| ∑(a)/(ra)≥23的再加强及变换 |
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| 引用本文： | 马占山.∑(a)/(ra)≥23的再加强及变换[J].中等数学,2001(4). |
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| 作者姓名： | 马占山 |
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| 作者单位： | 宁夏固原一中,756000 |
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| 摘 要： | 文1]建立了如下一个几何不等式:
设ABC的三边长分别为a、b、c,旁切圆半径分别为ra、rb、rc.则
∑(a)/(ra)≥23.
(1)
文2]对不等式(1)加强为:
∑(a)/(ra)≥(2(4R+r))/(4R2+4Rr+3r2).
(2)
其中R、r分别为ABC的外接圆半径与内切圆半径,∑表示循环和,下同.
本文将(2)加强为:
∑(a)/(ra)≥24-(2r)/(R).
(3)
证明:设ABC的半周长为s,由
ra=(sr)/(s-a),rb=(sr)/(s-b),rc=(sr)/(s-c)
和三角恒等式a2+b2+c2=2(s2-4Rr-r2),可知
∑(a)/(ra)=(1)/(sr)(a+b+c)s-(a2+b2+c2)]
=(2(4R+r))/(s).
由O.kooi不等式
2s2(2R-r)≤R(4R+r)2.
可知(1)/(s)≥(4R-2r)/((4R+r)R).
故(2(4R+r))/(s)≥(24R-2r)/(R)
=24-(2r)/(R).
则不等式(3)成立.
下面证明(3)比(2)强.
显然,仅需证
4-(2r)/(R)≥(4R+r)/(4R2+4Rr+3r2)
成立.
将上式平方整理得R≥2r.
由Euler不等式可知,上式成立.
这说明(3)强于(2).
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