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我们知道,因式分解可以用矩形纸片拼成的图形面积来解释.例如,ma mb mc=m(a b c),它可以由三个小矩形拼成的一个大矩形来形象地解释又(如如图,公1)式.a2-b2=(a b)(a-b),可以由边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形的图形,剪拼成一个长为a b,宽为a-b这的种矩矩形形来拼解 相似文献
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我们知道,用矩形纸片拼成的图形面积可以解释因式分解.如图1,由三个小矩形拼成一个大矩形可以形象地解释ma+mb+mc=m(a+b+c).反之,利用因式分解也可以为拼图提供思路和方法.如图2,公式a2-b2=(a+b)(a-b)可以帮助我们把阴影部分(边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形)拼成一个长为a+b,宽为a-b的矩形.下面举例说明矩形拼图与因式分解之间的联系.例1如图3,由1个长、宽分别是a、b的矩形,2个边长为a的正方形拼接成矩形ABCD,根据题中所提供的数据,请你写出三个因式分解的等式.解:若将矩形ABCD看成由3个图形构成的,利用拼接前后面积不变可… 相似文献
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数形结合既是一种基本的、重要的数学思想,又是一种有效的解题方法.所谓数形结合,就是“形”中觅“数”,“数”中思“形”,取数的严谨与形的直观,掌握其联系,进行数与形的转化.要提高数学的解题能力,必须提高数形结合、数形转换的能力.本文笔者以最新的中考数学试题为例,分类对用数形结合法解题的考查要点、思路和策略作点拨,期望对同学们有所启发与帮助.一、验证类[例1]在边长a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b,如图1),把余下的部分拼成一个矩形(如图2),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证(A)(a+b)2=a2+2ab+b2(B)(a-b)2=a… 相似文献
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一、结论开放题例1 (2002 年济南市中考题)请你观察图 1 中的图形,依据图形面积的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是 .分析 利用面积关系即可列出x2 -y2 = (x-y)2 +2(x-y)y,变形后得(x+y)(x-y) = x2 -y2,或x2 -y2(x+y)(x-y),或(x-y)2 = x2-2xy+y2在上述公式中任意选一个即可.例2 (2003年陕西省中考题)如图2(1),在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形,如图 2(2),通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是 .点点滴滴分析 利用面积关… 相似文献
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一、选择题1.如图1,在边长a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个长方形(如图中阴影部分),剪拼前后两个图形的面 相似文献
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原题:如图1,一个面积为51cm2的正方形与另一个小正方形并排放在一起,则△ABC的面积是___cm2.(第十届希望杯赛题)探索:设大正方形的边长为a,小正方形边长为b,则a2=50.法1特殊值法.由题意知S△ABC与b的大小无关(b相似文献
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一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常… 相似文献
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今年全国高等学校统一招生数学试题(理工农医类)中的附加题,源出于斐波那契数列,也是教材中一个习题的变形和发展。此题证法很多,下面略举几种。题已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图)。设AC=a,BC=b,作数列 u_1=a-b u_2=a~2-ab+b~2 u_3=a~3-a~2b+ab~2-b~3, ………… u_k=a~k-a~(k-1)b+a~(k-2)b~2-…+(-1)~kb~k;求证:u_n=u_(n-1)+u_(n-2) (n≥3)。证一由平面几何知识得 ab=AC·CB=CD~2=1, a-b=AC-CD=AC-AF=FC=1。由通项公式得 相似文献
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张恒 《数理化学习(初中版)》2002,(1)
完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2中含有两个等式,若用“加减法”对它们重新组合,则容易得出以下两个推论: a2+b2=1/2(a+b)2十1/2(a-b)2 ①ab=1/4(a十b)2-1/4(a-b)2 ②如能灵活运用上述推论,则可较简捷地解决一类竞赛题. 相似文献
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完全平方公式的变形运用广泛,灵活多变,对学生解题能力的训练有很大的功效.现举几例说明它的应用. 完全平方公式的变形有如下几种形式: 1.(a+b)~2=(a~2+b~2)~2+2ab; 2.(a-b)~2=(a~2+b~2)~2-2ab; 3.(a+b)~2+(a-b)~2=2(a~2+b~2); 4.(a+b)~2-(a-b)~2=4ab. 相似文献
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蔡一斌 《数理天地(初中版)》2002,(6)
题设C是直角三角形斜边长,a、b是两直角边长.求证:a+6≤√2c. 证法1 递推 a+6≤√2c,两边平方得 a2+2ab+b2≤2c2,把a2+b2=c2代入上式,得 a2+2ab+b2≤2(a2+b2),化简得 (a-b)2≥0. 这是显然成立.由于以上几步是可逆的,倒过来即可得此题的证明过程.逆向思维是一种重要的 相似文献
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将完全平方公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2,(a-b)~2-2ab+b~2进行变形后易得以下几个公式:a~2+b~2=(a+b)~2-2ab=(a-b)~2+2ab,(a+b)~2=(a-b)~2+4ab(a-b)~2=(a+b)~2-4ab,(a+b)~2-(a-b)~2=2(a~2+b~2),(a+b)~2-(a-b)~2=4ab,(和差化积公式)ab=(a+b/2)~2-(a-b/2)~2.(积化和差公式) 相似文献
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1简单结论
若a,b均为正数,则有
a3 +b3≥a2b+ab2.(1)
这是一道容易的试题,只要作差即可得证,证明过程如下:
a3 +b3-a2b-ab2
=(a2-b2)(a-b)
=(a+b)(a-b)2≥0.
当且仅当a=b时上述等号成立.我们把它称为结论(1).
2精彩应用
案例1 (2017年高考全国Ⅱ卷文科数学试题)已知a＞0,b＞0,a3 +b3 =2,证明:a+b≤2. 相似文献
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题目 (2017年高考全国Ⅱ卷文科数学第23(Ⅱ)题)已知a＞0,b＞0,a3 +b3=2.证明:a+b≤2.
证法1不等式的变形.
因为a＞0,b＞0,a3 +b3=2,
所以a+b＞0,且(a-b)2≥0.
从而(a+b)(a-b)2≥0,即有
a2b+ab2≤a3 +b3=2.
不等式两边同乘以3得
3a2b+3ab2≤6.不等式两边同加a3+b3得
a3 +b3 +3a2b+3ab2≤8,即 (a+b)3≤8,所以a+b≤2.
证法2反证法. 相似文献
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朱保华 《第二课堂(小学)》2006,(11)
由于证明不等式的方法多种多样,因此它既是不等式这一章节的重点,也是高考命题的热点.为了提高同学们的发散思维能力及创新能力,本文特精选了一道例题,利用一题多解的形式来帮助同学们拓展解题思路.例题已知a、b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1a)(b+b1)≥245.证明一(综合法)因为a、b∈R+,且a+b=1,所以(a+1a)(b+b1)=(a+41a+43a)(b+41b+43b)≥(1+43a)(1+43b)=1+1261ab≥1+4(a2+1b)2=245.证明二(分析法)要证(a+1a)(b+b1)≥245,即证4(a2+1)(b2+1)≥25ab,也即证4a2b2+4a2+4b2+4≥25ab,整理得4a2b2+4(a+b)2-8ab+4≥25ab,即4a2b2-33ab+8≥0,即证(4ab-1)(ab… 相似文献
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《湖南教育》2006,(24)
37.已知正方形ABCD与正方形BEFG相连,且正方形ABCD的边长为a,求S△AFC.解:如图,连接BF,易证得AC∥BF.过点B、F分别作AC的垂线,垂足分别为M、N,则BM=FN.显然,则有S△AFC=S△ABC=12a2.38.若a,b,c∈R ,ab bc ca=1,求证:aa #!1 a2 b #!b1 b2 c #!c1 c2≤1.证明:分母有理化,得a$#!1 a2-a% b$#!1 b2-b% c$#!1 c2-c%≤1.上式等价于a#!1 a2 b#!1 b2 c#!1 c2≤1 (a2 b2 c2).(*)注意到1 a2=ab bc ca a2=(c a)(a b),1 b2=ab bc ca b2=(a b)(b c),1 c2=ab bc ca c2=(b c)(c a).那么,应用二元均值不等式,有a#!1 a2 b#"1 b2 c##1 c2=a#!(… 相似文献