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尹广金 《中学数学教学参考》2006,(9)
称过球内接三角形一顶点而平行于球心与对边中点连线的直线为三角形的伪高线.我们有定理球内接三角形的三条伪高线交于一点(称为伪垂心),这点到顶点的距离是球心到对边中点距离的2倍. 相似文献
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三角形的外心、内心、重心、垂心和旁心不妨称它们为巧合点 ,三角形的巧合点各自具有不同的有趣性质 ,这里仅介绍关联这些巧合点中的某些点或全体点的一些性质及应用的例子 .性质 1 三角形的任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍 .性质 2 三角形的内心和任一顶点的连线延长与三角形的外接圆相交 ,这个交点与外心的连线是这一顶点所对的边的中垂线 .性质 3 三角形的内心和任一顶点的连线 ,平分外心、该顶点和垂心依次连结所成的角 .性质 4 三角形的外心、垂心、重心三点共线 (欧拉线 ) ,且重心与垂心的距离是外心与重心距离的… 相似文献
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武心录 《连云港师范高等专科学校学报》1995,(4)
三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的距离具有度量关系GH=2OG 二、若锐角△ABC的三边中点分别为D、E、F,△DEF的高线足分别为D′、E′、F′,容易证明△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的内心;若△ABC是钝角三角形,则△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的一个傍心。 相似文献
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余向阳 《数理天地(初中版)》2010,(2):26-28
三角形的“五心”,即重心、垂心、外心、内心和旁心,它们的性质是：
（1）三角形的重心（三条中线的交点）到各顶点的距离是它到对边中点距离的两倍．
（2）三角形的垂心与三角形的两个顶点所构成的新三角形的垂心（三条高所在的直线的交点）是原三角形的另一顶点． 相似文献
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定理 垂心四面体中,垂心到四面体各顶点的每线的第一个三等分点、四面体各面的垂心和重心,共12点共球,其球心在垂心四面体的欧拉线上,半径为垂心四面体的外接球半径的1/3。 证明:如图,四面体ABCD为垂心四面体,H、G、O分别为四面体的垂心、重心、外心.由文[1]知,H、G、O共线,且HG=GO. 相似文献
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1863年,普鲁海(Prouhet)将三角形的九点圆(也称欧拉圆或费尔巴哈圆[1])定理,类比推广到垂心四面体中,得到了如下的十二点球定理:[2]定理0在垂心四面体中,以外心与垂心连线的第二个三等分点为球心,外接球面半径的三分之一为半径的球面,必通过十二个特殊点,即:四个顶点与垂心连线的第二个三等分点,四个侧面的重心,以及四条高的垂足.这个定理所说的球面,通常称为垂心四面体的普鲁海球面.最近,曾建军国老师在[3]中指出:若垂心四面体A1A2A3A4的外心为O,垂心为H,则点H满足OH=12∑i=41OAi.据此,我们可以将圆内接四边形与垂心四面体进行类比,导出一个有趣的十二点圆定理.现介绍如下,供读者赏析.本文约定:在任意四边形A1A2A3A4中,除任一顶点Aj外,以其余三顶点为顶点的三角形,称为四边形A1A2A3A4的子三角形,记作△j(j=1,2,3,4).定义设四边形A1A2A3A4内接于⊙(O,R),若点E满足OE=21∑i=41OAi(1)则点E称为四边形A1A2A3A4的欧拉圆心[4];以线段OE的第二个三等分点P为圆心、3R为半径的圆,称为四边形A1A2A3A4的普鲁海圆,记作⊙P,3R.其中,... 相似文献
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三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线称为欧拉线。文章证明了高等几何中代沙格定理的逆定理,并用其证明了欧拉线,比初等几何证明方法更简便。 相似文献
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三角形的外心、重心、垂心共线,此线称为欧拉线。现收集欧拉线的各种证法供参考。设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心,试 相似文献
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唐枭义 《中学数学教学参考》2003,(10):61-61
定理 1 三角形的内、重、界三心共线且重心在中间 ,重界距离等于重内距离的 2倍 .证明 :设△ABC的内心为I,重心为G ,界心为J ,M为BC的中点 ,连结AJ、MI、IJ,AM ,IJ与AM交于G′.由 [1 ]知AJ∥IM ,由[2 ]知 ,AJ=2IM ,从而AG′ =2G′M .可见G′就是重心G .进而知三心共线 ,且JG =2GI.定理 2 三角形界心与重心的连线 ,平行于外心与内心的连线 ,且等于其 2倍 .证明 :在△ABC中 ,设I、O、G、H、J依次为内心、外心、重心、垂心和界心 ,由欧拉线性质知GH =2GO ,由定理 1知JG =2GI,从而知JH∥=2OI.新“欧拉线”$安徽省枞阳… 相似文献
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1765年,瑞士数学家欧拉(Euler)发现了如下定理:定理1(欧拉定理) 设△ABC的外接回、内切圆的半径分别为R、r,其外心到内心的距离为d,则d~2=R~2-2Rr这个优美对称的结果,激发我们去寻求三角形中其它特殊点如重心、垂心、内心、外心之间的距离的计算公式.对此,我们有如下的定理2(心距定理) 设△ABC的三边为a、b、c,外接圆、内切圆半径分别为R、r,其外心、内心、垂心到重心的距离分别为e、f、g,外心到垂心的距离为k,则 相似文献
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段惠民 《河北理科教学研究》2006,(1):42-43
众所周知,三角形的外心O,重心G,垂心H共线(欧拉线),G在线段OH上且OG∶GH=1∶2．人们进而又推出与欧拉线类似的性质：三角形内心I,重心G,奈格尔点N(也称三角形的界心)共线,G在线段IN上,且 相似文献
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文 [1 ]给出了非钝角三角形第一界心、重心到各边距离之和的一个不等式 :ＤＪ≥ＤＧ(实际上 ,这个结论对钝角三角形也成立 )。经过研究 ,本文得到三角形第二界心 (注 :平分三角形周长的直线叫做三角形的分周线 ;过三角形三顶点的三条分周线交于一点 ,称此点为三角形的第一界心 ;过三角形各边中点的分周线相交于一点 ,此交点为三角形的第二界心 )、重心到各边距离之和的一个不等式 ,继而得到三角形的第一、二界心与重心到各边距离之和的一个不等式链。结合文 [4 ]进一步可得到三角形第一、二界心、重心、内心、垂心间的一个不等式链。命题一… 相似文献
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众所周知,锐角三角形外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.由此可以证明:定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的二倍.设 O 为△ABC 垂心,过 A,B,C 作其 相似文献
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三角形的五心指的是外心、内心、重心、垂心、旁心,它们都是关于三角形的某三条特殊直线的巧合点。三角形五心各有特色,掌握了它们的定义、重要性质及隐含特征,对熟练应用五心来证明某些几何题是很有帮助的。一、外心 1.定义:三角形的三条边的垂直平分线的交点(即三角形外接圆的圆心),称为三角形的外心。 2.重要性质:外心与三角形三个顶点地距离相等。 3.隐含特征: (1)三角形的三条边就是外接圆的弦; (2)外心与各顶点连线将三角形分成三个等腰三角形; (3)由外心向各边作垂线,平分各边且平分各边所对的弧; (4)外心与各边中点连线必垂直于各边; (5)三角形任一边的垂直平分线必过其外心; (6)三角形的外心可能在三角形内部、外部或边上(如下图)。 相似文献