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代数部分1.本届IMO第1题.2.已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=6.a~2+b~2+c~2+d~2=12.证明:36≤4(a~3+b~3+c~3+d~3)-(a~4+b~4+c~4+d~4)≤48.3.已知x_1,x_2,…,x_(100)是非负实数,且对于 相似文献
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组合部分
1.考虑平面上边平行于坐标轴的矩形(长和宽均大于0),并称这样的一个矩形为一个“箱子”.如果两个箱子有公共点(包括箱子的内部或边界上的公共点),则称两个箱子“相交”.求最大的正整数n,使得存在n个箱子B1,B2,…,Bn,满足Bi与Bj相交当且仅当i j±1(mod n). 相似文献
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代数部分1.本届IMO第4题.2.已知无穷实数列a0,a1,a2,…满足条件an=|an 1-an 2|,n≥0,其中a0、a1是两个不同的正数.问这个数列是否有界?3.是否存在一个函数f:Q→{-1,1},使得如果x、y是两个不同的有理数,且满足xy=1或x y∈{0,1},则f(x)f(y)=-1?证明你的结论.4.本届IMO第2题.5.设a 相似文献
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一、数论部分1.设k和n是正整数 ,且n >2 .证明 :方程xn -yn=2 k无正整数解 .(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克决赛 )证明 :反证法 .设n0 >2是满足xn0 -yn0 =2 m(m >0 )中最小的一个 .若n0 是偶数 ,设n0 =2l,l∈N ,则x2l-y2l =(xl-yl) (xl+yl) ,于是xl-yl 是 2的整数次幂 ,与n0 的最小性矛盾 .若n0 是奇数 ,定义集合A ={p|xn0 -yn0 =2 p,p、x、y均为正整数 } .设p0 是A中最小的一个元素 ,则xn0 -yn0 =2 p0 ,所以x、y的奇偶性相同 .又因为(x -y) (xn0 -1+xn0 -2 y +… +xyn… 相似文献
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1999年,国内外数学竞赛进一步向IMO靠拢,为了能更好地进行交流,加强合作,并为广大数学奥林匹克爱好者提供一份资料,特将部分国内外数学奥林匹克试题给予解答,以飨读者。 相似文献