| 闭的实连续统R^—ΩП上的无穷小微积分学（Ⅱ） |
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| 引用本文： | 黄乘规.闭的实连续统R^—ΩП上的无穷小微积分学（Ⅱ）[J].商洛师范专科学校学报,2001,15(2):20-45. |
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| 作者姓名： | 黄乘规 |
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| 作者单位： | 天津市卫津路154号师北里四号楼门204室,天津300073 |
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| 摘 要： | 在21中陈述了R^-ΩП中区间的分类及测度，得到线段中无穷小微积分的基本公式，用穷举法构造性地列出R^-ΩП的四类不可割的子连续统，π^+－其测度为π^＋、a+ω^-+-其测度为ω^＋－、a-ω^+-－其测度为ω^＋－和π^＋－其测度为π^＋，这里a∈R。在22研究了R^-ΩП中有穷的矩形的测度，首先定义关于dx的连续运算：连续相加 和连续相乘记作 ，得到矩形面段无穷小微积分的基本公式，由矩形面积公式出发证明他（1）实数集合Ra,b]的测度为零，全体实数集合R的测度也为零。（2）m(Φa,b])＝b-a，其中Φa,b]是R的空集合，这是本文中对Lebesque测度提供的第二和第三个反例，因此应该在R^-ΩП之上建立新的测试论，最后定义了dθ对dx的微商．23和24中将R中序列极限结果的精密化了，极限的结果共分为七类，有不同的波动和点驻型，自变量的极限有更精密的表示，如lim/n→∞n=π^＋≠∞和lim/x&;gt;c∧x→c＝c|n≠ω^-+-c等，对函数的极限点进行了仔细的讨论．25中用极限精确化的方法将R中的函数扩大为R^-ΩП的一个多值或单值函数关系，并对R^-ΩП的函数关系引入极限协调的概念．26中研究了用极限精确化的方法将R中的可导函数在R^-ΩП中的扩大，特别研究了单值扩大的问题，最后定义了dθ（x)对dx的微商。因为实数集合的测度为零，所以27中的R^-ΩП中在极限协调性的条件下对实数集合定义了对实数集合定义了新的测度．在28中首先指出：因为实数集合R的测度为零，所以实数函数f(c)在a和b之间的积分需要重新定义，接着把R^-ΩП中的单值和多值函数的积分定义为一个变量，根据部分量不超过全量的基本原则，并引进了曲边梯形a-b-f(b)-f(a)的本源几何形式的概念，我们证明了有关积分的基本不等式。进一步把实数函数f(c)扩大成为R^-ΩП中的单值和多值函数，再定义其积分，总结了积分方法：正问题的求积分法是求原函数；反问题的求积分法－根据被积分函数f(x)的某些性质，在R中用极限方法估算，随之得到连续函数无穷小微积分的基本公式，在假设a,b,c∈R且a&;lt;b,f(c)是定义在a≤c≤b上的实数函数，并对每个满足a≤c≤b的实数c,f(c)在c点的左极限和右极限都存在的条件下，用极限精确化的方法将f(c)扩大为R^-ΩП中的单值或多值函数，然后证明了积分∫^baf(x)dx可以取到确定的实数值，并得到有关的无穷小微分求和基本公式。这些公式已超出连续函数的范围，本节最后对物理上的右瞬时、瞬时速度和瞬时中的平均速度作了合理的解释，29中做出了七点评述。（1）总结了关于不可分割的连续统的研究。（2）对Zeno的总格言进行了评述，（3）肯定了庄周的无厚不可积的猜想，（4）肯定了Aristotle否认数能够产生一个连续统的猜想，（5）肯定了庄周的不测猜想。（6）在27和28中为R^-ΩП的测度论和积分论提供了的基础，但要使这种测度论圆满，还有很多事情要做。（7）肯定了非标准分析的创始人Robinson所得到的新的推演过程，主要是2]中所得到的转移原则，具有划时代意义。Robinson把引进新的数学对象的任务交给后人去完成，本文所引进的不可分割的连续元是新的数学实体，回答了数学中的一个根本问题：数量（测度或距离等）是从哪里来的？本文的数学结论是：数学中的测度来源于连续元π^＋、a+ω^和π^＋，这种不可分割的连续元才是数量的实体，它也代表实x轴上空间的实体，而实数只是分割这种不可分割的连续元的没有测度的标签，一条有向直线，例如实x轴，不能被实数点填满，这个结果在数学史上从来没有搞清楚过。
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| 关 键 词： | 三元素区间 区间 实连续统 R^－ΩП 无穷小微积分 连续函数 极限精密函数 |
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