最大公因式的另一种求法     

梁效仁 《内蒙古师范大学学报(教育科学版)》1998,(4)

在《高等代数》的各种教材中,关于一元多项式的最大公因式的求法已有许多介绍,如辗转相除法,因式分解法等.但是辗转相除法书写起来颇为繁琐,即会用分离系数法,往往仍有累赘之感.因式分解法虽从理论上来讲是可行的,但实际分解每一个多项式来求最大公因式确是一件繁重的工作.本文利用矩阵的行初等变换来解决这个问题.命题1:设F为数域,f_1(x),f_2(x)∈F(x),令d(x)=(f_1(x),f_2(x)),对于任取c_1·c_2≠0,φ_1(x),φ_2(x)∈F(x),则有:(f_1:(x),f_2(x))=(f_2(x),f_1(x))=(c_1f_1(x),f_2(x)=(f_1(x),c_1f_2(x))=(f_1(x),f_2(x)+f_1(x)φ(x))=(f_1(x)+f_2(x)φ_2(x),f_2(x))=d(x)证明:现只证明(f_1(X),f_2(X)+f_1(X)+φ_1(X))=d(X),其它类同.∵d(X)=(f_1(x),f_2(x))∴d(x)|f_1(x)且d(x)|f_2(X)∴d(X)|(f_2(X)+f_1(X)φ_1(X))∴d(x)为f_1(x)和f_2(X)+f_1(X)φ(x)的一个公因式现设φ(x)为f_1(x)和f_2(x)+f_1(X)φ_1(x)的任一公因式,则φ(x)|f_1(x)且平φ(x)|(f_2(x)+f_1(X)φ_1(X))=φ(X)|f_2(x)∵φ(X)|d(x)∴由最大公因式的定义和d(x)的唯一性知(f_1(x),f_2(x)+f_1(X)φ_1(x))=d(x)可将这个结论运用数学归纳法推广到n个一元多项式的情形:  相似文献