| 一道数学竞赛题的探究 |
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| 引用本文： | 朱刚英,戴志祥.一道数学竞赛题的探究[J].中学数学研究(江西师大),2014(8):48-49. |
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| 作者姓名： | 朱刚英 戴志祥 |
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| 作者单位： | 浙江省绍兴市高级中学,312000 |
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| 摘 要： | 题目 已知数列{an}满足：a1=2,an=2（an-1＋n）（n=2,3,…）.求数列{an}的通项公式.（2013年全国高中数学联赛（B卷）试题）本文从一题多解,一题多变两个角度对本题目进行探究,希望对同仁有所帮助.一、一题多解解法1：a1 =2,a2 =2（a1＋2）=8,当n≥3时,我们有an-2an-1=2n,an-1-2an-2=2（n-1）,两式相减,得an-3an-1＋2an-2=2,即an-an-1＋2=2（an-1-an-2＋2）,令bn=an-an-1＋2（n≥2）,则数列{bn}（n≥2）是公比为2的等比数列,且b2=a2-a1 ＋2=8,于是bn=b2×2n-2=2n＋1,即an-an-1＋2=2n＋1,于是,an-1-an-2＋2=2n,…,a2-a1＋2 =23,将上面n-1个等式相加,得an-a1＋2（n-1）=23 ＋24＋…＋2n＋1=2n＋2—8,∴.an=2n＋2—2（n＋2）,注意到当n=1,2时,公式仍适用,所以这就是所求的通项公式.
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| 关 键 词： | 数学竞赛题 全国高中数学联赛 等比数列 通项公式 一题多解 一题多变 B卷 等式 |
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