函数y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(ac≠0)的值域     

熊曾润 《中等数学》1987,(6)

本文利用函数的增减性和三角代换法求函数 y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2) (1)(ac≠0)的值域。如ac>0,命k=max(-b/a,-d/c)(a>0,c>0) 或k=min(-b/a,-d/c)(a<0,c<0),则(1)的值域为  相似文献   

不等式的两条特殊性质及其应用     

王桥 《中学生数理化》2005,(Z1)

不等式的常见性质有三条.性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.即,若a>b,则a±c>b±c.性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.即,若a>b,c>0,那么ac>bc(或a/c-b/c).性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.即,  相似文献   

完全平方公式的应用     

曹秀之 《时代数学学习》2003,(Z2)

完全平方公式(a±b)~2=a~2±2ab+b~2.是整式运算中最重要的公式之一.在数学竞赛中它还能大显身手.例1 (2002年全国初中数学竞赛题)已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式 a~2+b~2+c~2-ab-bc-ac 的值为().(A)0 (B)1 (C)2 (D)3  相似文献   

一个不等式的讨论     

王方汉 《数学教学通讯》1984,(1)

“已知a>0,b>0,a+b=1,求证(a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥25/2”,这是一个常见的习题,值得深入讨论一番。为了便于本文的讨论,先给出如下解法: ∵ a>0,b>0,a+b=1 ∴ 1/a+1/b=(a+b)(1/a+1/b)≥4 ∴ (a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥ 2·((a+b+1/a+1/b)/2))~2≥ 2·(1+4/2)~2=25/2 这里,用到了不等式(a_1+a_2)(a_1~(-1)+a_2~(-1)≥2~2和a_1~2+a_2~2≥2((a_1+a_2)/2)~2.实际上,一般地有不等式(sum from k=1 to m ak)(sum from k=1 to m a_k~(-1))≥m~2和  相似文献   

利用体积解立体几何题     

卫广彦 《中学数学教学》1983,(1)

和面积在平面几何中的地位相当,体积在立体几何中也有一番妙用。举例说明如下。一利用体积求点到平面的距离例1 长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c,求顶点B_1到截面A_1BC_1的距离。解由题设,长方体AC_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c, ∴A_1B=(a~2+c~2)~(1/2),BC_1=(b~2+c~2)~(1/2),A_1C_1=(a~2+b~2)~(1/2) 故cos∠BA_1C_1=((A_1B)~2+(A_1C_1)~2-(BC_1)~2)/(2A_1B·A_1C_1)=(a~2+c~2+a~2+b~2-b~2-c~2)/(2((a~2+c~2)~(1/2))·(a~2+b~2)~(1/2))=(a~2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))sin∠BA_1C_1=(1-(a~4)/(a~2+c~2)(a~2+b~2))~(1/2)=(a~2b~2+b~2c~2+c~2a~2)~(1/2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))  相似文献   

一类指数方程的解法     

刘中勋 《数学教学研究》1985,(2)

方程((5+2 6~(1/2))~(1/2))~x+((5-2 6~(1/2))~(1/2))~x==10(上海1958年数学竞赛题)与方程((2+3~(1/2))~(1/2))~x+((2-3~(1/2))~(1/2))~x=4的解都是±2,它们形式相似,解又相同。那末,这类方程有没有一定的规律性呢?本文就探讨这一问题。定理1 若a>0,b>0,a~2-b=1,c≥2,则方程 (a+b~(1/2))~x+(a-b~(1/2))~x=c (Ⅰ)的解是  相似文献   

(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,((a+b)/2+2/(a+b))~2中谁最大?     

张垚 《数学教学通讯》1983,(6)

1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小?  相似文献   

2005年全国高中数学联赛山东赛区预赛     

李耀文 《中等数学》2006,(2):30-34

一、选择题(每小题6分,共60分)1.数集{x,x2-x}中,x的取值范围是().(A)(-∞,+∞)(B)(-∞,0)∪(0,+∞)(C)(-∞,2)∪(2,+∞)(D)(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)2.若z2+z+1=0,则z2005的值是().(A)1(B)-1(C)21±23i(D)-12±23i3.函数y=cos4x+sin2x的最小正周期为().(A)4π(B)2π(C)π(D)2π4.随机抛掷一枚六个面分别刻有1,2,3,4,5,6个点的骰子,其出现(即向上一面)的点数的数学期望为().(A)3(B)3·5(C)4(D)4·5图15.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的图像如图1所示.则下面关于a、b、c符号判断正确的是().(A)a>0,b<0,c<0(B)a>0,b>0,c>0(C)a<0,b<0,c>0(D)a…  相似文献   

巧用公式解题数例     

杨金侠 《数学教学通讯》1984,(4)

巧用公式a~2-b~2=(a+b)(a-b) 例1.计算3·5·17…,…(2~2~(n-1)+1) 解:原式=(2-1)(2+1)(2~2+1)(2~2~2+1)…,…(2~2~(n-1)+1) =(2~2-1)(2~2+1)(2~2~2+1)…,…(2~2~(n-1)+1) …… =(2~2~(n-1)-1)(2~2~(n-1)+1)=2~2~n-1。巧用a~2+b~2+c~2+2ab+2bc+2ac =(a+b+c)~2 例2.计算5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/2)/2~(1/2)+3~(1/2)+5~(1/2) 解:由(2~(1/2)+3~(1/2)+5~(1/2))~2 =2+3+5+26~(1/2)+210~(1/2)+215~(1/15) =2(5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/2)) 得5+6~(1/2)+10~(1/2)+15~(1/15)=1/2(2~(1/2+3~(1/2)+5~(1/2))~2  相似文献   

八年级数学竞赛训练题     

行云 《时代数学学习》2005,(10):40-40

1·已知:34-1=13,89-1=18,1156-1=115,…,a+1a-1=163,则a=.(a为正整数)2·已知:如图1,在△ABC中,∠B=90°,AB=BD,AD=DC=AE,则∠EDC=.图1图23·如图2,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,△ADE是正三角形,点D在BC边上,BD∶DC=2∶3,当△ABC的面积为100cm2时,△ADE的面积为.4·两个正整数相加时,得到1个两位数,且2个数字相同;相乘时,得到一个三位数,且3个数字相同,则满足上述条件的2个整数为.5·如果实数a,b,c满足abc<0,a+b+c=0,a<-b0,b<0,c>0(B)a>0,b<0,c>0(C)a<0,b>0,c>0(D)a<0,b<0,c>0图36·如图3…  相似文献   

数学竞赛中多层根号根式的化简     

王德礼 《数学教学通讯》2003,(Z2)

数学竞赛中常常会遇到含有多层根号的根式 .一般的说 ,这类根式都能通过化简最终化为单一根号的根式或不带根号的式子 .一、多层二次根式的化简化简含有多层二次根号的根式 ,一般有两种思路 :(一 )对根号下的式子进行配方 ,变为完全开方式如果是 a± 2 b的形式 ,设法找到两个有理数 x、y,使 x + y =a,xy =b,则a± 2 b =( x + y)± 2 xy =( x ) 2± 2 xy + ( y ) 2 =( x± y ) 2 =| x± y | ( x >y >0 )如果是 a± b的形式 ,可如下变形a± b =2 a± 2 b2= 2 a± 2 b2再用上述方法化简 .比如 ,化简 ( 1) 3+ 2 2 ;( 2 ) 2 - 3.解 :( 1)原式 =( …  相似文献   

IMO-36第二试题的推广     

华云  于桂萍  姜卫东  安振平  苏化明 《中学数学月刊》1996,(2)

第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2,  相似文献   

学习向量八注意   总被引：1，自引：0，他引：1  

李昭平 《数学大世界(高中辅导)》2003,(5):2-2

注意1 由a·b=a·c(a≠0),不能推出b=c即消去律不成立.取 ,a与b的夹角为45°,|c|=1/2,a与c的夹角为0°.显然a·b=a·c=1/2,且a≠0,但b≠c.  相似文献   

巧用一道习题的结论求一类无理函数的最值     

张德运 《数学教学通讯》1992,(4)

习题:已知x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>0,b>0,x≥0,y≥0),设P=x+y,求P的最大值和最小值。此题散见于各种数学资料中,由数形结合法不难求得,P_(max)=(a~2+b~2)~(1/2),P_(min)=min(a,b),利用这一结论直接求解形如y=(ax+b)~(1/2)+(cx+d)~(1/2)(a、c<0)的函数最值将非常简捷。例1 求函数y=(5+x)~(1/2)+(4-x)~(1/2)的最大值和最小值。解:设v=(5+x)~(1/2),v=(4-x)~(1/2),则v~2=20+4x。v~2=4-x,消去x得v~2/36+v~2/9=1。∴y_(max)=45~(1/2)=5~(1/3),y_(min)=3。例2 求函数y=(ax-b)~(1/2)+(c-dx)~(1/2)(a>0,d>0,且ac>bd)的最大值和最小值。  相似文献   

完全平方公式的变形与应用     

刘顿  胡怀志 《中学课程辅导(初一版)》2003,(Z1)

由完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.我们可以进行以下恒等变形:  相似文献   

完全平方公式的应用举例     

吕安宁  房友军 《时代数学学习》1999,(5)

完全平方公式(a±b)~2=a~2±2ab+b~2是我们学习中最常用的数学公式。应用它可以解决不少计算问题,现略举几例。  相似文献   

活用组合式解题     

张恒 《考试》2002,(9)

完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2中含有两个等式,若用“加减法”对它们重新组合,则容易得出以下两个推论: a2+b2=1/2(a+b)2+1/2(a+b)2①ab=1/4(a+b)2-1/4(a-b)2 ②  相似文献   

双曲线切线的一条性质     

姚先伟 《中学数学教学参考》2006,(13)

定理过双曲线上一点 P 作切线交渐近线于点A、B,则(1)PA=PB;(2)△OAB(O 为双曲线的中心)的面积为定值.证明:不妨设双曲线的方程为 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0),渐近线为 y=±(b/a)x,P(x_0,y_0)为双曲线上任一点,则 AB 的方程为 xx_0/a~2-yy_0/b~2=1,与 y=±(b/a)x 联立,  相似文献   

求y=(ax+b)~(1/2)±(cx+d)~(1/2)(ac(?)o)型函数的值域的新方法     

秦北波 《数学教学通讯》1991,(4)

求y=((ax+b)~(1/2))±((cx+d)~(1/2))(ac≠0)型函数值域的方法,一般不只一种,如观察法,利用函数单调性、三角代换等,但这些方法,往往因为考虑不周而容易出错,或使用范围有限,或有变形繁琐的缺点。这里,我们借助直线与二次曲线的关系,给出求y=((ax+b)~(1/2))±((cx+d)~(1/2))(ac≠0)型函数值域的新方法,此方法具有直观、简明、准确、实用范围广等优点。 [方法]设Y=(ax+b)~(1/2)≥0,X=(cx+d)≥0,则 y=Y±X 即 Y=±x+y (1)且 aX~2-cY~2=ad-bc (2) 建立平面直角坐标系XOY,那么(1),(2)分别表示坐标平面内的一条直线(斜率为±1,在Y轴上的截距为y)和一条二次曲线(可以为直线),若直线(1)与曲线(2)在第一象限(包括X、Y轴的正半轴)  相似文献   

谈“乘法公式”的应用     

章谨蓉 《时代数学学习》1998,(6)

初中代数教材中乘法公式有五个: (a+b)(a-b)=a~2-b~2; (a±b)~2=a~2±2ab+b~2; (a±b)(a~2ab+b~2)=a~3±b~3. 这些公式是数学运算和变形的基础.学习乘法公式,不仅要熟记公式,更重要的是学会灵活应用这些公式。乘法公式的应用十分广泛,本文仅从教材的例题、习题中总结其各种应用,供同学们参考。  相似文献