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设A_1,B_1,C_1分别是△ABC中BC,CA,AB边上的任意点,则你△A_1B_1C_1为△ABC的内接三角形。本文中记△ABC的面积为S,AB=c,BC=a,CA=b,内切圆半径为r,三旁切圆半径为r_a,r_b,r_c;AC_1/C_1B=m,BA_1/A_1C=n,CB_1/B_1A=l,△AC_1B_1,△BA_1C_1,△CB_1A_1,△A_1B_1C_1的面积分别为S_1,S_2,S_3,S′。则有。定理、△ABC的面积S与其内接△A_1B_1C_1面积S′有如下关系式:S′=(1+mnl)/((1+m)(1+n)(1+l))S其中AC_1/C_1B=m,CB_1/B_1A=l,BA_1/A_1C=n。 相似文献
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面积比的类型很多,本文着重谈“有一个角对应相等(或互补)的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比”在几何证题中的广泛应用。这个性质可表示为: 定理:在△ABC与△A_1B_1C_1中,∠B=∠B_1(或互补),则 S_(△ABC)/S(△A_1B_1C_1)=(AB·BC)/(A_1B_1·B_1C_1)。我们用三角形的面积公式S=1/2acsinB容易证明上述定理(略)。不少比例线段的证明,可归结为这个性质的应用。下面举例说明之。 1.证明三角形内角平分线的性质例1 已知△ABC的内角A的平分线交BC于D 求证: 相似文献
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刘保乾 《郧阳师范高等专科学校学报》1995,(2)
定义:设△ABC的三内角为A、B、C,△A_1B_1C_1的三内角为90°-A/2、90°-B/2、90°-C/2,则称△A_1B_1C_1为△ABC的切点三角形(因为△A_1B_1C_1的几何意义是连接△ABC的内切圆与三边的切点所得的三角形,故取此名)。 下面叙述并证明本文中的定理。 相似文献
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相似三角形的知识在测量和绘图方面都有广泛的应用,同时又是学习相似多边形和其他相似形以及三角知识的基础.它是“相似形”这一章书的重点.其中,三角形相似的判定定理的证明又是本章的难点.下面着重谈谈三个判定定理的证明.在教学判定定理前,先复习三角形相似的预备定理.即,如图一,只要B_1C_1//BC,那么△AB_1C_1就和△ABC相似.这预备定理是证明三角形相似的三个判定定理的基础.三角形相似判定定理一:如果一个三角形的两个角和另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.已知:在△A_1B_1C_1和△ABC中,∠A_1=∠A,∠B_1=∠B.(图二)。求证:△A_1B_1C_1∽ 相似文献
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[猜想] △ABC的周长大于其内共BC边的任一凸多边形的周长(见图1) 此猜想可给出严格证明,以下改称定理。为此,先证明 [引理] 如果A_1是△ABC的任一内点(也可在AB或AC边上),则BA+AC>BA_1+A_1C 证明:略 [定理] 见猜想证明:∵ B_1、C_1是△ABC的内点∴∠B_1BC+∠C_1CB<∠ABC+∠ACB<180°即BB_1、CC_1延长后必有交点A_t 可以证明A_1是△ABC之内点,如若不然,不妨设A_1在AC右侧,必A_1C上之点C_1也在AC右侧,与C_1是内点矛盾。由引理可知BA+AC>BA_1+A_1C (1) ∵多边形BA_mC是凸多边形 相似文献
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本文给出两个著名定理:西姆松线定理与托勒密定理等价性的证明.为方便,将两个定理写在下面:托勒密定理:若四边形ABCD是圆内接四边形,则AB·CD AD·BC=AC·BD.西姆松线定理:三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线.1 用西姆松线定理证明托勒密定理文[1]已给出证明,简述如下:证明 ABCD是任一凸四边形,连接AC,如图,过D向△ABC各边作垂线,垂足分别为 C_1、A_1、B_1,连结C_1B_1,B_1A_1,由西姆松线定理得: 相似文献
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将△ABC的内用A,B,C与常数通过适当运算,变为三个正角A_1,B_1,Cl且满足A_1十B_1 C_1=π,我们把这样的过程叫做△ABC的一个内角变换. 相似文献
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1 三阶垂足三角形的性质 以三角形三条高的垂足为顶点的三角形常称之为垂足三角形,本文将此概念作一推广。从平面上一点P向△ABC各边作垂线,垂足为A_1、B_1、C_1且不共线,则称△A_1B_1C_1为点P关于△ABC的垂足三角形,或一阶垂足三角形。点P关于△A_1B_1C_1的垂足三角形△A_2B_2C_2称为二阶垂足三角形,点P关于△A_2B_2C_2的垂足三角形称为三阶垂足三角形。 相似文献
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1 两个定理及推论 定理1 自△ABC所在平面内一点P向三角形三边作同向等角θ的射线,分别交BC、CA、AB边于点A_1,B_1,C_1。设△ABC外 相似文献
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定理 △ABC为锐角三角形的充要条件是:在边BC,CA,AB上分别存在点A_1,B_1,C_1,使得AA_1=BB_1=CC_1。 证明 必要性。如图1,设△ABC的∠B≥90°,不妨设AB≥BC,则对边BC上任一点K,有AK>AB。在AC上任取一点L,则 相似文献
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文[1]“100个未解决的问题”中的问题80是: Safta猜想 设AA_1、BB_1、CC_1是△ABC三条任意Cevian线。若AA_1∩B_1C_1=P,BB_1∩A_1C_1=Q,CC_1∩A_1B_1=R,猜想sum AP/(PA_1)≥3。 相似文献
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定理 △ABC中,O为外心,OA_1⊥BC于A_1,OB_1⊥AC于B_1,OC_1⊥AB于C_1,R为外接圆半径,则(R-OA_1)(R-OB_1)(R-OC_1)≤1/8·R~3。 证明 分三种情况: (1)△ABC为锐角三角形。 相似文献
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康艳红 《中学数学研究(江西师大)》2007,(9):27-28
2007年江西高考理科第20题是这样的:如图是一个直三棱柱(以A_1B_1C_1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A_1B_1=B_1C_1=1,∠A_1B_1C_1=90°,AA_1=4,BB_1=2,OC_1=3. 相似文献
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众所周知,直线l_1:A_1x B_1y C_1=0与直线l_2:A_2x B_2y C_2=0(其中A_1、B_1、C_1、A_2、B_2、C_2均不为零)重合的充要条件是(A_1)/(A_2)=(B_1)/(B_2)=(C_1)/(C_2)。然而,运用这一条件求解某些数学问题,构思新颖,方法巧妙,过程简捷。本文就此作一些探讨,旨在抛砖引玉,并希望对我们的教学能有所帮助。 相似文献
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《数学教学》1992,(5)
276.设P是正△ABC内一点,分别作P关于直线AB、BC、CA的对称点C_1、A_1、B_1,并设△ABC、△A_1B_1C_1的面积分别为S、S′,试证:S′≤S。证:如图1,设正△ABC的边长为x,P到三边BC、CA、AB的距离分别为a、b、c,△PB_1C_1、△PC_1A_1、△PA_1B_1的面积分别为S_1、S_2、S_3,那么S′=S_1+S_2+S_3,且因∠A_1PB_1=∠B_1PC_1=∠C_1PA_1=120°,所以 S_1=1/2·2b·2c·sin120°=3~(1/2)bc, S_2=3~(1/2)ca,S_3=3~(1/2)ab。因正三角形内任一点到三边的距离之和等于此正三角形的高,即a+b+c=3~(1/2)/2x,于是S′=3~(1/2)(bc+ca+ab)≤3~(1/2)·1/3(a+b+c)~2=3~(1/2)/3·(3~(1/2)/2x)~2=3~(1/2)/4x~2=S。 相似文献