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| 一个优美的不等式及其妙用 | |
| 引用本文： | 朱家海.一个优美的不等式及其妙用[J].中学数学杂志,2003(2). |
| 作者姓名： | 朱家海 |
| 作者单位： | 云南省会泽县大井乡第一中学 654222 |
| 摘 要： | 定理 若ｘ、ｙ、ａ、ｂ均为实数 ,且ａ>0 ,ｂ >0 ,那么 ｘ2ａ +ｙ2ｂ ≥ (ｘ+ｙ) 2ａ +ｂ (※ )等号成立当且仅当 ｘａ= ｙｂ .证明 不等式 (ｂｘ-ａｙ) 2 ≥ 0显然成立 ,当且仅当 ｘａ =ｙｂ 时取等号 .从而ｂ2 ｘ2 - 2ａｂｘｙ +ａ2 ｙ2 ≥0 ,所以ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 ≥ 2ａｂｘｙ .不等式两边都加上ａｂｘ2 +ａｂｙ2 ,得ａｂｘ2 +ａ2 ｙ2 +ｂ2 ｘ2 +ａｂｙ2 ≥ａｂｘ2+2ａｂｘｙ+ａｂｙ2 ,所以 (ａ+ｂ) (ｂｘ2 +ａｙ2 ) ≥ａｂ(ｘ +ｙ) 2 .因为ａ >0 ,ｂ>0 ,所以 ｘ2ａ +ｙ2ｂ ≥ (ｘ +ｙ) 2ａ+ｂ .不等式 (※ )结构规范 ,对称和谐 ,形式… |
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