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近年来 ,经常在高考、高考模拟以及竞赛中出现与抽象函数有关的试题。一般地 ,抽象函数是指 :没有给出具体的函数解析式 ,只是给出函数所具有的某些性质的函数。这类试题往往概念抽象、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高 ,因此 ,学生常常感到难以掌握 ,教师也常为如何适时处理它等问题而苦恼。现本文主要介绍求解抽象函数问题的常见方法 ,供参考。1 合理递推例 1 函数 f具有下列性质 :f(x) +f(x -1 ) =x2 ,如果 f( 1 9) =94,那么 f( 94)除以 1 0 0 0的余数是多少 ?解 由 f(x) +f(x -1 ) =x2 ,得f(x) =x2 -f(x -1 ) ,又 f( 1 9) =94,∴f( 2 … 相似文献
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抽象函数是指只给出函数的某些性质而未给出解析式的函数 ,它在历年的高考竞赛中常常出现 ,不少同学对此类问题的解法感到无从下手 ,为使抽象函数问题的解决有“章”可循 ,下面介绍几种常见的求解方法 .一、求值问题例 1 已知函数f(x)满足 :对任意x、y∈R都有f(x y2 ) =f(x) 2f2 (y)且f(1 )≠ 0则f(2 0 0 5) = .解 :在f(x y2 ) =f(x) 2f2 (y)中 ,取x=y =0则f(0 ) =0 ,再取x =0 ,y =1代入得f(1 ) =2f2 (1 ) ,∵f(1 )≠ 0 ,∴f(1 ) =12 .在条件式中令x=n ,y=1则得递推式f(n 1 ) -f(n) =12 .∴数列 {f(n) }是首项为 12 ,公差… 相似文献
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所谓抽象函数,简单地说是指没有给出具体的函数(对应法则),仅含有抽象的函数符号、抽象的函数结构式或抽象的函数关系式的一种函数类型.对抽象函数问题的考查在近几年的高考中有逐年提高的趋势,这体现高考加大对理性思维能力考查的命题思想.理解和掌握以下几种方法,有助于同学们解决抽象函数问题.一、赋值法例1设函数f(x)的定义域为(0, ∞),且对于任意正实数x、y都有f(xy)=f(x) f(y)恒成立.若已知f(2)=1,试求:(1)f(21)的值;(2)f(2-n)的值,其中n为正整数.分析合理赋值,化抽象为具体,发现递推规律.解(1)令x=y=1,则f(1)=f(1) f(1),∴f(1)=0.再令x=2,y=12,则f(1)=f(2) f(12),∴f(12)=-f(2)=-1.(2)由于f(2-2)=f(12) f(21)=-2,f(2-3)=f(21) f(12) f(12)=-3,依此类推,可得f(2-n)=-n,其中n为正整数.点评利用抽象条件,通过对相关条件的赋值(赋具体值或代数式)是解决抽象函数问题的基本方法.二、逆用单调性法例2若f(x)是定义在(0, ∞)上的增函数,且对一切a,b∈(0, ∞)... 相似文献
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由于导数为解决一些实际问题和初等数学的传统问题,提供了有效且一般性的方法,故导数将是数学高考的重要内容之一(近几年来,高考中导数知识的试题分值一般为12～19分).题型会涉及选择题、填空题和解答题.复习时应注意以下几个重点、热点问题.一、与导数的定义有关的问题例1设函数f(x)在点x0处可导,则f(x0+2Δx)-f(x0-Δx)Δx=()A.f'(x0)B.2f'(x0)C.3f'(x0)D.0解析f(x0+2Δx)-f(x0-Δx)Δx=2f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx+f眼x0+(-Δx)演-f(x0)-Δx=2f'(x0)+f'(x0)=3f'(x0).选C.点评导数定义中的增量Δx有多种形式,可以是正也可以是负.例如,f'(x0)=… 相似文献
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研究函数 ,主要是研究函数的性质 .近年来 ,高考试题中抽象函数占有相当的比重 ,给出抽象函数的方法除结构关系式外 ,更重要的则是给出对称性、奇偶性、周期性这“三性”中的两个 .利用已知的两性能否推出第三性呢 ?我们有以下几个命题 .命题 1 偶函数若有非 y轴的对称轴 x=a,则必为周期函数 .证 :设 y=f (x)满足 f (x) =f (- x) ,f (x) =f (2 a- x)(a≠ 0 ) ,则f (x) =f (2 a- x) =f [- (x- 2 a) ]=f (x- 2 a) .可见 ,周期 T=|2 a|.命题 2 奇函数若有非 y轴的对称轴 x=a,则必为周期函数 .证 :设 y=f(x)满足 f(x) =- f(- x) ,f(x) =f(2 a… 相似文献
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在高中数学教学中 ,对函数的图象及性质的学习占有相当的比例 ,特别是对一些典型函数的研究可以培养思维能力 ,提高思维品质 .本文简要介绍函数 f(x) =ax +bx(a>0 ,b>0 )的性质 (单调性、值域和图象 )及应用 .一、函数 f(x)的性质1 单调性函数 f(x) =ax+bx(a>0 ,b>0 )的定义域为 ( -∞ ,0 )∪ ( 0 ,+∞ ) .由于 f( -x) =-f(x) ,所以函数 f(x)是奇函数 .先讨论 f(x)在 ( 0 ,+∞ )上的单调性 .设 0 相似文献
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我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数,本文就如何确定抽象函数的周期性通过实例介绍一些技巧,供学习参考。 1 合理赋值 在确定抽象函数的周期时,如果题设条件中含有f(a)=b(a、b为常数)等类似条件时,合理赋以特殊值,常可使问题迎刃而解。 例1: 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,并对任何x∈R均有f(x+2)-f(x)=f(2),则f(x)是以2为周期的周期函数。 分析:因为f(x)是R上的奇函数,所以对一切x∈R都有:f(-x)=-f(x) 又f(x+2)-f(x)=f(2)。 令x=-1,得f(1)-f(-1)=f(2), 即f(1)+f(1)=f(2), 从而f(2)=2f(1)=0 所以f(x+2)=f(x)+f(2)=f(… 相似文献
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有一类抽象函数问题 ,常把与抽象函数有关的等式作为条件 ,在高考试题中频繁出现 ,怎样利用好这些等式是解决此类问题的关键 .本文介绍处理这类问题的几种解题策略 .一、利用递推关系与抽象函数有关的等式看作递推式 ,利用其递推关系寻找新的等式 .例 1 已知 f ( x)是定义在正整数集上的函数 ,对任意正整数 x,都有 f ( x) =f ( x - 1) +f ( x +1) ,且f ( 1) =2 0 0 2 ,求 f ( 2 0 0 2 )解 :利用 f ( x) =f ( x - 1) +f ( x +1)的递推关系可知 :f ( x +1) =f ( x) +f ( x +2 ) ,和 f ( x +2 ) =f ( x+1) +f ( x +3)两等式联立得 :f ( x +3) … 相似文献
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Ⅰ.正比例函数f(x)=kx(k≠0,x∈R)的抽象函数的特征式为:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x-y)=f(x)-f(y);(3)f(xy)=k1f(x)f(y),特别地当k=1时,有f(xy)=f(x)f(y).例1:定义在R上的函数f(x),恒有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(16)=4,那么f(2003)=.解法1(基本解法):令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.令y=x,得f(2x)=2f(x),f(22x)=f(2·2x)=2f(2x)=22f(x),…,f(2nx)=2nf(x).又∵f(16)=4,∴f(1)=41.∵f(2003)=f(211-25-23-22-1),∴f(2003)=f(211)-f(25)-f(23)-f(22)-f(1)=(211-25-23-22-1)·f(1)=20403.… 相似文献
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解题过程中 ,根据问题条件 ,构造合适的函数 ,利用熟知的函数的性质 (例如单调性、奇偶性 )可巧妙的解答近几年出现的高考及国内外数学竞赛试题 .一、巧解方程 (组 )例 1 解方程 ( x2 - 2 0 x + 38) 3 =x3 - 4x2 + 84 x- 152解 :原方程可变形为 ( x2 - 2 0 x + 38) 3 + 4( x2 -2 0 x + 38) =x3 + 4x构造三次函数 f ( x) =x3 + 4x从而原方程可化为 f ( x2 - 2 0 x + 38) =f ( x)因为 f ( x) =x3 + 4x在 R上单调递增所以 x2 - 2 0 x + 38=x即 x2 - 2 1x + 38=0解得 x1=2 ,x2 =19.例 2 ( 1997年高中数学联赛试题 )设 x,y为实数 ,且满足 ( x… 相似文献
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高考数学试卷中常涉及一些与当年年份有关的试题,我们不妨称之为“年份题”,其实质是考查对函数性质的认识和挖掘能力。下面通过对例题的解析,来揭示“年份题”的解答策略。例1.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当-2≤x≤0时,f(x)=x,则f(2014)=。 相似文献
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奇偶性是函数的重要性质之一,应用广泛,是高考和数学竞赛命题的热点,灵活运用它可使许多难题迎刃而解.现将函数奇偶性的应用归纳如下,以供同学们复习时参考.一、求函数的值例1若函数f(x)与g(x)定义在R上,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,求g(1)+g(-1)的值.解f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y),所以f(x)是奇函数.令x=-1,y=1,则f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)[g(1)+g(-1)].∵f(-2)=f(1)≠0,∴g(1)+g(-1)=-1.二、求参量的值例2若关于x的方程arctan(1-x)+arctan(1+x)=a有唯一解,求a的值.解令f(x)=arct… 相似文献
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李显规 《数学大世界(高中辅导)》2005,(9)
不等式的证明,技巧性强,难度大,又是高考的重点.很多学生望而生畏,无从下笔,本文通过几例来说明一类绝对值不等式的证明.思想方法:归一法———消去几个参变量,只留下其中一个变量.【例1】已知二次函数f(x)=ax2 bx c,｜f(0)｜≤2,｜f(1)｜≤1,｜f(-1)｜≤1.求证:当x∈[-1,1]时,恒有｜f(x)｜≤178.证明:由已知,f(1)=a b c,f(-1)=a-b c,f(0)=c∴a=f(-1) f(1)-2f(0)2b=f(1)-f(-1)2,c=f(0)∴｜f(x)｜=｜f(-1) f(1)-2f(0)2x2 f(1)-f(-1)2x f(0)｜=｜f(-1)(12x2-12x) f(1)(12x2 12x) f(0)(-x2 1)｜≤｜12x2-12x｜ ｜12x2 12x｜ 2｜-x2 1｜=-2x2-x … 相似文献
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题目 (2016年全国卷二理科12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1/x与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则m∑i=1(xi+yi)=().
(A)0 (B)m (C)2m (D)4m
1 一题多解
本题条件中f(x)(x∈R)为抽象函数,且满足f(-x)=2-f(x),而题目要求我们求y=f(x)与y=x+1/x交点横坐标与纵坐标的和.那么我们就要弄清它们交点之间的关系,显然y=x+1/x这个反比例型函数自身关于点(0,1)中心对称,这时我们就要由f(x)(x∈R)的条件f(-x)=2-f(x)判断其是否也关于点(0,1)中心对称,这样就必须熟悉抽象函数的对称性.基于选择题的特点,那么方向不外乎两个:一是利用两函数的对称性理论求解;二是利用选择题答案的唯一性可构造特殊函数求解. 相似文献
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赵建中 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):17-18
函数在每年高考试题中都占有相当大的比重,从2004年高考题目中又可见到有拓宽函数命题领域的趋向.本文浅析高考函数命题的新趋势.一、三次函数闪亮登场由于导数的出现使三次函数问题呈现出新奇的亮点.【例1】已知函数f(x)=ax3-3x2-x-1在R上是减函数,求a的取值范围.解:由f(x)x∈R是减函数.故f′(x)=3ax2-6x-1<0当3ax2-6x-1<0]a<0且Δ=36 12a≤0∴a≤-3,即a∈(-∞,-3).【例2】已知函数f(x)=ax3 bx2-3x在x=±1处取得极值.(Ⅰ)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(Ⅱ)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.解:(Ⅰ)f′(x)=3ax… 相似文献
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石庆洪 《中学数学研究(江西师大)》2013,(2):46-47
y=f(x)的抽象函数方程中,有些方程有特定的几何意义,如f(x)=f(2a -x),f(x)+f(2a-x)=2b分别是轴对称(对称轴x=a)中心对称(对称中心(a,b))函数,特别地,a=b=0时,分别是偶函数和奇函数,f(x+T)=f(x)是周期函数,记住它们对解决问题很有意义.本文用这几个抽象函数方程给出2012全国高考四川卷(文、理)数学12题的快捷解法. 相似文献
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考题（2013年河南新课程高考适应性考试试题）已知函数f（x）=ln（x＋1）-f（0）x-f′（0）x2＋2． 相似文献
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随着高考新的《考试大纲》的修订 ,高中数学新课程标准及新教材的试用 ,高中数学的要求较原来有所提高 ,特别是由于 2 0 0 3年的高考试题难度的加大 ,使广大的师生普遍感到高中数学越来越难 .不仅如此 ,近年来还与高等数学等知识相联系 ,在此基础上 ,一些创新问题应运而生 .本文归纳与函数有关的若干创新问题 ,以供参考 .1 与利普希茨函数相关的问题例 1 对于函数y=f(x) ,如果存在一个正的常数a ,使得定义域D内的任意两个不等的值x1 ,x2 都有 ｜f(x1 ) -f(x2 ) ｜≤a｜x1 -x2 ｜成立 ,则称函数y=f(x)为D上的利普希茨Ⅰ类函数 .已知函数f(… 相似文献