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1.
题目 已知CH是RtABC的高(∠C=90°),且与角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.证明:通过QN、PM中点的直线平行于斜边AB[1].(第52届白俄罗斯数学奥林匹克(决赛A类))这里给出此题的一个简证.图1证明:如图1,令E、F分别为QN、PM的中点.联结CE、EH.由∠C=90°,CH⊥AB得∠BCH=∠BAC.于 相似文献
2.
2011日本数学奥林匹克有如下一道题:
设H是锐角△ABC的垂心,M是边BC的中点,过点H作AM的垂线,垂足为P.证明:AM·PM=BM2.
证法1 如图1,设BH与AC交于点X,AH的中点为N.
因为∠AXH=∠APH=90°,所以,点P、X在以AH为直径的圆上(若AB=AC,则P、H重合,X也在以AH为直径的圆上).于是,∠AXN=∠XAN. 相似文献
3.
例1(2011年四川泸州中考)如图*,点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC;(3)设PA,BC交于点M,若AB=4,PC=2,求CM的长度.解析:这是一例延用许多年的经典问题.其中(1)较为简单,由"圆周角"定理易知:∠APB=∠ACB=60°,∠APC=∠ABC=60°,则∠BPC=∠APB+∠APC=60°+60°=120°.对于(3),解法较少,不做过多探究:由∠ABM=∠CPM,∠AMB=∠CMP,可得△ABM∽△CPM,则AMCM=BMPM=ABPC=42=2,设CM=x,则AM=2x,结合BC=AB=4,可知BM= 相似文献
4.
20 0 2年IMO中国国家集训队选拔考试第一题 :设凸四边形ABCD的两组对边所在直线分别交于E、F两点 ,两对角线的交点为P ,过P作PO⊥EF于O .求证 :∠BOC =∠DOA .图 1证明 :如图 1 ,只须证明∠POB =∠POD及∠POC =∠POA .而∠POB=∠POD等价于∠BOE =∠DOF .作BM⊥EF、DN⊥EF、AH⊥EF ,垂足分别为M、N、H .为证∠BOE =∠DOF只须证明△BOM∽△DON ,即只须证 BMDN=OMON.由BM∥PO∥DN知 BMDN=BPPD.由BM∥AH∥DN易知BMDN=BMAH·AHDN=BEEA·AFFD.再对△ABD及共点C的三线AP、BF、DE应用塞瓦定理… 相似文献
5.
刘京培 《中学数学教学参考》2003,(12)
定理 在△ABC中 ,D、E、F和X、Y、Z分别为边BC、CA、AB上的中点和高的垂足 ,ZD与FX交于L ,ZE与FY交于M ,DY与XE交于N ,则L、M、N三点都在△ABC的欧拉线上 (图 1 ) .证明 :如图 2 ,设O、H分别为△ABC的外心和垂心 ,我们来证明L在OH上 ,设△ABC外接圆半径为R ,设直线ZC、FX交于P ,连结OF、HL、OL .因OF⊥AB ,PZ⊥AB ,OF∥PZ ,∠OFL =∠P ,F为Rt△AXB斜边AB的中点 ,FX =FB ,∠B =∠BXF =∠CXP ,∠P =∠PZF -∠ZFP =90°-2∠B .在△CPX中 ,应用正弦定理 .可算出PC =XCsin∠CXPsinP =CHcos∠HCX… 相似文献
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8.
沈文选 《中学数学教学参考》2003,(10)
1 基础知识西姆松定理 过三角形外接圆上异于顶点的任意一点作三边的垂线 ,则三垂足共线 (此线称为西姆松线 ) .证明 :如图 1 ,设P为△ABC的外接圆上任一点 ,从P向三边BC、CA、AB所在直线作垂线 ,垂足分别为L、M、N .连结PA、PC ,由P、N、A、M四点共圆 ,有∠PMN =∠PAN =∠PAB =∠PCB =∠PCL .又P、M、C、L四点共圆 ,有∠PML =∠PCL .故∠PMN =∠PML ,即L、N、M三点共线 .注 :此定理有许多证法 .例如 ,如图 1 ,连结PB ,令∠PBC =α ,∠PCB =β ,∠PCM =γ ,则∠PAM =α ,∠PAN =β ,∠PBN =γ ,且BL =PB… 相似文献
9.
20 0 2年全国高中数学联赛加试试题一是 :如图 1 ,在△ABC中 ,∠A= 6 0°,AB>AC,点O是外心 ,两条高BE,CF交于点 H,点 M,N分别在线段 BH ,H F上 .满足 BM=CN,求 MH + NHOH 的值 .现先给出本题的两个别解 ,另再给出它的两个对偶式的值 .解法 1 连接 OB,OC,OM,ON,由 O是△ ABC的外心 ,得∠ BOC=2∠ A=1 2 0°,H是△ ABC的垂心 ,得∠ BH C=1 80°-∠ A=1 2 0°.∴∠ BOC=∠BH C,则 B,C,H ,O四点共圆 ,∴∠ OBH=∠OCH,即∠OBM=∠ OCN.又 OB=OC,BM=CN,∴△ BOM≌△CON.∴ OM=ON,∠ BOM=∠CON.于是 ,有∠… 相似文献