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赵国瑞 《数理化学习(初中版)》2013,(2):14-15
在学习等腰三角形时,我们曾经遇到过这样一个几何命题:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.如图1,已知在△ABC中,AB=AC,P是BC上任一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F.求证:CF=PD+PE.对于该题,一般学生会想到截长法与补短法. 相似文献
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取特殊点巧解动点问题,既满足题意的动点只能在某个范围内运动,观察它的运动变化状况,取一个合乎题意的特殊点求解。虽属“特殊化”的解法,但是以这个合乎题意的“边缘”状态作为猜想结果,把观察对象引向极端情况下的取值,常有立竿见影的功效,同时还能启示我们去寻找论证的途径。仅以下列几个例题作分析说明:例1P点是等腰△ABC底边BC上的一个动点,PE、PF是P到AB、AC的距离。求证:PE+PF为定值。分析:P是BC上的一个动点,它到两腰AB、AC的距离PE、PF也随着变化,但要证明PE+PF为定值,不妨把观察对象P变动到它的特殊位置C(或B)时,… 相似文献
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厄尔多斯—摩德尔(Erdos-Mordell)不等式:设P为△ABC内任意一点,过点P作三边垂线,三垂足为D、E、F,则PA PB PC≥2(PD PE PF).等号当且仅当P为正△ABC的中心时成立. 相似文献
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运用三角函数的有关知识解答问题的方法叫做“三角法”.运用“三角法”证明几何题,构思新颖,方法独特,不仅能使问题迎刃而解,收到事半功倍的效果,而且有助于培养同学们的发散思维能力和探索求新的学习习惯.现举例说明,供同学们参考.一、运用锐角三角函数的定义证明例1如图1,在△ABC中,AB=AC,点P是BC边上任意一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F.求证:①CF=PD+PE;②当点P在BC的延长线上时,PD、PE和CF又有怎样的关系?写出你的猜想并证明.证明:①因为AB=AC,所以∠B=∠ACB.设∠B=∠ACB=∠!.在Rt△BPD中,PD=BP·sin!.在… 相似文献
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冯星 《山西教育(综合版)》2001,(14)
例 1 .求证等腰三角形底边上任意一点与两腰的距离和等于腰上的高。已知 :△ ABC中 ,AB=AC,P为 BC上任意一点 ,PE⊥ AB,PF⊥ AC,CD⊥ AB。如图 1。求证 :PE PF=CD。证明 :过 P点作 PM⊥ CD,∵ PE⊥ AB,CD⊥ AB,∴四边形 PMDE是矩形 ,∴PE=DM。∵PM⊥ CD,CD⊥AB,∴AB∥PM,∴∠ B=∠ MPC。∵AB=AC,∴∠ B=∠ ACB,∴∠ MPC=∠ ACB。在△ MPC和△ FCP中 , ∠ PMC=∠ CFP, ∠ MPC=∠ ACB, PC=CP,∴△ MPC≌△ FCP,∴PF=CM,∴CD=DM CM=PE PF。反思 1 .此题条件等腰三角形可变为等边三角形。… 相似文献
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李刚 《南京晓庄学院学报》1997,(4)
三角形是最常见的几何图形,它们内心、外心、垂心和重心一些通常性质是大家所熟知的,本文通过对一些命题的证明,推证出这“四心”的另一类性质——是某些问题的极值点.命题1:如图1,已知P是△ABC内任意点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC 相似文献
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在平面几何的不等式领域,有如下著名的Erdos-Mordell不等式成立。设P为△ABC内一点,P到三边距离分别为PD,PE,PF,则 PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF).(1) 在此,笔者将(1)及其相关命题从平面(二维)三角形向空间(三维)四面体中推广,推广的方法是类比,由此可体会出从平面到空间的过渡中数学内在的结构美。定理一在四面体ABCD内有一点P、P到平面△BCD,△ACD,△ABD,△BAC的垂线 相似文献
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定理设P是锐角△ABC内部的任意一点,△ABC、△BPC、△CPA、△APB的面积分别为△、△a、△b、△c、;△ABC的外接圆半径为R;PA=Ra,PB=Rb,PC=Rc,则有 Σ△aRa≤△·R (1) 等号成立当且仅当△ABC是正三角形且P是△ABC的中心. 其中Σ表示循环和,下同. 为证明定理,需要下面的 引理 1P为锐角△ABC内部的任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥CA于E,PF⊥AB于F,垂足△DEF的面积为△p,则有 相似文献
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题目已知:如图1,AM是△ABC中BC边上的中线,P是AM上任意一点,过点P作DE∥BC,交AB、AC分别于D、E. 求证:PD=PE. 证明:∵DE∥BC, ∴(PD)/(BM)=(AP)/(AM),(PE)/(MC)=(AP)/(AM),∴ (PD)/(BM)=(PE)/(MC), ∵BM=MC,∴PD=PE. 变式一已知:如图2,AM是△ABC中BC边上的中线,P是AM上 相似文献
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在数学教学中,引导学生去研究和发现新问题,是培养学生分析问题和解决问题的能力不可缺少的方面。现在就命题条件的改变与引伸的研究谈几个例子。例一、等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高。如下图,在△ABC中,AB=AC,P是BC边上任一点,PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB。求证:PD PE=CF。这个问题的证明一般可以通过△ABC的面积=△APB的面积 △APC的面积 相似文献
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正如图1,已知在△ABC中,AB=AC,P是BC上任一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F.求证:CF=PD+PE.对于该题,一般同学会想到截长法与补短法.如图2,过点P作PM⊥CF于M,则四边形PMFD是矩形,则PD=FM.易证△PCM≌△CPE,则CM=PE.于是CF=FM+CM=PD+PE.这种方法叫做截长法.如图3,过点C作CN⊥DP交DP的延长线于点N,则四边形NCFD是矩形,则CF=DN.易证△CPN≌△CPE,则PN=PE.于是CF=DN=PD+PN=PD+PE.这种方法叫做补 相似文献
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余杨林 《中学课程辅导(初二版)》2003,(10):37-37
等腰三角形底边上任意一点到两腰距离的和等于腰上的高.已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,P是BC上任一点,PE⊥AB,PD⊥AC,CF⊥AB,E、D、F分别为垂足. 求证:CF=PE+PD. 相似文献
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张怀明 《中学数学研究(江西师大)》2002,(10):17
定理如图,P是△ABC内任意一点,AP、BP、CP的延长线分别交对边于D、E、F,则(1)AP/PD+BP/PE+CP/PF≥6; 相似文献
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定理 P是△ABC形内任一点,AP、BP、CP的延长线分别与其对边交于D、E、F,则PD/AD PE/BE PF/CF=1 证 如图1,设△PAB、△PBC、△PAC和△ABC的面积依次为S_1、S_2、S_3和S,则,S_1 S_2 BS_3=S,又PD/AD= 相似文献
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题目:如图1,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别为D,E,F,BM为∠ABC的平分线,MP的延长线交AB于点N.如果PD=PE+PF,求证:CN是∠ACB的平分线.证法1:过N作NQ⊥AC于Q,NH⊥BC于H,过M作ML⊥AB于L,MR⊥BC于R,连NR交PD于G.因为BM平分∠ABC,所以ML=MR.又PF∥ML,PG∥ 相似文献
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一九七九年全国高考理科数学试题中,有一道题是:“设等腰三角形 OAB 的顶角 AOB=20,底边上的高为 h.(1)在△OAB 内有一动点 P,这点到三边 OA、OB、AB 的距离分别是|PD|、|PF|、|PE|,并且满足关系式|PD|·|PF|=|PE|~2,求 P 点的轨迹. 相似文献
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研究“点”移动组成变化的线段、图形,是同学们学习中的一个难点,也是中考的一个考点,现通过以下例题的讲解,帮助同学们正确解答有关“动点”方面的问题。一、“动点”求定值例1在直角三角形ABC中,∠C=90°,D是BC上一点,且AD=BD,P是AB上一动点,PE⊥BC,PF⊥AD,垂足为E、F。求证:PE PF为定值。分析:P点在AB上移动,因此PE、PF是变化的线段,而固定不变的线段有AB、AC、BC、CD、AD。只能用固定不变的线段表示PE PF的值,PE PF会等于以上哪一条线段呢?下面我们用“割补法”证明PE PF=AC为定值。证明:过P点作PH⊥AC,垂足… 相似文献