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| 从一道竞赛题得到的三角恒等式 | |
| 引用本文： | 吴荣宝.从一道竞赛题得到的三角恒等式[J].数学教学通讯,1986(5). |
| 作者姓名： | 吴荣宝 |
| 作者单位： | 江苏无锡县中学 |
| 摘 要： | 武汉市1957年中学生数学竞赛第二试中,有这样一道题:设方程x~n-1=0的n个根是1,a_1,……,a_(n-1),求证: (1-a_1~2)(1-a_2~2)…(1-a_(n-1)~2)=(0,当n为偶数时当n为奇数时)其中n≥2,(试题见福建人民出版社《历届中学生数学竞赛题解》)。这题的证明并不很困难,现证明如下: 证明:当n是偶数时,方程x~n-1=0的实根有两个:1和-1。因此在a_1,a_2,……,a_(n-1)中有一个为-1;这样在1-a_1~2,1-a_2~2,……1-a_(n-1)~2中,必有一个为零。因此,当n为偶数时,(1-a_1~2)(1-a_2~2)……(1-a_(n-1)~2)=0; |
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