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1.
本刊2006年第6期刊出的由笔者提供的有奖解题擂台(82)是:设x、y、z是正实数,满足x2 y2 z2=1,n是正整数,证明或否定:1/(1-x~(2n)) 1/(1-y~(2n)) 1/(1z~(2n))≥(n n1)~(1 1/n).(1)本文给出不等式(1)的起源、引申及擂题(82)的评注.1起源《美国数学月刊》2006年第1期刊登了德国人Ol 相似文献
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有名辉 《中学数学研究(江西师大)》2014,(2):F0004-F0004
正第49届国际数学奥林匹克数学竞赛第2题是:设实数x,y,z都不等于1,满足xyz=1,则x~2/(1-x)~2+y~2/(1-y)~2+z~2/(1-z)~2≥1.本文给出上述不等式的一个类比:命题1设实数x,y,z都不等于-1,且xyz=1,则x~2/(1+x)~2+y~2/(1+y)~2+z~2/(1+z)~2≥3/4. 相似文献
3.
第39届 IMO 预选题:设 x,y,z 是正实数,且 xyz=1,求证:x~3/((1 y)(1 z)) y~3/((1 x)(1 z)) z~3/((1 x)(1 y))≥3/4.文[1]给出了这个不等式的四个推广:命题1 设 x,y,z 是正实数,且 xyz=1,λ是常数且λ≥0,则x~3/((λ y)(λ z)) y~3/((λ x)(λ z)) z~3/((λ x)(λ y))≥3/((1 λ)~2).命题2 设 x,y,z 是正实数,且 xyz=1,m 是正整数且m≥3,则x~m/((1 y)(1 z)) y~m/((1 x)(1 z)) z~m/((1 x)(1 y))≥3/4. 相似文献
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设 x,y,z∈R~ ,求证:(y~2-x~2)/(z x) (z~2-y~2)/(x y) (x~2-z~2)/(y z)≥0这个不等式就是 W.Janous 的猜测不等式,很多数学刊物上介绍了这一猜测的多种证明方法,这里笔者再给出一种更为简捷的证明方法.证明:设 x y=a,y z=b,z x= 相似文献
5.
付真凯 《中学数学教学参考》1995,(4)
高中代数下册(必修)第12页的练习中有这样一个不等式: x/y y/x≥2(x、y∈R~ )。 在某些资料中有另一个不等式: x/(y z) y/(z x) z/(x y)≥3/2(x、y、z∈R~ )。 一般地,对于n个正数,我们有: 定理:设x_1,x_2,…,x_n均为正数,且x_1 x_2 … x_n=A,则 x_1/A-x_1 x~2/A-x_2 … x_n/A-x_n≥n/n-1(n∈N,且n≥ 相似文献
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文[1]探讨了如下问题[2]:设x、y、z为非负实数,且x y z=32,求式子x3y y3z z3x的最大值;并猜想:设x、y、z为非负实数,n∈N*,n≥2,则xny ynz znx≤(n n1n)n 1(x y z)n 1.经笔者研究,有如下更一般的结果(本文中,xm 1=x1)定理设∑mi=1xi=1,xi≥0,m,n∈N*,m≥3,n≥2,则∑mi=1xinxi 1≤nn/(n 1)n 1.证明(数学归纳法)当m=3时,需证x1nx2 x2nx3 xn3x1≤nn/(n 1)n 1;考虑到不等式中字母的轮换性,不妨设x1=max(xi):1)若x1≥x2≥x3,则x1nx2 x2nx3 x3nx1≤x1nx2 2x1n-1x3x2≤(x1n nx1n-1x3)x2≤(x1 x3)nx2=(1-x2)n×nx2/n≤[n/(n 1)]n 1/n=nn/(n 1)n 1;2… 相似文献
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1999年加拿大数学奥林匹克竞赛有这样一道题目 :令 x,y,z是满足 x y z=1的非负实数 .证明 :x2 y y2 z z2 x≤ 42 7,并求不等式成立的条件 .简证 由于不等式是关于 x,y,z轮换对称的 ,故可设 x≥y≥z,从而 x2 y y2 z z2 x≤ x2 y 2 xyz=xy(x 2 z) =12 x· 2 y· (x 2 z)≤ 12 (x 2 y x 2 z3 ) 3=12 [2 (x y z)3 ]3=12 × (23) 3 =42 7.等号在 x=2 y=x 2 z时成立 ,即 x=23,y=13,z=0时成立 .若条件不变则结论可推广为 :xnym ynzm znxm≤ nn· mm(n m) n m(n>m,n,m∈ N) .证明 推广后的不等式仍是关于 x,y,z的轮换对称… 相似文献
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一个流行不等式的再推广及统一证明 总被引：1，自引：1，他引：0
1993年,冯跃峰老师在《上海中学数学》第2期上提出一个不等式问题:已知x,y,z∈R~ ,x y z=1,求证:(x~4)/(y(1-y)) (y~4)/(z(1-z)) (z~4)/(x(1-x))≥1/6.(1) 1994年,尹文华老师将其推广,得到如下结果: 相似文献
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1981年12期数学通报《几种类型的不等式证明》一文中(二): 已知条件为线性方程形式的不等式证明(即条件x+y+z+…A,A为常数)。 4:若x+y+z=1,试证x~2+y~2+z~2≥1/3证明:令x=1/3-t,y=1/3-2t,z=1/3+3t(t为实数)。 x~2+y~2+z~2=[(1/3)-t]~2+[(1/3)-2t]~2+[(1/3)-3t]~2 =1/9-(2/3)t+t~2+1/9-(4/3)t+4t~2+1/9+2t+9t~2 =1/3+14t~2≥1/3 (∵t为实数)。 当t=0时,即x=y=z=1/3时,上式等号成立。 相似文献
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设x,y,Z∈R~ ,求证: (x~2 y~2 xy)~(1/2) (y~2 z~2 yz)~(1/2) (z~2 x~2 zx)~(1/2)≥3~(1/2)(x y z)。 这个不等式在较多地方已给出不同的证法。这里,再给出一种构造几何图形证明的方法,并加以推广及一般化。 证明 这个不等式中等号成立的充要条件是x=y=z,这是显然的。下面就讨论z,y,x不全相等的情形。如图1,∠AOA′=120°,OA=OA′,CC′∥BB′∥AA′。因此OB=OB′,OC=OC′。 相似文献
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有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z 相似文献
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王立新 《中学数学教学参考》2006,(13)
2005年全国高中数学联赛加试题第二题如下:设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy+bz=a;az+cx=b;bx+ay=c,求函数 f(x,y,z)=x~2/(1+x)+y~2/(1+y)+z~2/(1+z)的最小值.本文运用构造法给出一个比较简捷的解法,供大家参考.根据条件不等式及待求分式结构,构造随机变量ξ的分布列如下: 相似文献
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文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4 相似文献
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姜坤崇 《中学数学研究(江西师大)》2005,(2):45-47
文[1]例1给出如下一个不等式: 设x,y,z是正实数,且xyz=1.证明x3/(1 y)(1 z) y3/(1 x)(1 z) z3/(1 x)(1 y)≥3/4.① 相似文献
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一类分式不等式的联想 总被引：3，自引：0，他引：3
文[1]提出并证明如下分式不等式:问题1已知x、y、z为正实数,求证:x/(2x y z) y/(x 2y z) z/(x y 2z)≤3/4.其后,许多文章给出了该不等式的证明,如文[2]、文[3],笔者再给出一种简单的证法. 相似文献
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朱秋蓉 《中学数学研究(江西师大)》2006,(8):26-27
文[1]给了出如下二元不等式:设 x,y>0,且 x y=1,则(x~(1/2) y~(1/2))(1/(1 x)~(1/2) 1/(1 y)~(1/2))≤4/3~(1/2).(1)。文[1]给出了(1)左边的下界:设 x,y>0,且 x y=1,则(x~(1/2) y~(1/2))(1/(1 x)~(1/2) 1/(1 y)~(1/2))>1 1/2~(1/2).(2)文[3]考虑了(1)的根指教推广.得到:设 相似文献
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本文给出不等式x/(1 x xy) y/(1 y yz) z/(1 z zx)≤1(其中x,y,z∈R_ )的一种最简单的证法。这种证法只需引用不等式(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9 (*)其中a,b,c∈R~ 。 令a=x/(1 x xy),b=y/(1 y yz),c=z/(1 z zx)易知 1/a 1/b 1/c=1/x 1 y 1/y 1 z 1/z 1 x=3 (x 1/x) (y 1/y) (z 1/z)≥3 2 2 2=9,当且仅当x=y 相似文献
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一个不等式的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
文 [1 ]提出一个猜想不等式 :设 x,y,z∈ ( 0 , ∞ ) ,则有xx y yy z zz x≤ 322 . ( 1 )文 [2 ]应用导数给出了证明 ,文 [3]又给出其下界估计xx y yy z zz x>1 . ( 2 )现将其推广 :设 x,y,z∈ ( 0 , ∞ ) ,n≥2 ,则有1 xx y,yy z>yy z,n zz x>zz x,所以n xx y n yy z n zz x>xx y yy z zz x>xx y z yy z x zz x y=1 .再证右端 .当 n=2时 ,由 ( 1 )知 ,不等式 ( 3)显然成立 .现设 n>2 ,… 相似文献
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题目已知 x,y 是满足 x y=1的正数,求证:1 1/(2~(1/2))<(x~(1/2) y~(1/2))(1/((1 x)~(1/2)) 1/((1 y)~(1/2))≤4/(3~(1/2)).(1)此双联不等式的右半部分,是《数学通报》2002年第8期问题1388题,左半部分是宋庆老师给出的(见《中学数学月刊》2003年第2期),本文给出该不等式的一个根指数推广.推广已知 x,y是满足 x y=1的正数,m∈N且 m≥2,则 相似文献