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刘希武 《初中生世界(初三物理版)》2004,(14)
整体思考是数学的重要方法之一,对于某些数学问题,若能灵活应用这一思想方法,常能突破常规思维的羁绊,使解题快捷且有新意.例1有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件、乙7件、丙1件,共需3.15元;若购甲4件,乙10件,丙1件,共需4.20元.现在购甲、乙、丙各一件共需多少元?解:设购甲、乙、丙一件分别需x元、y元、z元,由题意得:3x+7y+z=3.15,4x+10y+z=4.20 方程个数少于未知数个数,若按常规思考,则望题兴叹,不可能把x、y、z都求出来,但深思慎虑,原来题目要求的只是x+y+z的值,并非要把x、y、z分别求出来,于是对方程组作如下变形:2x+6y+x+y+z=3.15,3x+9y+… 相似文献
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例有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件,乙7件,丙1件,共需3.15元;若购甲4件,乙10件,丙1件,共需4.20元;现购甲、乙、丙各一件,共需几元？ 相似文献
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参考书上常出现这样一类题 :有甲、乙、丙三种货物 ,若购买甲 3件、乙 7件、丙 1件 ,共需 30 0元 ;若购买甲 4件、乙 10件、丙 1件 ,共需4 0 0元 ,现需购买甲、乙、丙各一件 ,共需多少元 ?分析 :这是一道应用题 ,按照常规思路我们可以设未知数 ,列方程组求解 .设购买甲一件需 x元 ,乙一件需 y元 ,丙一件需 z元 ,根据题意 ,得3x +7y +z =30 04 x +10 y +z =4 0 0 ( 1)( 2 )显然 ,三个未知数两个方程 ,这是一个不定方程组 ,x,y,z的值不唯一确定 ,看似无法求出 ,其实不然 .造成这种障碍的原因在于未能认识到 x,y,z并非是必求的未知数 ,所求… 相似文献
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问题有甲、乙、丙三种文具,若购买甲2件、乙1件、丙3件共需23元;若购买甲1件、乙4件、丙5件共需36元．问购买甲1件、乙2件、丙3件共需多少元？ 相似文献
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例1 有甲、乙、丙三种商品,某人若购买甲种商品3件,乙种商品7件,丙种商品1件共需24元;若购买甲种商品4件,乙种商品10件,丙种商品1件共需33元;则此人购买甲、乙、丙各一件共需多少元?解:设每件甲种商品为x元,每件乙种商品y元,每件丙种商品z元.根据题意,得3x+7y+z=24 14x+10y+z=33 2解得x=9-3yz=2y-3,∴x+y+z=(9-3y)+y+(2y-3)=6(元)答:此人购买甲、乙、丙商品各一件共需6元.例2 甲、乙、丙三名学生一共解出100道题,但每个人都只解出了其中60道题,将其中只有一个人解出的题叫做难题;将三个人都解出的题叫做容易题;求证:难题刚好比容易题多2… 相似文献
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有些看似与方程组无关的问题 ,若能抓住特征构造方程组可以巧妙求解 ,举例如下 :一、由同类项的定义构造方程组例 1 如果单项式 2ｘ2ｍ -ｎｙ与 - 3ｘ3ｙ2ｍ +ｎ是同类项 ,那么ｍ = ,ｎ = .解 :由同类项定义 ,可得方程组2ｍ -ｎ =3,2ｍ +ｎ =1 . 解之得 ｍ =1 ,ｎ =- 1 .二、由非负数性质构造方程组例 2 若有理数ｘ、ｙ、ｚ满足 | 2ｘ - ｙ| + | ｙ + 2ｚ| + (ｚ- 2 ) 2 =0 ,则ｘ+ ｙ +ｚ= .解 :由非负数性质 ,得方程组 :2ｘ - ｙ =0 ,ｙ + 2ｚ=0 ,ｚ - 2 =0 . 解得ｘ =- 2 ,ｙ =- 4,ｚ=2 .∴ｘ + ｙ +ｚ =- 2 - 4+ 2 =- … 相似文献
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有些分式求值题 ,可以通过取倒数巧妙求解 .一、巧取已知分式的倒数例 1 若 ｘｙｘ +ｙ=1,ｙｚｙ +ｚ=2 ,ｘｚｘ+ｚ=3,则 1ｘ 的值是 . 解 ∵ ｘｙｘ +ｙ=1,∴ ｘ +ｙｘｙ =1,即 1ｘ +1ｙ =1① .同理可得 1ｙ+1ｚ=12 ② ,1ｚ+1ｘ=13③ .由 (① +② +③ )÷ 2 ,得 1ｘ+1ｙ +1ｚ=1112 ④ .④ -② ,得 1ｘ=512 .二、巧取待求分式的倒数例 2 若ｘ +1ｘ=3,则 ｘ2ｘ4 +ｘ2 +1=. 解 ∵ ｘ +1ｘ=3,∴ ｘ4 +ｘ2 +1ｘ2 =ｘ2 +1+1ｘ2 =ｘ +1ｘ2 - 1=32 - 1=8.∴ ｘ2ｘ4 +ｘ2 +1=18.三、同时取已知分式和待求分式的倒数例 3 已知ａ、ｂ、… 相似文献
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运用分母代换法证明不等式举例 总被引：1，自引：1，他引：1
对于分母是多项式的分式不等式 ,采用将分母进行整体代换后 ,便于应用基本不等式或常见的“( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=11ａｉ)≥ｎ2 (ａｉ >0 )”结论来证明 .下面分类举例 .1 分子为常数型例 1 若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1) ,求证 :11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.证明 设 1-ｘ + ｙ=ａ ,1- ｙ+ｚ=ｂ ,1-ｚ+ｘ=ｃ,则ａ >0 ,ｂ>0 ,ｃ>0 ,且ａ +ｂ+ｃ =3.∵ (ａ+ｂ +ｃ) (1ａ + 1ｂ + 1ｃ) ≥ 9,∴ 1ａ + 1ｂ + 1ｃ ≥ 3.故 11-ｘ+ ｙ+ 11- ｙ+ｚ+ 11-ｚ+ｘ ≥ 3.例 2 (第 19届莫斯科奥林匹克竞赛题 )设任意的实数ｘ、ｙ满足 ｜ｘ｜ <1,｜… 相似文献
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1 计算 :1+ 12 + 13+ 14 + 1512 + 13+ 14 + 15 + 16-1+ 12 + 13+ 14 + 15 + 1612 + 13+ 14 + 15 .2 若ａ >ｂ >ｃ,ｘ >ｙ >ｚ ,则下列四个代数式中 ,值最大的一个是 ( ) .(Ａ)ａｘ +ｂｙ +ｃｚ(Ｂ)ａｘ +ｃｙ +ｂｚ(Ｃ)ｂｘ +ａｙ +ｃｚ(Ｄ)ｂｘ +ｃｙ +ａｚ3 若ｘ - 1-ｘ - 6=5 ,则ｘ的取值范围是 .4 已知三个连续自然数的倒数和是10 72 10 ,求这三个自然数 .5 已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｘ、ｙ、ｚ、ｔ都是正实数 ,且ａ +ｘ =ｂ +ｙ =ｃ+ｚ =ｄ +ｔ=4 .求证 :ａｔ+ｂｘ +ｃｙ +ｄｚ<32 .参考解答1 设ａ =1+ 12 + 13+ 14 + 15 ,ｂ =12 +… 相似文献
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余学虎 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):20-20
大家知道 ,一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )根的判别式Δ =ｂ2 - 4ａｃ有着广泛的应用 .下面就用Δ≤ 0求某些函数最值谈谈它的应用 .例 1 若ｘ、ｙ、ｚ为正实数 ,且ｘ + 3ｙ + 5ｚ =15,求 ｘ + 5ｙ+ 2ｚ的最大值 .解 :设函数ｆ (ｍ ) =(ｘ + 3ｙ + 5ｚ)ｍ2 + 2 (ｘ + 5ｙ + 2ｚ)ｍ +1+ 532 + 252 =( ｘｍ + 1) 2 + 3ｙｍ + 532 + 5ｚｍ + 252≥ 0 ,ｘ + 3ｙ + 5ｚ=15>0 ,所以Δ =4 (ｘ + 5ｙ+ 2ｚ) 2 - 4(ｘ + 3ｙ + 5ｚ) 1+ 53+ 25≤ 0 .即ｘ +5ｙ+ 2ｚ≤ 4 6 .易得等号可以成立 ,故所求式的最大值为 4 6 .例 2 设θ为锐角 ,求… 相似文献
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化归法是解条件分式求值问题的一种有效方法 ,现举实例加以说明。例 1 已知ｘ2 - 3ｙ2 =2ｘｙ ,ｘ >0 ,ｙ >0 ,求ｘ - ｙｘ +ｙ的值 .解 :由已知条件 ,得ｘ2 - 2ｘｙ - 3ｙ2 =0 ,∴ (ｘ - 3ｙ)·(ｘ +ｙ) =0∵ｘ >0 ,ｙ >0 ,有ｘ +ｙ >0 ,∴ｘ - 3ｙ =0 ,即ｘ =3ｙ∴ｘ - ｙｘ +ｙ=3ｙ - ｙ3ｙ +ｙ=2 ｙ4 ｙ=12 .例 2 已知 :ｘ +2 ｙ +ｚ =0 ,3ｘ - ｙ - 11ｚ =0 (ｚ≠ 0 ) ,求ｘ2 - ｙ2 +ｚ2ｘｙ +ｙｚ +ｚｘ的值 .解 :由已知条件视ｚ为常数可得方程组ｘ +2 ｙ =-ｚ ,3ｘ - ｙ =11ｚ 解得ｘ =3ｚｙ =- 2ｚ∴原式 =(3ｚ) 2 - (- 2ｚ) 2 +… 相似文献
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有关函数应用型题目在初中教科书中很少涉及 ,但近几年各地的中考试卷中函数应用型试题的比重在增大 ,出现了许多函数应用型试题 ,本文浅析这类问题的解法 ,供同学们参考。例 1 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人 1 5 0人 ,甲、乙两种工种的工人的月工资分别为 60 0元和 1 0 0 0元 ,现要求乙种的人数不少于甲种工种人数的 2倍 ,问甲、乙两种工种各招聘多少人时 ,可使得每月所付的工资最少 ?简析 :若设招聘甲种工种的工人ｘ人 ,则招聘乙种工种的工人为( 1 5 0 -ｘ)人 ,共需付月资 ｙ元 ,那么应有ｙ =60 0ｘ + 1 0 0 0 ( 1 5 0 -ｘ) =- 40 … 相似文献
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整体思想的核心是通过对问题整体结构的审视和把握 ,提示问题的实质 .它对培养学生的创新意识和创新能力有着极大的帮助 ,对许多数学问题的解决显示出令人瞩目的特殊作用 .1 寻找解题方法有些题目一时难以识别属于哪个类型 ,甚至因为运用常规方法失灵而陷入困境 .这时 ,运用整体思想 ,易获求解方法 .例 1 ｘ、ｙ、ｚ均为非负数 ,且满足关系式 :ｘ =ｙ+ｚ- 1=4 -ｙ- 2ｚ,求ｕ =2ｘ2 - 2ｙ-ｚ的最值 .析与解 若将ｘ与ｙ表示为关于ｚ的式子 ,并代入ｕ得关于ｚ的二次函数 ,只能求得最小值 ,求不出最大值 ,思维受阻 .若将ｘ+ｙ +ｚ作为整体设… 相似文献
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一、填空题 (本大题满分 48分 ,本大题共有 1 2题 ,只要求直接填写结果 ,每题填对得 4分 ,否则一律得零分 ) .1 .已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ +1 ,则 ｆ- 1 ( 3 ) =.2 .直线 ｙ=1与直线 ｙ =3ｘ+3的夹角为.3 .已知点Ｐ(ｔａｎα ,ｃｏｓα)在第三象限 ,则角α的终边在第象限 .4.直线 ｙ=ｘ -1被抛物线 ｙ2 =4ｘ截得线段的中点坐标是 .5.已知集合Ａ =ｘ｜｜ｘ｜≤ 2 ,ｘ∈Ｒ ,Ｂ=ｘ｜ｘ≥ａ ,且Ａ Ｂ ,则实数ａ的取值范围是 .6.已知ｚ为复数 ,则ｚ+ ｚ>2的一个充要条件是ｚ满足 .7.若过两点Ａ( -1 ,0 )、Ｂ( 0 ,2 )的直线ｌ与圆(ｘ-1 ) 2 +( ｙ-ａ) … 相似文献
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题 令ｘ、ｙ、ｚ是满足ｘ ｙ ｚ =1的非负实数。证明 :ｘ2 ｙ ｙ2 ｚ ｚ2 ｘ≤ 42 7,并求不等式成立的条件。( 1 999年加拿大数学奥林匹克题 )简证 由于不等式是关于ｘ、ｙ、ｚ轮换对称的 ,故可设ｘ≥ｙ≥ｚ ,从而ｘ2 ｙ ｙ2 ｚ ｚ2 ｘ≤ｘ2 ｙ 2ｘｙｚ=ｘｙ(ｘ 2ｚ) =12 ｘ·2 ｙ·(ｘ 2ｚ)≤ 12 ( ｘ 2 ｙ ｘ 2ｚ3 ) 3 (∵ｘ、ｙ、ｚ非负 )=12 [2 (ｘ ｙ ｚ)3 ]3=42 7,等号在ｘ =2 ｙ =ｘ 2ｚ时成立 ,即ｘ =2 /3,ｙ =1 /3,ｚ =0。推广 若条件不变 ,则结论可推广为 :ｘｎｙｍ ｙｎｚｍ ｚｎｘｍ≤ ｎｎ·ｍｍ(ｎ ｍ) … 相似文献
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等比定理 若 ａｂ =ｃｄ =ｅｆ ,则ａｂ =ｃｄ =ｅｆ =ａ ｃ ｅｂ ｄ ｆ(ｂ ｄ ｆ≠ 0 ) .该性质看似简单 ,但在解各类数学竞赛题时 ,却能大大简化解题过程 ,起着无可替代的作用 ,收到出奇制胜的效果 .现举例说明 .例 1 ( 1990年匈牙利数学竞赛题 )若 ｘｙ ｚ ｔ=ｙｚ ｔ ｘ=ｚｔ ｘ ｙ=ｔｘ ｙ ｚ,记ｆ =ｘ ｙｚ ｔ ｙ ｚｔ ｘ ｚ ｔｘ ｙ ｔ ｘｙ ｚ,求证 :ｆ是整数 .证明 ( 1)若ｘ ｙ ｚ ｔ≠ 0 ,由等比定理 ,ｘｙ ｚ ｔ=ｙｚ ｔ ｘ=ｚｔ ｘ ｙ=ｔｘ ｙ ｚ=13,于是有ｙ ｚ ｔ=3ｘ ,ｚ ｔ ｘ =3ｙ ,ｔ ｘ ｙ =3ｚ ,… 相似文献
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一、填空题1 用换元法解分式方程 3ｘｘ2 - 1+ｘ2 - 13ｘ =52 时 ,如果设 3ｘｘ2 - 1=ｙ ,那么原方程可化为 .(2 0 0 1年福建省泉州市中考题 )2 若 2ｘ2 - 5ｘ+82ｘ2 - 5ｘ +1- 5 =0 ,则 2ｘ2 - 5ｘ- 1的值为 . (2 0 0 1年北京市东城区中考题 )3 方程组 ｘ2 - 4ｙ2 =3,ｘ +2ｙ =1的解是 . (2 0 0 1年辽宁省中考题 )4 甲走 12ｋｍ的时间等于乙走 15ｋｍ的时间 ,乙比甲每小时多走 1ｋｍ .若设甲每小时走ｘｋｍ ,则可列方程 . (2 0 0 1年江苏省苏州市中考题 )二、选择题1 解方程组 ｘ+ｙ=4 ,ｘｙ =2 时 ,将ｘ、ｙ看成是一个一元二次方程的根 … 相似文献
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《中学数学教学参考》2003,(3):58-61
一、选择题 (每小题 5分 ,共 60分 )1 .若集合Ｍ ={ｙ|ｙ =2 -ｘ},Ｐ ={ｙ|ｙ =ｘ -1 },则Ｍ∩Ｐ等于 ( ) .Ａ .{ｙ|ｙ>1 } Ｂ .{ｙ|ｙ≥ 1 }Ｃ .{ｙ|ｙ >0 } Ｄ .{ｙ|ｙ≥ 0 }2 .若 ｆ(ｘ) =ｘ -1ｘ ,则方程 ｆ( 4ｘ) =ｘ的根是( ) .Ａ .12 Ｂ .-12 Ｃ .2 Ｄ .-23 .设复数ｚ1=-1 +ｉ,ｚ2 =12 +32 ｉ,则ａｒｇ ｚ1ｚ2等于 ( ) .Ａ .1 3π1 2 Ｂ .71 2 πＣ .51 2 π Ｄ .-51 2 π4.函数 ｆ(ｘ) =11 -ｘ( 1 -ｘ) 的最大值是 ( ) .Ａ .45 Ｂ .54 Ｃ .34 Ｄ .435… 相似文献
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在数学竞赛中 ,会碰到一类与两数和与积有关的问题 ,文 [1]给出了这类问题的解 ,笔者通过思考 ,发现对其中的一些问题可以通过构造一元二次方程求解 .例 1 已知ｘ ,ｙ ,ｚ为实数 ,且ｘ + ｙ+ｚ= 5 ,ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ =3 ,试求ｚ的最大值与最小值 .(加拿大第 10届数学竞赛题 )解 由题意 ,ｘ+ ｙ =5 -ｚ ,ｘｙ =3 -ｚ(ｘ+ｙ) =3 -ｚ(5 -ｚ) =ｚ2 -5ｚ + 3 ,所以ｘ ,ｙ是关于ｐ的一元二次方程 ｐ2 -(5 -ｚ)ｐ+ (ｚ2 -5ｚ+ 3 ) =0的两个实数根 ,从而Δ =(5 -ｚ) 2 -4 (ｚ2 -5ｚ+ 3 ) =-3ｚ2 +10ｚ + 13 ≥ 0 ,解得 -1≤ｚ ≤ 133 .因此 ,ｚ的最… 相似文献