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1.
1 争论缘何而起2 0世纪 90年代 ,笔者陆续见到文 [1]、[2 ]、[3]、[4].文 [1]的标题是 :怎样由 ｆ[ｇ(ｘ) ]的定义域求ｆ(ｘ)的定义域 ,文 [2 ]2 .3中的标题是 :已知复合函数定义域 ,求原函数 (外层函数 )定义域 .四文均认为 :在ｆ[ｇ(ｘ) ],ｘ ∈Ｅ 的前提下 ,ｆ(ｘ)的定义域就是 ｇ(ｘ) ,ｘ∈Ｅ 的值域Ｕ .如 :例 1[1] 若函数 ｙ=ｆ(- 2ｘ2 1)的定义域是(- 1,1) ,则 ｙ=ｆ(ｘ)的定义域是 (- 1,1].例 2 [2 ] 若函数 ｙ=ｆ(1ｘ 1)的定义域为[- 23,- 12 ],则 ｙ =ｆ(ｘ)的定义域为 [2 ,3].例 3[3] 若 ｆ(1 1ｘ) =1ｘ2 - 2ｘ 1,… 相似文献
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1 函数1 1 填空题(1 )函数ｙ=ｘ2 - 4 +1｜ｘ- 1｜ 的定义域是。(2 )函数 ｆ(ｘ)的定义域为 (0 ,1 ] ,则ｆ(ｅｘ)的定义域是。(3)设 ｆ(1ｘ) =ｘ +1 +ｘ2 (ｘ >0 ) ,则 ｆ(ｘ) =。(4)若 ｙ =ｓｉｎｘ - 2 <ｘ <0ｘ2 +1 0 ≤ｘ <2,则 ｙ(π2 ) =。(5)设 ｆ(ｘ) =ａｘ-ａ-ｘ2 ,则函数的图形关于对称。答案(1 ) (-∞ ,- 2 ] ∪ [2 ,+∞ )(2 ) (-∞ ,0 ](3) 1 +1 +ｘ2ｘ(4) 1 +π42(5)原点1 2 单选题(1 )函数 ｙ =ｌｎ｜ｓｉｎπｘ｜的值域是 ( )。 Ａ .[- 1 ,1 ] Ｂ .[0 ,1 ] Ｃ .(-∞ ,0 ) Ｄ .(-∞ ,0 ](2 )下列各对函数中 … 相似文献
3.
不少同学在学习函数时 ,由于不了解定义域对函数性质的影响 ,因而不太注意定义域 .本文讨论定义域和反函数存在的关系 .课本是这样给出反函数的概念的 :一般地 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)中设它的值域为Ｃ ,我们根据这个函数中ｘ、ｙ的关系 ,用 ｙ把ｘ表示出 ,得到ｘ=φ(ｙ) ,如果对于 ｙ在Ｃ中的任何一个值 ,通过ｘ =φ(ｙ) ,ｘ在Ａ中都有唯一的值和它对应 ,那么ｘ=φ(ｙ)就表示 ｙ是自变量 ,ｘ是自变量 ｙ的函数 ,这样的函数ｘ= φ(ｙ) (ｙ∈Ｃ)叫做函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的反函数 ,记作ｘ =ｆ- 1 (ｙ) ,习惯写为ｙ =ｆ- 1 (ｘ) .ｙ=ｆ(… 相似文献
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在讨论求函数的值域时 ,有些书上介绍了一种方法 ,即所谓的“反函数法” .例如 [1]介绍“反函数法”如下 :如果函数 ｆ(ｘ)存在反函数ｘ =ｆ-1(ｙ) ,则ｘ =ｆ-1(ｙ)的定义域就是函数 ｙ=ｆ(ｘ)的值域 .例 1 求函数 ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域 .解 由函数 ｙ =1(1-ｘ) (1- 2ｘ) ,解得ｘ =3ｙ± ｙ2 +8ｙ4 ｙ .其定义域由 ｙ2 +8ｙ≥ 0 ,且 ｙ≠ 0确定 ,所以 ,ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域是……我们认为 ,“反函数法”作为一种求函数值域的方法是不成立的 .从映射的观点看 ,一个函数包含三个要素 :数集Ａ、Ｂ ,以及从Ａ到Ｂ的对应法则 ｆ :… 相似文献
5.
函数的定义域是函数的要素 ,若对其概念理解不透 ,在解题中很容易造成错解 .下面列举几例加以剖析 .例 1 设函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域是 [2 ,3],求函数ｙ=ｆ(ｘ2 )的定义域 .错解 :∵ 2 ≤ｘ≤ 3,∴ 4≤ｘ2 ≤ 9.∴函数ｙ=ｆ(ｘ2 )的定义域是 [4,9].错因 :∵函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域是 [2 ,3],∴函数ｙ =ｆ(ｘ2 )中的变量ｘ2 应属于集合 [2 ,3].显然上面的错解是由于对函数定义域的概念理解不深造成的 .正解 :由 2≤ｘ2 ≤ 3,得 2≤｜ｘ｜≤ 3,即-3≤ｘ≤-2 ,或 2≤ｘ≤ 3.∴函数定义域是 [-3,-2 ]∪ [2 ,3].评注 :求复合函数Ｆ(ｘ) =ｆ[ｇ(ｘ… 相似文献
6.
求函数值域是中学数学中一个重要的问题 ,解决这个问题的方法较多 ,“方程法”就是其中的一种。 一、用“方程法”求函数值域的解法原理 所谓“方程法” ,就是运用方程思想 ,将函数 ｙ =ｆ(ｘ)的解析式视为关于ｘ的方程 (ｙ为参数 ) ,根据方程有实数解的条件 ,求出使该方程在函数定义域内有解的所有ｙ值的集合 ,则此集合即为函数 ｙ =ｆ(ｘ)的值域。 下面证明用“方程法”求函数值域的正确性。 设集合Ａ为函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域 ,Ｂ为它的值域 ,即Ｂ ={ ｙ|ｙ =ｆ(ｘ) ,ｘ∈Ａ} ;又设Ｂ1 { ｙ|使“关于ｘ的方程”ｙ =ｆ(ｘ)在… 相似文献
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第 1章 函数1 填空题1 )设函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 - 1 ,φ(ｘ) =ｌｎｘ ,则 ｆ(φ(ｅ) ) =.2 )函数ｆ(ｘ) =11 -ｘ2 +ｘ +1的定义域是 .3)设ｆ(ｘ) =1ｘ2 ,ｇ(ｘ) =ｘ ,则 ｇ(ｆ(ｘ) ) =.4)某产品的成本函数为Ｃ(ｑ) =4ｑ2 +8ｑ +2 0 0 ,那么该产品的平均成本函数 Ｃ(ｑ) =.2 单项选择题1 )函数 ｙ =ｘｘ- 2 的定义域是 ( ) . Ａ (2 ,+∞ ) Ｂ (-∞ ,2 ) Ｃ [- 2 ,2 ]Ｄ (-∞ ,2 ) ∪ (2 ,+∞ )2 )函数 ｙ =ｌｎ｜ｓｉｎπｘ｜的值域是 ( ) . Ａ [- 1 ,1 ] Ｂ [0 ,1 ] Ｃ (-∞ ,0 ) Ｄ (-∞ ,0 ]3)若 ｆ(ｅｘ) =1… 相似文献
8.
题 求函数 ｙ =-ｘｘ2 +2ｘ +2 的值域。解 ｘ2 +2ｘ +2 =(ｘ +1 ) 2 +1≥ 1 >0 ,函数定义域为Ｒ。下用△法解题。原式变为 ｙ ｘ2 +2ｘ +2 =-ｘ①两边平方并整理得ｆ(ｘ) =(ｙ2 -1 )ｘ2 +2 ｙ2 ｘ +2 ｙ2 =0②∵ｘ∈Ｒ ,∴△≥ 0 ,即 (2 ｙ2 ) 2 -4(ｙ2 -1 )·2 ｙ2 ≥ 0 ,即 -ｙ2 (ｙ2 -2 )≥ 0 ,亦即 ｙ2 -2≤ 0 ,∴ -2≤ ｙ≤ 2 ,故原函数的值域为 [-2 ,2 ]。解答错了 ,错在哪里 ?在用△法解题时 ,首先要求二次项系数 ｙ2 -1≠0 ,即 ｙ≠± 1 ,上面解法中应完整考虑 ｙ2 -1≠ 0且△≥ 0 ,这时解得 -2≤ｙ≤ 2且 ｙ≠± 1。又 ｙ =± … 相似文献
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刘家明 《中学数学教学参考》2000,(6):61-61
在近期出版的一些参考资料中,均选编了下面一道题目并给出下述解法:已知ｆ(ｘ)满足ｆ[ｆ(ｘ)]=ｘ 1ｘ 2.求ｆ(ｘ).解:∵ｆ[ｆ(ｘ)]=ｘ 1ｘ 2=11 11 ｘ,∴ｆ(ｘ)=11 ｘ.该解法属定义法,看似简捷明快,令人耳目一新,但仔细推敲,题目和解法均有值得商讨之处.众所周知,两函数ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)构成复合函数ｆ[ｇ(ｘ)],需具备条件ＲｇＤｆ,其中Ｒｇ是ｇ(ｘ)的值域,Ｄｆ是ｆ(ｘ)的定义域.ｆ(ｘ)=11 ｘ的定义域Ｄｆ={ｘ|ｘ∈Ｒ,且ｘ≠-1},值域Ｒｆ={ｙ|ｙ∈Ｒ,且ｙ≠0}.因为ＲｆＤｆ,所以ｆ(ｘ)=11 ｘ在自然定义域上不能构成复合函数ｆ[ｆ(ｘ)].当然,如… 相似文献
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在讨论函数的单调性时 ,会遇到确定函数的单调区间的问题 .为解决这类问题 ,常需寻找区分单调增区间与单调减区间的分界点 .下面介绍“零点等值法” ,能对一些函数解决这一问题 .例 1 讨论函数 ｙ=ｘ+ 1 -ｘ的单调区间 .解 函数的定义域为 (-∞ ,1 ].设ｘ1 <ｘ2 ≤ 1 ,则ｙ1 -ｙ2 =ｘ1 + 1 -ｘ1 -ｘ2 -1 -ｘ2=(ｘ1 -ｘ2 ) 1 -11 -ｘ1 + 1 -ｘ2令ｘ1 =ｘ2 =ｘ ,由1 -11 -ｘ + 1 -ｘ =0 ,得ｘ=34.∴函数的单调区间可能是-∞ ,34和 34,1 .下面给出证明 .当ｘ1 <ｘ2 ≤ 34时 ,ｘ1 -ｘ2 <0 ,1 -11 -ｘ1 + 1 -ｘ2>0 ,∴ｙ1 <ｙ2 ,所以 ,函数 ｙ … 相似文献
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我们知道ｇ(ｘ) <ｆ(ｘ) ｆ(ｘ) ≥ 0 ,ｇ(ｘ)≥ 0 ,ｇ(ｘ) <[ｆ(ｘ) ]2 .ｇ(ｘ) >ｆ(ｘ) ｆ(ｘ) ≥ 0 ,ｇ(ｘ) >0 ,ｇ(ｘ) >[ｆ(ｘ) ]2 ;或 ｆ(ｘ) <0 ,ｇ(ｘ) ≥ 0 .将无理不等式转化为等价的代数不等式 (组 )来解 ,往往须考虑符号 ,运算复杂 .下面介绍另一求法 ,其理论根据是一元连续实函数 ｙ =ｆ(ｘ)的根 (存在 )将其定义域分成的各个区间上具有保号性 .此方法步骤如下 :(1)把不等式两边作差构造函数 ｙ=ｆ(ｘ) ;(2 )求ｆ(ｘ)定义域 ;(3)求 ｆ(ｘ)的根 ;(4)在其根依次将定义域分成的各区间内分别取一特殊值代入 ｆ(ｘ)判断其符号 ,从… 相似文献
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请先看下面的例子 :例 1 设函数 ｙ =ｆ(ｘ)定义在Ｒ上 ,则函数 ｙ=ｆ( 1 -ｘ)与 ｙ=ｆ( 1 +ｘ)的图象关于 ( )(Ａ)直线 ｙ=0对称(Ｂ)直线ｘ=0对称(Ｃ)直线 ｙ =1对称(Ｄ)直线ｘ=1对称学生往往容易错选Ｄ .什么原因呢 ?显然 ,学生将本题混同于下面的问题 :例 2 设 ｙ=ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数 ,若 ｆ( 1 -ｘ) =ｆ( 1 +ｘ) ,则函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象关于直线对称 .在这类问题上产生混淆的现象还很多 ,为此 ,笔者对这类对称问题剖析如下 ,供参考 .探讨函数图象的这类对称问题 ,首先应分清研究对象 ,是讨论某一个函数图象自身的对称问题… 相似文献
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在求函数的值域问题中 ,有一类题可以转化为求关于ｘ的方程有解时 ,ｙ(作为参数 )的取值范围问题。为什么能这样求呢 ?下面给出此种解法的依据 :命题 设 ｙ=ｆ(ｘ)的定义域为Ｄ ,值域为Ｚ。方程 ｆ(ｘ) -ｙ =0经过同解变形后得方程 ｆ(ｘ ,ｙ) =0 ,并设此方程中ｘ的取值范围为Ｄ ,ｙ的取值范围为Ｚ ,若Ｄ =Ｄ ,则Ｚ =Ｚ。证明 由函数的定义 ,对任意的 ｙ0 ∈Ｚ ,则在Ｄ中必有一ｘ0 ,使 ｙ0 =ｆ(ｘ0 ) ,即 (ｘ0 ,ｙ0 )为 ｆ(ｘ0 ) -ｙ =0的一组解。又Ｄ =Ｄ ,则ｘ0 ∈Ｄ ,由于对 ｙ施行的是同解变形 ,故 (ｘ0 ,ｙ0 )也为 ｆ(ｘ ,ｙ) =0的解… 相似文献
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20 0 2年高考数学试题的解法灵活多样 ,丰富多彩 .其中许多试题不需动笔就能一望而解 ,答案一见得知 .1 活用性质例 1 函数ｙ =2ｘ1 ｘ,ｘ∈ (-1 , ∞ )图像与其反函数图像的交点坐标为 .解 利用性质“函数ｙ=ｆ(ｘ)的图像和它的反函数ｙ=ｆ-1(ｘ)的图像关于直线ｙ=ｘ对称” ,易知两函数图像若有交点 ,则交点必在对称轴ｙ=ｘ上 ,那么由ｙ=2ｘ1 ｘ=ｘ(ｘ>-1 )即得ｘ=0或ｘ =1 ,从而ｙ=0或ｙ=1 ,故交点坐标为 (0 ,0 ) ,(1 ,1 ) .2 逆向思考例 2 函数ｙ =ａｘ 在 [0 ,1 ]上的最大值与最小值的和为 3 ,则ａ =.简析 :反过来考虑 ,易知 ,函… 相似文献
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第 一 试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1.已知ｘ、ｙ是两个不等的正数 ,则Ａ =ｘ2 +ｙ22- ｘ +ｙ2 ,Ｂ =ｘ +ｙ2 -ｘｙ ,Ｃ =ｘｙ - 21ｘ + 1ｙ的大小顺序是 ( ) .(Ａ)Ａ >Ｂ >Ｃ (Ｂ)Ａ >Ｃ >Ｂ(Ｃ)Ｂ >Ａ >Ｃ (Ｄ)Ｂ >Ｃ >Ａ2 .函数ｙ =ｆ(ｘ)与ｙ =ｇ(ｘ)有相同的定义域 ,对定义域中任何ｘ ,有ｆ(ｘ) +ｆ(-ｘ) =0 ,ｇ(ｘ)ｇ(-ｘ)= 1,且当ｘ≠ 0时 ,ｇ(ｘ)≠ 1.则Ｆ(ｘ) =2ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) - 1+ｆ(ｘ)是 ( ) .(Ａ)奇函数 (Ｂ)偶函数(Ｃ)既是奇函数又是偶函数(Ｄ)非奇非偶函数3 .已知ａ、ｂ为非零常数 .若Ｍ =ａ… 相似文献
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高一课本中给出了对数函数ｙ=ｌｏｇａｘ(ａ>0 ,ａ≠ 1)的四条性质 :(1)定义域 :(0 ,+∞ ) .(2 )值域 :Ｒ .(3)过点 (1,0 ) ,即当ｘ=1时 ,ｙ=0 .(4)当ａ >1时 ,在 (0 ,+∞ )上是增函数 ;当 0 <ａ <1时 ,在 (0 ,+∞ )上是减函数 .由性质 (3)、(4)我们可以推出如下结论 ;(Ⅰ )ａ>1,ｘ >1 ｙ>0 ;(Ⅱ ) 0 <ａ <1,0 <ｘ <1 ｙ>0 ;(Ⅲ ) 0 <ａ<1,ｘ>1 ｙ <0 ;(Ⅳ )ａ>1,0 <ｘ <1 ｙ<0 .证明 (只证明 (Ⅱ ) ,其余略 )0 <ａ <1 ｙ=ｌｏｇａｘ为减函数 0 <ｘ<1 ( 4 ) ｌｏｇａｘ>ｌｏｇａ1. ( 3 ) ｙ =ｌｏｇａｘ >0 .证毕注意到… 相似文献
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在解有关函数的问题时 ,学生往往容易忽视其定义域从而导致错误 ,令人惋惜 .笔者现举几例 ,以引起大家足够重视 .例 1 已知函数 ｆ(ｘ2 - 3) =ｌｇ ｘ2ｘ2 - 4 ,求 ｆ(ｘ)的定义域 .错解 令ｘ2 - 3 =ｔ ,则 ｆ(ｔ) =ｌｇｔ 3ｔ- 1.由ｔ 3ｔ - 1>0 ,得ｔ<- 3或ｔ >1.故函数 ｆ(ｘ)定义域为 {ｘ｜ｘ<- 3或ｘ>1} .评析 错解忽视了ｔ受ｘ2 - 3的约束 ,从而扩大了定义域的范围 .事实上 ,令ｘ2 - 3=ｔ,则ｔ≥ - 3,ｆ(ｔ) =ｌｇｔ 3ｔ- 1.由ｔ 3ｔ- 1>0 ,ｔ≥- 3,得ｔ >1.故 ｆ(ｘ)定义域为 {ｘ｜ｘ >1} .例 2 判断函数 ｆ(ｘ) =ｌｇ( 1-ｘ2 )… 相似文献
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题目 已知二次函数ｙ1=ｘ2 - 2ｘ- 3.( 1 )结合函数ｙ1的图像 ,确定当ｘ取什么值时 ,ｙ1>0 ,ｙ1=0 ,ｙ1<0 ;( 2 )根据 ( 1 )的结论 ,确定函数ｙ2 =12 ( |ｙ1| -ｙ1)关于ｘ的解析式 ;( 3)若一次函数ｙ =ｋｘ +ｂ(ｋ≠ 0 )的图像与函数ｙ2 的图像交于三个不同的点 ,试确定实数ｋ与ｂ应满足的条件 .该题是天津市 2 0 0 2年中考题 .图 1由图 1及绝对值意义易得 :( 1 )当ｘ <- 1或ｘ>3时 ,ｙ1>0 ;当ｘ =- 1或ｘ =3时 ,ｙ1=0 ;当 - 1 <ｘ <3时 ,ｙ1<0 .( 2 )ｙ2 =0 (ｘ≤ - 1或ｘ≥ 3) ,-ｘ2 + 2ｘ + 3(- 1<ｘ <3) .而问题 ( 3)有较强的综合性 ,… 相似文献
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一、运用图象信息 ,解答实际问题一次函数ｙ =ｋｘ +ｂ的图象 ,一般来说是一条直线 .实际问题中的函数图象 ,由于自变量取值范围的限制 ,可能是直线上的一部分 ,也可能是折线 .图 1例 1 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李 ,如果超过规定重量 ,则需要购买行李票 ,行李费用ｙ(元 )是行李重量ｘ(千克 )的一次函数 ,其图象如图 1所示 ,则ｙ与ｘ之间的函数关系式是 ,自变量ｘ的取值范围是 .(2 0 0 1年甘肃省中考题 ) 解 设所求的一次函数解析式为ｙ =ｋｘ +ｂ(ｙ≥ 0 ) .由图象所示 ,当ｘ =6 0时 ,ｙ =6 ;当ｘ =80时 ,ｙ =10 … 相似文献
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一、已知函数的解析式 ,求复合函数的定义域例１ 求函数 ｙ＝ｌｇ ｘ的定义域．解 :中间函数的定义域是ｘ≥０ ,函数ｌｇｘ的定义域是ｘ＞０ ,所以复合函数 ｙ＝ｌｇｘ的定义域是既满足不等式ｘ≥０又满足不等式 ｘ＞０的ｘ值的集合 ,即不等式组ｘ≥０,ｘ ＞０,的解集．∴定义域是（０ ,+∞ )．二、用符号表示的函数的定义域对用符号表示的函数 ,应紧紧抓住中间变量这一关键环节 ,由已知的定义域 ,得出相应的条件组（不等式或不等式组）．如 ,已知 ｆ（ｘ）的定义域为ｘ∈〔ａ,ｂ〕 ,求 ｆ 〔φ（ｘ）〕的定义域 ,则由ａ≤ｘ≤ｂ ,可得ａ… 相似文献