| 用几个特殊函数构造零点问题中的辅助函数 |
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| 引用本文： | 黄永.用几个特殊函数构造零点问题中的辅助函数[J].商情·科学教育家,2007(11). |
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| 作者姓名： | 黄永 |
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| 作者单位： | 昭通师范高等专科学校数学系 云南昭通 |
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| 摘 要： | 在高等数学的很多问题,特别是中值命题中,常通过构造辅助函数的方法达到解决问题的目的,而辅助函数往往与题设中的已知函数密切相关,也就是说,辅助函数的构造离不开已知函数,如拉格朗日定理证明中的辅助函数φ(x)=f(α)f(b)b--fα(α)(x-α)与柯西定理中的辅助函数F(x)=-f(α)-gf((bb))--fg((αα))b(x)-g(α)]均由题设中函数f(x)或g(x)及其端点的函数值构成。在中值命题中,还有较广泛一类零点问题需用已知函数的导数f‘(x)、ex等特殊函数去构造辅助函数,使命题的假设与结论之间搭建更为便捷的桥梁,从而达到化难为易的目的。本文就几个常用特殊函数对辅助函数的构造予举例说明。1用已知函数f(x)的导数f‘(x)构造辅助函数例1若函数f(x)在区间α,b]上具有二阶导数,f(x)与f‘‘(x)同号,且f(x)在任何小区间上不恒为零,则f(x)或f‘(x)在α,b]上至多有一个零点。分析:由结论,可考虑构造辅助函数F(x)=f(x)f‘(x),对其求导,便有f‘2(x)+f‘‘(x)f(x)。由已知条件知,f(x)在α,b]可导,且x∈α,b],F‘(x)=f‘2(x)+...
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