比值型余弦定理及其空间推广     

谢畅  周永国 《福建中学数学》2015,(1):7-8

设△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,外接圆半径为R,则有正弦定理(a/sin A)=(b/sin B)=(c/sin C)=2R.余弦定理a~2=b~2+c~2-2bccos A,b~2\c~2+a~2-2cacos B,c~2=a~2+b~2-2abcos C.在学完正余弦定理后,老师给我们提出了这样的间题:由于正弦定理可变形为α=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2RsinC三种形式,而余弦定理也有三种形式,因此,对于余弦定理是否也有类似于正  相似文献   

巧用余弦定理证明三角形的布洛卡点的一个性质     

彭小明 《数学教学通讯》2012,(36):59

本文利用余弦定理证明:△ABC的布洛卡点P的一个性质cotθ=cotA+cotB+cotC,且当θ分别等于A/2,B/2,C/2时△ABC的三边a,b,c成等比关系.  相似文献   

一道高三数学调研试题的解法探究     

赵虎  蔺兴旺 《数学学习与研究(教研版)》2015,(1):97

题目:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B,（1）求角B（略）;（2）若b=2,求△ABC面积的最大值.一、解法的缘由因第（1）问题求出B=π/4,S△=1/2acsin B=2^1/2/4ac,由余弦定理得4=a2+c2-2ac·cosπ/4  相似文献   

探究三角形形状的九种方法     

汤晓燕 《数学大世界(高中辅导)》2006,(3)

一、应用正弦定理判定【例1】已知在△ABC中,sin2A+sin2B=sin2C,求证△ABC是直角三角形.证明:由正弦定理sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR,代入sin2A+sin2B=sin2C中,得4aR22+4bR22=4cR22,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.二、应用余弦定理判定【例2】在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,a≠b,且a·cosA=b·cosB.判定△ABC的形状.解:α·cosA=b·cosB,由余弦定理得α·b2+2cb2c-a2=b·a2+2ca2c-b2,化简整理得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∵a≠b,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.三、应用根的判别式判定【例3】若a、b、c为△ABC的…  相似文献   

三角形中的半角正切公式及其应用     

张乃贵 《中学教研》2003,(5):24-26

1 三角形中的半角正切公式△ABC中∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,面积为S,则tan(A/2)=((a~2-((b-c)~2))/(4S));tan(B/2)=((b~2-((a-c)~2))/(4S)); tan(C/2)=((c~2-((a-b)~2))/(4S)).证明由余定理知  相似文献   

关于三角形的一个正切公式及其应用     

谢进武  傅波 《中学数学教学》2010,(1)

在三角形中刻画边角关系最重要的定理是正弦定理和余弦定理.但在近几年高考数学试题中经常出现三角形中角的正切问题.为此我们向读者介绍下面的一个正切公式:定理设非直角△ABC的三个内角A、B、C所对的边为a、b、c,S为其面积,则有:tanA=b2+4c2S-a2;tanB=a2+4cS2-b2;tanC=a2+4bS2-c2.证明由余弦定理cosA=b2+2cb2c-a2及面积公式S=12bcsinA得:tanA=csionsAA=b22+bccsi2n-Aa2=b2+4c2S-a2.同理可证其它两式.这个公式刻画了三角形(非直角三角形)的三个角正切值与其面积、三边的关系.在解有关三角形正切问题中有着很广泛的应用.现举几例予以说明.例1(2005年天津卷理17题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和bc=21+3,求∠A和tanB.解由余弦定理得:cosA=b2+2cb2c-a2=bc2bc=21.故∠A=3π.由正切公式得:tanB=a2+4cS2-b2=4×21bcsin3πa2+c2-b2=2c23-bcbc=2c3-bb=2.bc3-1=3...  相似文献   

余弦定理的应用     

王鸣鸣 《天中学刊》2000,(5)

余弦定理和正弦定理是中学数学中的重要内容之一 ,两者可互为依据 ,相互推导 .随着学生学习的深入 ,知识面的扩大 ,抽象思维能力的提高 ,可进一步从不同的角度揭示二者的关系 ,加强应用 .余弦定理 :在△ ABC中 ,三边 a,b,c和它们所对的角∠ A,∠ B,∠ C之间有如下关系 :a2 =b2 c2 - 2 bc cos A,b2 =a2 c2 - 2 ac cos B,c2 =a2 b2 - 2 ab cos C.例 1　求证在△ ABC中 ,(1 ) a=b cos C x cos B;(2 ) asin A=bsin B=csin C.证 :(1 )由余弦定理b2 =a2 c2 - 2 ac cos B,c2 =a2 b2 - 2 ab cos C,所以 b2 c2 =2 a2 b2 c2 - 2 ac co…  相似文献   

垂足三角形外接圆半径之间的一个恒等式     

高庆计 《福建中学数学》2006,(2)

关于垂足三角形外接圆半径之间有下面一个恒等式:定理设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的面积,外接圆半径,内切圆半径分别为?,R,r,若△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径依次为R A,BR,RC,则cot cot cotA2B2C2R A+R B+RC2(R r)r=??.(1)证明如图,由文[1]知EF=a cos A,FD=b cos B,DE=c cos C,∵A2sinREF=A cos2sina A=A2sin cos,R A A=A H D AE BFC∴R A=R cos A.同理RB=R cos B,RC=R cos C.令cot cot cot,A2B2C2K=R A+R B+RC在△ABC中应用常见恒等式:?=rs,cot2422∑A=s?R?r?r,csc2422…  相似文献   

余弦定理一个变式的功效     

邓持海 《数学大世界(高中辅导)》2003,(6):39-39

余弦定理:△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则a2=b2+c2+2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.c2=a2+b2-2abcosC.该定理可以变形为:b2+c2-a2=2bccosA ①a2+c2-b2=2accosB ②a2+b2-c2=2abcosC ③该组变式在  相似文献   

一道北约试题的推广     

何长林  刘勤 《中学生数理化(高中版)》2013,(1)

题目:△ABC中,如果a+b≥2c,证明C≤60°.(2011年北约自主招生数学试卷第4题) 证明:由余弦定理知cos C=a2+b2-c2/2ab≥a2+b2-(a+b/2)2/2ab=3/4(a2+b2)-ab/2/2ab≥1/2.所以,C≤60°.故得证. 笔者经过研究,发现本题结论可以推广为: 定理1:△ABC中,如果an+cn≥2bn(n∈Z),则B≤60°,其中a,b,c表示△ABC中角A,B,C的对应边.  相似文献   

一道问题的多角度审视     

李维春 《理科考试研究》2014,(15)

正一、问题提出题已知△ABC中,3(1/2)tanA·tanB-tanA-tanB=3(1/2).(1)求∠C的大小;(2)设角A,B,C的对边依次为a,b,c,若c=2且△ABC是锐角三角形,求a2+b2的取值范围.解(1)C=π/3(略).(2)学生解1:由余弦定理得a2+b2-ab=4.  相似文献   

也谈一道三角题的解答     

甘志国 《中学数学教学》2011,(2):41-42

题1在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,AD为BC边上的高,且AD=BC,求b/c+b/c的最大值.解法1由AD=BC,可得S△ABC=1/2a2=1/2bcsinA,从而得a2/bc=sinA①  相似文献   

三角形面积公式的一种新的证明     

张乃贵 《数学教学通讯》2002,(6):40-40

本文利用一个三角恒等式证明三角形的面积公式b,c为△ABC的三边长,p=1/2(a+b+c)是半周长,S是面积. 证明:如图1,⊙I是△ABC的内切圆,半径为r.在Rt△IFA中.tan A/2=IF/FA=r/(p-a)同理tanC/2=r/(p-b), tanC/2=r/(p-c). 证明中要用到三角恒等式tanA/2·tanB/2  相似文献   

一个优美的不等式链     

刘保乾 《中学教研》2008,(12):24-24

设△ABC的3条边长分别为a，b，C，半周长为s．文献[1]证明了不等式：∑cot A/2≥（a/b＋b/c＋c/a）∑tan A/2.  相似文献   

勾股定理与面积公式的完美结合     

周奕生 《中学生电脑》2006,(10):I0013-I0014

设Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,记三角形的半周长为p,即p=12(a b c),△ABC的面积为S,则由勾股定理及直角三角形面积公式,可得S=p(p-c)=(p-a)(p-b).(*)公式(*)成立的理由是:S=21ab=41×([a b)2-(a2 b2)]=41[a b)2-c2]=14(a b c)(a b-c)=41×2p×2(p-c)=p(p-c);另一方面,由海伦公式S=#p(p-a)(p-b)(p-c)得S2=(p-a)(p-b)(p-c)=S(p-a)(p-b),故S=(p-a)(p-b).公式(*)结构和谐优美,简单易记,与海伦公式相比较体现了直角三角形的特殊性,在解直角三角形有关问题时,运用公式(*)别具一格,富有情趣。例1已知直角三角形…  相似文献   

谈正弦、余弦定理与面积相关的问题     

王俊磊 《中学生数理化(高中版)》2013,(6)

一、利用正弦、余弦定理结合面积公式求三角形的面积 例1(2012年高考江西理18)在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c.已知A=π/4,并且bsin(π/4+C)-csin(π/4+B)=a. (1)求证:B-C=π/2; (2)若a=√2,求△ABC的面积. 解析:(1)已知由bsin(π/4+C)-csin(π/4+B)=a,应用正弦定理得: sin Bsin(π/4+C)-sin Csin(π/4+B)=sin A.  相似文献   

一道高考数学试题的解题策略     

马云 《中学生数理化(高中版)》2014,(3):24-24

<正>2012年全国高校统一招生试题(第17题):△ABC中,内角A、B、C成等差数列,其对边a、b、c满足2b2=3ac,求A.命题意图:本试题主要考查了解三角形的运用.分析:因为,A、B、C成等差数列,且A+B+C=π.所以,B=π/3,A+C=2π/3.策略一:运用正弦定理及二倍角公式和辅助角公式  相似文献   

三角形中的三角函数问题初探     

《高中生》2007,(24)

一、直接运用正弦定理或余弦定理求解的问题例1在△ABC中,已知角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且满足4sin~2((B C)/2)-cos2A=7/2.(1)求角A的度数;(2)若a=3~(1/2),b c=3,且b相似文献   

三角形中的余切公式及应用     

胡四一 《中学数学研究(江西师大)》2004,(7):42-44

一、三角形中的余切公式 在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,S为△ABC的面积,则:  相似文献   

由一个三角形不等式联想到的     

任迪慧 《中学数学教学》2003,(3):38-39

在研究三角形不等式证明这个领域内 ,仅停留在探索一些简单不等式的证法技巧 ,总结一些解题规律上 ,这显然是不够的。我们应当在熟练掌握一些简单不等式证法技能的基础上 ,探索、证明、推理、创造性地研讨出一些新的结论。本文拟就一道三角形不等式来探讨一些新结论 ,以达推陈出新之目的。为此先证明下面的引理 :引理　设△ABC的三边长为a、b、c,内切圆半径为r ,半周长为 p ,求证　 pr ≥ 3 3。证明　∵ ( pr) 2 =(cot A2 +cot B2 +cot C2 ) 2≥ 3 (cot A2 cot B2 +cot B2 cot C2 +cot A2 cot C2 )=3 (cot A2 +cot B2 +cot C2 ) (tan …  相似文献