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1.
杨仁宽 《数学大世界(高中辅导)》2004,(9):16-17
现就儿种常用的添项技巧,分类例析如下. 1.利用“整体‘,恰当添项 【例1】若a、b、c呀R+,a,+b3+。3妻ab‘(当且仅当a二b一‘时,“~”成立). 这是新教材的定理2,书中证明是: 丫矿十b3+护一abc=(a十b)“十c3一3aZb一3动2一3abc==(a+6+。)[(a+乙)“一(a+b)“+eZI 一3abc(“+b十c)一(a十b十c)(a“十夕十了一ab一阮一ca) 1,,,、厂/一令(a+b+c)}(a一b)乙+(b一c)“ 2”一’一’一‘二、一 +(。一a)“〕)o :.a3+b3十‘3)abo. 显然,当a一b一。时,“一”成立、 这种证明方法(比较法)中的第一次添项(即第一步变形),技巧性强、不易想到;第二次添项(即… 相似文献
2.
《数学教学研究》1985,(2)
(1)D,(2)C,(3)C-(4)B,(5)D二、(1)(2)(5)(7,3或6,{△月BC的外心},(3)含了了,言(4)40, (2)因为厂二abc,l=训a么+b“+cZ 由云(aZ+b“+eZ))刃a ZbZe盔得 〔香(aZ+b“+cZ)〕“》a 2 b 2e2,两边开平方,得192二+432/二,1),万一1=(6)(一3,1)乡“一2’”p)abc,4劣一39一5=0或4,+3夕一22“0. 三、图如右下: 四、证设长方体一个顶点上的三条棱长分别为a、石、c,不妨设a>b>e.(1),..(a一b)2+(b一c)2(华共亘二)3即(劫3淤,.’.+(a一e)“)0,即+bZ+e么))Zab+ :aZ+b“+eZ ,’ .212>:即 2(aZ+Zbe+2 ae二12,2(ab+be+ae)“s,s(212 五、证如图2。 (1)丫犷… 相似文献
3.
《中学生数理化(高中版)》2007,(9)
乳1.已知ab护O，求证:a b一1的充要条件是a3 b3 ab一矿一b2一0. (山西阔春梅)解答:(l)充分性.若r 尸 。b一aZ一bZ=o，即(a b)(aZ一ab bZ)一(aZ一。b十bZ)=0，则(aZ一ab bZ)(a b一1)一0.因ab护O，所以a护O，b并o. lb、2 .3，，、_~~.，，_。~:，_，田a’一“。十b’~ta一二犷 相似文献
4.
由a3+b3+e3一3abc=(a+b+e)(aZ十bZ+eZ一。b一bc一c。),则当a+b+‘~o时,有aa+b3+‘,一3abc. 下面例谈上述条件等式在解题中的应用. 例i已知。一b一3,那么a3一b,一gab的值是(). (A)3(B)9(C)27(D)81 (第9属“希望杯”初二赛题) 解丫a十(一b)+(一3)=0, .,.“3十(一b)3十(一3)3~3召·(一b)·(一3), 即a3一吞3一gob~27.故应选C· 例2已知。+b~5,那么矿+15ab+bs的值是(). (A)5(B)25(C)75(D)125 解‘:a十b十(一5)=o, 一。,+b,十(一5)3=3ab·(一5), 即a3+b3+15ab~125.故应选D. 例3如果a+b一6,a3+b3=72,那么。2+b,的值是 (第7届“希望杯”初二赛… 相似文献
5.
题目若a、b、c为三角形的三边,求证:a’一b,一cZ一Zb二<0. 证矿一护一‘2一Zbc 一aZ一(bZ+Zbc+cZ) 一““一(b+c)2 一(二十b+c)[a一(b十。)工 根据三角形中两边之和大于第三边的性质,a一(b十c)相似文献
6.
《时代数学学习》2001,(14)
解设长方体三边分别为“,b,c,则ul,’-一667(。,b,c为正实数).又因为‘:,十夕一卜少一3“阮 一(“一卜b)“一3ab(“卜b)礴O 一3abc+c,一[(a+b)3+护]一[3ab(a+b)+3“bc]一(“+b+c),一3(“一卜b)·c(“+b一卜c)一3ab(a+b一}一c)一(“一卜b+c)(矿+夕十‘2一ab一bc一‘a) 一孟(“十“+·):(。一。)2+(。一)2+(一。)2〕,上述等式的右端的式子可明显看出大于或等于零, :.川十夕十尸一3ob’)0,即丫十澎+少妻2 001,当a一乃一c时,取等号. 故。3十尸+尸的最小值是2001. 编者按有不少同学是这样解的:因为长方体体积一定,要使三边立方和最小,则这个长方… 相似文献
7.
代数式的恒等变形 ,是中学数学的重要内容 ,是学好数学的一项基本功 .由于等式的类型 ,形式的多样性 ,因此必须掌握丰富的基础知识 ,采用灵活多变的技能技巧 ,对等式进行变形 ,下面根据题的类型 ,举例说明代数式恒等变形的常用方法 .1 因式分解法例 1 求证 :a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) abc(a b c) =(ab bc ca) (a2 b2 c2 ) .分析 等式左边较繁 ,选择从左到右证法 ,对左边进行变形整理 ,考虑到右边是两个因式的乘积 ,因此将左边进行因式分解 .证明 左边 =a3 b a3 c b3 c b3 a c3 a c3 b a2 bc ab2 c abc2 .=a2 (ab bc ca) b… 相似文献
8.
蒋明斌 《中学数学研究(江西师大)》2006,(2):48
1.题目 2004年西部数学奥林匹克最后一题为〔‘〕:求证:对任意正实数a,b,。都有(5)即得不等式(1). 很显然,定理等价于如下的: ,ab1<-一二二二二三二吧十一一二二二二二二二;十 产2卫12,王2卫Z 冲“一「U、“O一「C命题设a,b,。)0,则(!)当几)8时,有 3丫1十几毛一李二一 吸2十肋2 b‘bZ 久cZ了O︸一c一 一2.溯源令x二扩,y=护,二=。“,则不等式(1)等价于cZ 只aZ 当8>久>0时1/‘x.「y,\丫舟y丁勺厂二下\/3、亿,,、飞一丁仪)l<一旦_ 丫厂沪下反乎,有 一b十、bZ 几cZ CcZ 几aZ 一X内‘一 一z 式(2)的右侧的不等式最早是文「2」的一个猜想,… 相似文献
9.
黄细把 《数理天地(初中版)》2003,(9)
夕,几口尸月J‘J、切~‘r闷目,曰一口目J子、-‘~户Jj 代数学习中,含条件a+b+。一0的问题屡见不鲜.解此类题时,可考虑以下三种转化. 1.移项 例1已知a十b+。=o,a‘十b‘+c峨一1,那么a(b+。)“+b(。+a)“+。(a+b)“=(D)解不能确定是正数、负数或零. (02年十三届希望杯初二竞赛)易得,(a+b+。)2=o,即解由 (96年聪明杯初一竞赛)a+b+‘一O,得 b+e=一a,c+a=一b,a+b故原式=a(一a)3+b(一b)3+。(一一—C。c)“ 矿十少十了+2(ab十阮+ca)一。, 1 ab+加+ca-一音(丫+梦+c“). 一.一,一2、一因为ab。<0,所以 a共O,b笋O,c界0,aZ+bZ+cZ>0.即ab十阮十ca<0… 相似文献
10.
由完全平方公式容易得到 矿+夕+护一ab一bc一‘a一喜「(。一。)2+(。一。)2+(二一二)2〕. 乙一一 公式(二)是轮换对称式,应用它解一类竞赛题,简捷明快.下面举例说明. 例1如果a、b、‘是△ABC的三条边的长,且满足a“十夕一劝一c(二+b一c),那么△ABC的形状是(). (哈尔滨市第十五届初中数学竞赛试题) 解将已知条件变形整理得 aZ+bZ+cZ一“b一be一c。=0. 由公式(,),得 (a一b)2+(b一e)2+(c一“)2一0. 由非负数性质,得 a一b一b一‘一‘一a~O。 :。a一b~c. 故△ABC是等边三角形. 例2已知口一b一2+甲厂云-,b一。一2一丫一5-,则矿十夕+护一ab一… 相似文献
11.
12.
《中等数学》2014,(11):10-14
第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明:
ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4.
证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数.
对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0.
则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c)
＜0＜abc/2+1/4.
对于后一种情形,由舒尔不等式有
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)
≥0
(→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc
≥0.①
记p =ab +bc +ca,q=abc.
由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0.
从而,p≤9q/4+1/4.
因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以,
√q≤√1/3＜2/9.
于是,9q＜2√q.
故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4
(→) ab+bc+ca＜√abc+1/4. 相似文献
13.
一类三元分式不等式及其证明 总被引：1，自引：1，他引：0
宋庆 《中学数学研究(江西师大)》2008,(10)
本文旨在介绍几个新颖有趣的三元分式不等式,并给出它们的巧妙证明.例1已知a,b,c为满足abc=1的正数,求证:1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)≤1.证明:因bc ca ab≥3(abc)~(1/3)=3,故1-(1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)) =1-(bc ca ab 4(a b c) 12)/((2 a)(2 b)(2 c)) 相似文献
14.
<正>命题在△ABC中,a、b、c分别为其三边长,R、r分别为其外接圆和内切圆半径,则有a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc≥4-2r()Rabc≥3abc.证明先证明a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc.由于a、b、c是三角形的三边长,所以有a+b>c,即a+b-c>0,同理有b+c-a>0,c+a-b 相似文献
15.
题目已知a一199ox+1989,b=199ox十1990,e=1990x+1991,求矿+夕十‘2一。b一bc一。的值. (1991年武汉等五市初中数学联赛) 解由已知条件,可得 b一a~1,c一b一1,c一a一乙 “2+bZ+cZ一ab一be一c口一合(Za’+“b’一合仁(b’一“ab+2c2一2口b一Zbc一Zc口)+矿)+(c2一Zbc+夕)+(c2一2c倪+。2)〕一音〔(b一a)2+(C一,)2十(e一a)2」一合(12+12+22) 一3. 通过观察不难发现,本试题可作如下推广: 已知a。一al十1,a3一。,十2,…,。,一al+、是正整数,求川十暇+…+武一久。:一气a3一·一的值. 解由已知条件,可得 a:一。z=1,。3一“2一1,…,口,一“二一i=1,… 相似文献
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第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2, 相似文献
17.
命题:直角三角形弦的立方大于勾股立方和. 设勾,股,弦分别为a,b,。,则需证。,)as+b3。证1:’.’ aZ+bz)Zab,3a“b“>aZb“, :,3a‘b’+3a“b峨)Za’b“. .,. a6+3a4b2+3a2b4+bs )a”+Za“b“+b”, 即(aZ+bZ)“>(a3+b3)2,又c名=a“+b“, 亦即e3>a“+乙“. 证2:因e>a,e>b,故 cs=c(a忍+bZ) >a,aZ+b,62=a3+b”. 证3:如图,分别以a,b,c为棱作立方体.那么, bZ=岔e, aZ=ee- 而b3相似文献
18.
一道IMO预选题的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
第37届(1996年)IMO中有如下一道预选题:若a,b,c,∈(0,+∞),且abc＝1.试证: (ab)/(a5+b5+ab)+(bc)/(b5+c5+bc)+(ca)/(c5+a5+ca)≤1. 相似文献
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20.
本文证明一个立方公式 ,通过这个公式能使一些涉及立方的问题得到轻松的解决 .这个公式是 :a3 b3 c3-abc=(a b c) (a2 b2 c2 -ab-bc-ca) . ①证明 由立方和公式a3 b3=(a b) (a2 -ab b2 )以及和的立方公式 (a b) 3=a3 b3 3ab· (a b) ,则a3 b3 c3- 3abc=(a b) 3 c3- 3ab(a b) - 3abc=(a b c) [(a b) 2 - (a b) ·c c2 ]- 3ab(a b c)=(a b c) [(a b) 2 - (a b)·c c2 - 3ab]=(a b c) (a2 b2 2ab-ac -bc c2 - 3ab)=(a b c) (a2 b2 c2 -ab -bc-ca)公式①是一个十分重要的公式 ,在①中 ,若a b c=0 ,则有a3 b3 c3=3abc. ②以下举… 相似文献