的中垂线上取一点Ｃ .作Ｂ、Ｃ关于 ｙ轴的对称点 ,得到点Ａ、Ｄ .( 3)连结ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ ,用直线连结ＡＣ .( 4 )以Ｃ为圆心、ＣＢ为半径画圆 ,交直线Ａ… 相似文献
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求异面直线所成角的一种简便方法冒维玉（江苏省如皋市职业高中２２６５００）立体几何必修本总复习题第３题：图１如图１,ＡＢ与平面α所成的角为θ１,ＡＣ在平面α内,ＡＣ和ＡＢ的射影ＡＢ１成角θ２,设∠ＢＡＣ＝θ,求证：ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２＝ｃｏｓθ．①证明... 相似文献
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化归方法是指把有待解决或未解决的问题 ,归结为一类已经解决或较易解决的问题以求得解决的方法 .化归方法是数学方法论中的基本方法或典型方法之一 .在立体几何的学习中 ,常常可以通过化归方法将立体几何中的空间问题化归为平面问题加以解决 .本文介绍几种立体几何中常用的化归方法 .1 作射影由三垂线定理及其逆定理可知 ,平面内的一条 图 1直线与该平面的斜线及斜线在平面内的射影所成的垂直关系保持不变 .因此 ,通过射影可以将空间中的垂直关系转化为平面上的垂直关系加以解决 .例 1 三棱锥Ｐ-ＡＢＣ中 ,ＰＡ⊥ＢＣ ,ＰＢ⊥Ａ… 相似文献
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立体几何题中,有关度量性质的问题,例如长度、两直线所成的角、直线与平面所成的角以及两平面所成的角等问题,一般均可用向量的数量积来解决. 相似文献
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几何中 ,常将不太容易计算或不熟悉的图形的某些部分适当地向外延伸或者补加、移位 ,构成一个便于计算或推导的几何图形 ,这就是所谓的补形法 .在教材中 ,推导圆台面积、体积公式就是将圆台补形成圆锥而加以解决的 .例 1 把直角三角形ＡＢＣ沿直角Ｃ的平分线ＣＤ折成平面角为θ的二面角Ａ -ＣＤ-Ｂ ,求ＢＣ与平面ＡＣＤ所成的角 .解 ＣＤ是直角Ｃ的平分线 ,如图 1,可以把直角三角形ＡＢＣ补成两个正方形ＧＦＥＣ和ＣＥＢＨ ,翻折后形成直三棱柱ＧＣＨ—ＦＥＢ ,显然∠ＢＥＦ =θ.作ＢＭ⊥ＥＦ ,垂足Ｍ在ＦＥ或其延长线上 .∵面ＢＥＦ ⊥面… 相似文献
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白进忠 《数理化学习(高中版)》2013,(6):51-52
纵观高考数学新课标卷,立体几何试题基本上以三棱柱、三棱锥或四棱柱、四棱锥等多面体为载体,研究空间线面的位置关系、空间角与距离的计算.解法上,仍然是一题两法(几何法与向量法).事实上,考生用向量法来解答立体几何问题的得分率要比用几何法的得分率高得多.在用向量法证明关系或求 相似文献
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众所周知 ,在平面几何中 ,如遇条件中有中点 ,那么中线、中位线、平行线是重要辅助线 .在立体几何的学习中 ,我们要善于借鉴平面几何中作辅助线的一般规律 ,善于从中点入手考虑问题 .一、利用中点 ,创造平行关系利用中点 ,巧妙地得到平行关系 ,是求异面直线所成的角的有效途径 .例 1 如图 1 ,棱长为1的正方体ＡＣ1 中 ,Ｏ是ＡＢＣＤ的中心 .求异面直线Ａ1 Ｏ与ＢＤ1 所成角的余弦值 .解 取ＤＤ1 中点Ｅ ,连结ＯＥ、Ａ1 Ｅ ,则ＥＯ ∥Ｄ1 Ｂ ,∠Ａ1 ＯＥ为异面直线Ａ1 Ｏ与ＢＤ1 所成角 .在 Ａ1 ＯＥ中 ,ＯＥ =12 ＢＤ1 =32 ,Ａ1 Ｏ= 62 ,… 相似文献
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尹承利 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):18-19
一题多解 (证 )是培养同学们创新思维能力的一条有效途径 .平时做题、解题 ,若每题都能从多角度去分析思考、寻找方法 ,对于拓宽大家的解题思路 ,是颇有益处的 .下面对一道立体几何题给出四种不同的解法 ,供同学们参考 .例 如图 ,△ＡＢＣ是以∠Ｃ为直角的直角三角形 ,ＰＡ⊥平面ＡＢＣ ,ＰＡ =ＡＣ =2 ,ＢＣ =2 ,求二面角Ａ ＰＢ Ｃ的大小 .分析 1:利用三垂线定理作出二面角的平面角 ,然后通过解三角形求出 .解法 1:如图 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,过Ｃ作ＣＨ⊥ＡＢ于Ｈ .因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣ ,所以ＣＨ⊥ＰＡ ,从而ＣＨ⊥平面ＰＡＢ .在Ｒｔ△… 相似文献
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张国良 《数理天地(高中版)》2002,(7)
求空间角(异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角)的大小,是立体几何中的一大类问题.本文说明用向量知识分析,可以把几何关系迅速转化为数量关系,从而求出角的大小.优点是思路清晰,过程简捷. 相似文献
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用向量解决平面几何问题 ,首先是在图形中选出一对不平行的有向线段 ,设为ａ、ｂ ,则平面内的其他有向线段均可用ａ、ｂ惟一表示 ,即ＡＢ =ｐａ +ｑｂ .有序实数对 (ｐ ,ｑ)可看成ＡＢ的“坐标” ,这里近似于复数 ,但它的优点在于直观性 ,ａ、ｂ可以是不互相垂直 ,同时起始点可以任意选定 ,从而对于解决几何问题有着较大的自由度 .本文仅就两个方面说明它的价值 . 一、证明三点共线定理 1 Ａ、Ｂ、Ｃ为平面上不重合的三点 ,则Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线 ＡＢ∥ＡＣ 存在实数λ,使ＡＢ =λＡＣ .定理 2 ａ∥\ｂλａ + μｂ =0 λ + μ =0 .图 … 相似文献