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换元法是十分重要的数学方法 ,特别是在中考解分式方程时应用极广 .那么如何恰当地换元 ,则要根据各个方程自身的结构特点加以分析 .一、整体换元例 1 解方程 :ｘｘ- 12 - 5 ｘｘ- 1 +6 =0 .(2 0 0 1年新疆生产建设兵团中考题 ) 解 设ｙ=ｘｘ - 1 ,则原方程可化为ｙ2 - 5ｙ+6=0 .解得ｙ1 =2 ,ｙ2 =3.当ｙ=2时 ,ｘｘ- 1 =2 .解得ｘ=2 .当ｙ=3时 ,ｘｘ- 1 =3 .解得ｘ=32 .经检验 ,ｘ1 =2 ,ｘ2 =32 是原方程的根 .二、倒数换元例 2 解方程 :ｘ2 -ｘ- 1 2ｘ2 -ｘ- 4 =0 .(2 0 0 1年黑龙江省哈尔滨市中考题 ) 解 设ｙ=ｘ2 -ｘ,则原方程可化… 相似文献
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一、填空题 (每小题 2分 ,共 2 0分 )1 .- 23的相反数是 .2 .分解因式 :ａ2 +ｂ2 - 2ａｂ - 1 =.3.若 |ｘ - 2 | +ｙ - 3=0 ,则ｘｙ =.4 .已知方程ｘ2 - 5ｘ -ｘ2 - 5ｘ =2 .用换元法解此方程时 ,如果设ｙ =ｘ2 - 5ｘ ,那么得到关于ｙ的方程是 (用一元二次方程的标准形式表示 ) .5.已知两圆半径分别为 4和 5.若两圆相交 ,则圆心距ｄ应满足 .6 .某种收音机 ,原来每台售价 4 8元 ,降价后每台售价 4 2元 ,则降价的百分数为.图 17.如图 1 ,已知Ｏ是 ＡＢＣＤ的对角线交点 ,ＡＣ =38ｍｍ ,ＢＤ=2 4ｍｍ ,ＡＤ =1 4ｍｍ .那么 ,△ＯＢＣ的周长等… 相似文献
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换元法是将无理方程转化为有理方程、将分式方程转化为整式方程的重要方法 ,它可以起到将方程次数降低、形式化简的作用 .因而换元法是中考、竞赛中考查的重点内容 .例 1 解方程 :ｘ2 +ｘ +1-6ｘ2 +ｘ=0 .( 2 0 0 0年北京市中考题 )解 设ｙ =ｘ2 +ｘ ,则原方程变形为ｙ +1-6ｙ =0 .去分母整理 ,得ｙ2 +ｙ -6=0 .解得ｙ =-3或ｙ =2 .当ｙ =-3时 ,ｘ2 +ｘ =-3,即ｘ2 +ｘ +3=0 .方程无实数根 .当ｙ =2时 ,ｘ2 +ｘ =2 ,即ｘ2 +ｘ -2 =0 .解得ｘ1=-2 ,ｘ2 =1.检验略。评注 换元的实质就是将代数式 (ｘ2 +ｘ)看做一个整体 .当然我们也可将 (ｘ2… 相似文献
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加强“用数学的意识”是新大纲的要求 ,而分期付款与纳税问题则体现了这一点 .例 1 某商店为了促销Ｇ牌空调机 ,规定在 2 0 0 0年元旦那天购买该机可分两期付款 ,在购买时先付一笔款 ,余下部分及它的利息 (年利率为 5 6% )在 2 0 0 1年元旦付清 .该空调机售价每台 82 2 4元 ,若两次付款数相同 ,问每次应付款多少元 ?( 2 0 0 0年浙江省宁波市中考题 )解析 显然 ,本题应建立方程模型求解 .设每次付款ｘ元 ,依题意 ,得( 82 2 4-ｘ) ( 1 +5 6% ) =ｘ.解之 ,得ｘ =42 2 4.答 :每次应付款 42 2 4元 .例 2 在某居民小区按照分期付款的福利售房形… 相似文献
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一、忽视二次项系数不为零例 1 已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -4ｘ +4=0有实根 ,求ｍ的取值范围 .( 2 0 0 0年新疆乌鲁木齐市中考题 )误解 ∵ 方程有实根 ,∴ Δ =( -4 ) 2 -4×ｍ× 4≥ 0 .解得ｍ≤ 1.∴ ｍ的取值范围是ｍ≤ 1.评析 一元二次方程ｍｘ2 -4ｘ +4=0有实根的条件是 :( 1)二次项系数ｍ≠ 0 ;( 2 )Δ≥ 0 .错解只考虑了( 2 ) ,而忽视了 ( 1) ,即忽视了二次项系数不为零这一条件 .故正确结果是 :ｍ≤ 1且ｍ≠ 0 .值得说明的是 ,若题中未有“一元二次”四个字 ,则前面的解法是正确的 .同学们想一想 ,这是为什么 ?二、忽视… 相似文献
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知识链接 三角形内角和定理 :三角形三个内角的和等于180° .推论 1:直角三角形的两个锐角互余 .推论 2 :三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 .推论 3 :三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 .一、求角度例 1 若一个三角形的三个内角之比为 4∶3∶2 ,则这个三角形的最大内角为 .(2 0 0 0年山西省中考题 )解 设三个内角分别为 4ｘ ,3ｘ ,2ｘ ,则由三角形内角和定理 ,得 4ｘ + 3ｘ + 2ｘ =180° .解得ｘ =2 0° .故最大内角 4ｘ =80° .例 2 如图 1,已知∠ 1=2 0° ,∠ 2 =2 5° ,∠Ａ =3 5° ,则∠ＢＤＣ的度数为 … 相似文献
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王晓兰 《山西教育(综合版)》2003,(20):42-42
对于商品销售问题 ,课本介绍了两个基本公式 :(1)商品利润 =商品售价 -商品进价 ;(2 )商品利润率 =商品利润商品进价。将这两个公式稍加变形 ,就可以得到一个新公式 :商品售价 =商品进价× (1+商品利润率 )。应用这一公式 ,可以简捷地处理许多商品销售问题。现举例说明 :一、求商品进价例 1.某种商品的进价为每件 x元 ,零售价为每件 90 0元 ,为了适应市场竞争 ,商品按零售价的九折降价并让利 4 0元销售 ,仍可获利 10 %(相对于进价 ) ,则 x=元。解 :实际零售价为 (90 0× 90 %- 4 0 )元 ,代入公式有 :x(1+10 %) =90 0× 90 %- 4 0 ,∴ x=70 0… 相似文献
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数学中的定义、公式、法则、定理等都有其成立的前提条件和使用范围 ,但往往未在题设条件中明确表述出来 .解题时若忽视这些隐含条件 ,常导致不能正确解答或解答不完整 .现结合 2 0 0 1年全国各地中考试题 ,予以说明 .1 忽视分式的分母不等于零例 1 若分式ｘ2 - 4ｘ + 2 的值为零 ,则ｘ的值为 ( ) .(Ａ)± 2 (Ｂ) 2 (Ｃ) - 2 (Ｄ) 0( 2 0 0 1 ,山东省青岛市中考题 )错解 :要使分式ｘ2 - 4ｘ + 2 的值为零 ,必须ｘ2- 4=0 ,解得ｘ =± 2 .故选 (Ａ) .分析 :上述解答 ,忽视了分式的分母不等于零 .当ｘ =- 2时 ,其分母ｘ + 2 =0 ,分… 相似文献
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在商品销售中,各路商家为招揽生意,各显神通,推出形形色色的打折销售,铺天盖地的令人眼花缭乱.但事实是怎样的呢?下面以相关的数学方法对其进行分析.一、打折中求卖价一种商品原定价12元,按九折销售,售价是多少?分析:售价=原定价×(1-优惠百分数),九折销售就是优惠10%,也就是按原定价90%出售,故售价=12×90%=10.8(元).二、打折中求原价一件商品按原定价八五折销售,售价是17元,那么原价是多少?分析:八五折出售就是按原价的85%出售,设原定价为x元,则x×85%=17,解得x=20(元).三、打折中求进价某商店把一商品按标价的九折出售,仍可获利20%,若该… 相似文献
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错在哪里 总被引：1，自引：0，他引：1
题 两抛物线 ｙ2 =7-3ｘ与ｘ2 =7-3 ｙ在第一象限内交点的个数为 ( )(Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 4解 考查两抛物线 ｙ2 =7-3ｘ ,ｘ2 =7-3 ｙ可知它们关于直线 ｙ =ｘ对称 ,以 ｙ =ｘ代入方程 ｙ2 =7-3ｘ ,得ｘ2 +3ｘ -7=0 ,解得ｘ =-3± 3 72 ;以ｘ =ｙ代入方程ｘ2 =7-3 ｙ ,得 ｙ2 +3 ｙ -7=0 ,解得 ｙ =-3± 3 72 。欲使两抛物线在第一象限内相交 ,须ｘ >0且 ｙ >0 ,∴两抛物线在第一象限内的交点只有 1个。故选 (Ａ)。解答错了 !错在哪里 ?上述解法的错误在于 :误认为互为反函数的两个函数 ,若是有交点 ,则交点一定在… 相似文献
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例 1 某文化用品商店出售一批规格相同的钢笔 .如果每枝钢笔的价格增加 1元 ,那么 1 2 0元可以买到的钢笔数量将会减少 6枝 .求现在每枝钢笔的价格是多少元 ?(2 0 0 1年吉林省中考题 )分析 可根据“单价×数量 =总价”列方程 . 解 设现在每枝钢笔的价格是ｘ元 ,依题意 ,得1 2 0ｘ - 1 2 0ｘ+1 =6 .整理 ,得ｘ2 +ｘ- 2 0 =0 .解之 ,得ｘ1 =4,ｘ2 =- 5(舍去) .经检验 ,ｘ=4是原方程的根 .答 :现在每枝钢笔的价格是 4元 .例 2 商场销售某种商品 ,今年四月份销售了若干件 ,共获毛利润 3万元 (每件商品的毛利润 =每件商品的销售价格 -每件商… 相似文献
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题目 :ｘ1 ,ｘ2 ,ｘ3均为正数 ,且ｘ1 + 2ｘ2 +3ｘ3=4,求 5ｘ1 + 6ｘ2 + 7ｘ3的最小值 .解法 1 1 =14 ｘ1 + 12 ｘ2 + 34ｘ3,①①× 5,得 5=54ｘ1 + 52 ｘ2 + 1 54ｘ3,②①× 6,得 6=32 ｘ1 + 3ｘ2 + 92 ｘ3,③① × 7,得 7=74ｘ1 + 72 ｘ2 + 2 14 ｘ3,④故 5ｘ1 =5ｘ1 + 1 0ｘ2 + 1 5ｘ34ｘ1,6ｘ2 =6ｘ1 + 1 2ｘ2 + 1 8ｘ34ｘ2,7ｘ3=7ｘ1 + 1 4ｘ2 + 2 1ｘ34ｘ35ｘ1 + 6ｘ2 + 7ｘ3=54+ 3 + 2 14 + 5ｘ22ｘ1 + 3ｘ1 2ｘ2 + 1 5ｘ34ｘ1 + 7ｘ1 4ｘ3 + 9ｘ32ｘ2 + 7ｘ22ｘ3≥ 1 92 + 1 0 52 + 1 5+ 3 7.此法看上去很繁 ,下面给出一个巧… 相似文献
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一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法… 相似文献
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桓淑贞 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):30-31
根据今年高考精神 ,导数的应用将作为一个重要知识点在高考卷中考查 .课本上给出了导数的概念及一些简单函数的导数 ,下面就导数的应用归纳如下 :一、利用导数判断函数的单调性一般地 ,设函数 ｙ=ｆ(ｘ)在某个区间内可导 ,如果ｆ′(ｘ) >0 ,则 ｆ(ｘ)为增函数 ;如果ｆ′(ｘ) <0 ,则 ｆ(ｘ)为减函数 ;如果在某个区间内恒有ｆ′(ｘ) =0 ,则 ｆ(ｘ)为常数 .例 1 确定 ｆ(ｘ) =ｘ4- 4ｘ2 +5在哪个区间内是增函数 ,哪个区间内是减函数 .解 :ｆ′(ｘ) =4ｘ3 - 8ｘ =4ｘ(ｘ2 - 2 ) .令 4ｘ(ｘ2 - 2 ) >0 ,解得ｘ >2或 - 2 <ｘ <0 .因此 ,当ｘ∈ ( … 相似文献
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代入法是数学中一种非常重要的解题方法 ,解题时 ,若能根据题设条件和求值式的特点 ,灵活运用代入法 ,则可巧妙地求出问题的解 .一、整体代入例 1 若ｘ - 1ｘ=1,则ｘ3 - 1ｘ3 的值为 ( ) .(Ａ) 3 (Ｂ) 4 (Ｃ) 5 (Ｄ) 6(2 0 0 0年湖北省初中数学竞赛试题 ) 解 ∵ ｘ- 1ｘ =1,∴ ｘ3 - 1ｘ3 =ｘ - 1ｘ ｘ2 +ｘ·1ｘ+1ｘ2=ｘ - 1ｘ ｘ - 1ｘ2 +3=1× (12 +3) =4.故选 (Ｂ) .例 2 已知 1ａ - 1ｂ =2 ,则2ａ -ａｂ - 2ｂａ - 3ａｂ -ｂ 的值为. (江苏省第十五届数学竞赛初二试题 ) 解 由 1ａ - 1ｂ =2 ,得 1ｂ - 1ａ =- 2 .视… 相似文献
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我们知道 ,数字问题用算术方法解比较困难 ,用方程法去解比较简便 ,但若用正确的逻辑思维去进行分析也会使解法很简便。现举例如下 :例 1 一个两位数 ,十位上的数字比个位上的数字少 1,十位数字与个位数的和是这个两位数的15 ,求这个两位数。解法一、(方程法 ) :设十位数字为ｘ ,则个位数字为ｘ + 1,依题意可得 :ｘ +ｘ + 1=15 (10ｘ +ｘ + 1)解之可得ｘ =4 ,ｘ + 1=5 ,∴这个两数为 4 5解法二、(分析法 ) :由前一条件知道这个两位数可能是 12、2 3、34、4 5、5 6、6 7、78、89,再由后一条件知此数能被 5整除 ,故这个两位数是 4 5。甲上例… 相似文献
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题目 :过抛物线ｙ=ａｘ2 (ａ>0 )的焦点Ｆ作一直线交抛物线于Ｐ、Ｑ两点 ,若线段ＰＦ与ＦＱ的长分别是ｐ ,ｑ则1ｐ 1ｑ 等于 ( ) Ａ 2ａ Ｂ 12ａ Ｃ 4ａ Ｄ 4ａ解法一 :取ａ =14,则Ｆ(0 ,1 ) ,过Ｆ的一直线方程为ｙ=1 ,代入ｘ2 =4ｙ得ｘ=± 2 .∴ｐ=ｑ=2 .由此知1ｐ 1ｑ =1 =4× 14=4ａ ,应选Ｃ 解法二 :以焦点Ｆ为极点 ,Ｆ到准线的垂线段的反向延长线为极轴建立极坐标系 ,因焦准距ｐ′ =12ａ,故抛物线的极坐标方程是ρ=ｐ′1 -ｃｏｓθ=12ａ(1 -ｃｏｓθ) ,设ｐ=｜ＦＰ｜=12ａ(1 -ｃｏｓθ) ,则ｑ=｜ＦＱ｜ =12ａ(1 ｃｏ… 相似文献
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文 ( 2 1 ) 设计一幅宣传画 ,要求画面面积为4 84 0ｃｍ2 ,画面的宽与高的比为λ(λ<1 ) ,画面的上、下各留 8ｃｍ空白 ,左、右各留 5ｃｍ空白。怎样确定画面的高与宽尺寸 ,能使宣传画所用纸张面积最小 ?参考答案 :设画面高为ｘｃｍ ,宽为λｘｃｍ ,则λｘ2 =4 84 0。设纸张面积为Ｓ ,有Ｓ =(ｘ 1 6 ) (λｘ 1 0 )=λｘ2 ( 1 6λ 1 0 )ｘ 1 6 0 ,将ｘ =2 2 1 0 /λ代入上式得 :Ｓ =5 0 0 0 441 0 ( 8λ 5λ)当 8λ =5 /λ ,即λ =5 /8时 ( 5 /8<1 ) ,Ｓ取得最小值。此时 ,高 :ｘ =4 84 0λ =88ｃｍ ,宽 :λｘ =58× 88=5 5ｃ… 相似文献
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三道习题的常见错解分析 总被引：1，自引：0，他引：1
宋建挺 《中学数学教学参考》2003,(4):61-62
题 1 设ｘ∈ [0 ,π],方程ｃｏｓ2ｘ +4ａｓｉｎｘ +ａ -2=0有两个不同的解 ,求实数ａ的取值范围 .错解 :原方程可化为 2ｓｉｎ2 ｘ -4ａｓｉｎｘ +1 -ａ =0 .令ｔ=ｓｉｎｘ ,则方程 2ｔ2 -4ａｔ+1 -ａ =0在 [0 ,1 ]上有一个解 .又令 ｆ(ｔ) =2ｔ2 -4ａｔ+1 -ａ ,则有Δ =1 6ａ2 -8( 1 -ａ) =0 ,0≤ａ≤ 1 ,或 ｆ( 0 )ｆ( 1 )≤ 0 .解得ａ =12 或 35 ≤ａ≤ 1 .这是文 [1 ]介绍含参数二次方程求参数取值范围的一道例题 ,其解答过程是错误的 .上述错解在一些数学期刊中流传甚广 ,有必要予以剖析纠正 .分析 :上述解答有两处常见错误 .首先 ,… 相似文献
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夏锦府 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):8-9
一、忽视向量夹角范围例 1 若向量ａ =(ｘ ,2ｘ) ,ｂ =( - 3ｘ ,2 ) ,且ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,求ｘ的取值范围 .错解 :因ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,故ａ·ｂ <0 .即 - 3ｘ2 +4ｘ <0 ,ｘ <0或ｘ >43.故ｘ的取值范围为 ( -∞ ,0 )∪43,+∞ .辨析 :向量ａ ,ｂ的夹角θ的取值范围为 [0 ,π] ,当ａ·ｂ <0时 ,π2 <θ≤π .而已知θ为钝角 ,故θ≠π ,即ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ||ｂ|≠ - 1,解得ｘ≠ - 13,故ｘ的取值范围为-∞ ,- 13∪ - 13,0∪ 43,+∞ .例 2 设正三角形ＡＢＣ的边长为 1,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,求ａ·ｂ +ｂ·ｃ+ｃ·ａ的值 .错… 相似文献