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1.
胡芳举 《中学数学教学参考》2006,(17)
本文将给出圆锥曲线定点弦的一个有趣性质及一个推论.定理1 如图1,已知椭圆 x~2/a~2+y~2/b~2=1,及定点N(n,0)(|n|≠a,n≠0),过点 N 任作一直线交椭圆于A_1、A_2两点,A_3为椭圆上任一点,设直线 A_1A_3、A_2A_3分别交直线 l:x=a~2/n 于 P、Q,则直线 NP 与 NQ 的斜率之积为定值 b~2/(n~2-a~2). 相似文献
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林志森 《中学数学研究(江西师大)》2015,(3):32-34
一、从联赛到自主招生,一脉相承题1(2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题)已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和圆x~2+y~2=b~2,经过椭圆上的动点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,若直线PQ在x轴、y轴上的截距分别为m,n,证明:(a~2)/(n~2)+(b~2)/(m~2)=(a~2)/(b~2).题2(2014年华约试题)已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和圆x~2+y~2=b~2,经过椭圆上的动点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,直线PQ与坐标轴的交点分别为E,F,求AEOF面积的最小值. 相似文献
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吴军 《中学数学研究(江西师大)》2010,(6):26-27
一、试题探究2008年安徽省高考试题理科第22题为:设椭圆C:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)过点M(2~(1/2),1),且左焦点为F_1(-2~(1/2),0).(1)求椭圆C的方程;(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相 相似文献
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一条直线和一条圆锥曲线的位置可以有相交、相切或相离三种情况。下面给出在给定一条直线方程和一条圆锥曲线的方程的条件下,判定它们的位置关系的定理。定理一已知直线l:Ax+By+C=0和椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1,若a~2A~2+b~2B~2>C~2则l和E相交;若a~2A~2+b~2B~2=C~2则l和E相切:若 a~2A~2+b~2B~2相似文献
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刘南山袁平 《中学数学研究(江西师大)》2014,(2):33-34
正笔者在利用几何画板研究有心圆锥曲线的切线时发现一个简洁有趣的性质,现介绍如下:命题1自圆C_1:x~2+y~2=a~2+b~2上任一点P向椭圆C_2:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a,b0)引两条切线,则这两条切线互相垂直.证明:设P点的坐标为(x_0,y_0),自这一点向椭圆C_2引的两切线分别为l_1和l_2.(1)当切线的斜率存在且不为0时,设过P的切线方程为y-y_0=k(x-x_0),由y-y_0=k(x-x_0),x~2/a~2+y~2/b~2=1得(b~2+k~2a~2)x~2+ 相似文献
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已知斜率为m的椭圆切线有两条。这两条平行切线除了具有一般椭圆切线的性质以外,还具有一些特殊的性质。运用这些性质可以很方便地解决有关实际问题。设椭圆方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1则有性质1:椭圆的斜率为m的两切线方程为:y=mx±(m~2a~2+b~2)~(1/2)其间距离为 d=(m~a~2+b~2)~(1/2)/m~2+1~(1/2) 性质2:椭圆两切线平行的充分必要条件是二切点关于椭圆中心对称。性质3:椭圆的任一焦点到两平行切线 相似文献
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众所周知,直线与圆有公共点的充要条件是圆心到直线的距离不大于圆的半径。应用这一关系解决一些数学问题将另辟蹊径。别具风格,现举例说明如下。一求值例1 已知|a|≤1,|b|≤1,且a((1-b~2)~(1/2))+b((1-a~2)~(1/2))=1,求a~2+b~2的值。解:令x=(1-b~2)~(1/2),y=(1-α~2)~(1/2),则直线ax+by=1与圆x~2+y~2=2-(a~2+b~2)有公共点((1-b~2)~(1/2),(1-a~2)~(1/2)),于是(|-1|)/((a~2+b~2)~(1/2))≤((2-(a~2+b~2))~(1/2)), 相似文献
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95年全国高考理工第26题是一道好题,它不仅揭示几何性质深刻,而且能给我们以广泛地联想。笔者对它作了一些侧面透视并获得了一些新的成果。 为方便起见,现将原试题中的数量字母化,即得: 已知椭圆c:x~2/a~2 y~2/b~2=1和其外一定直线l:x/m y/n=1,P是l上一点,射线OP交椭圆c于R,Q是OP上的一点且满足|OQ|·|OP|=|OR|~2,当P在l上运动时,求Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 相似文献
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学过《平面解析几何》的同学都知道:过椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1上一点P(x_0,y_0)的切线的方程是(x_0x)/a~2+(y_0y)/b~2=1①因(x_0~2)/a~2+(y_0~2)/b~2=1,又可写成(x_0x)/a~2+(y_0y)/b~2=(x_0~2)/a~2=(y_0~2)/b~2②, 一些细心的同学会问:当P(x_0,y_0)点不在椭圆上时,方程①或②的几何意义是什么呢?过椭圆外定点的椭圆的切线能否用方程①或②来表示呢?而少数粗心的同学在解题时没考虑点P的位置,直接套用方程①或②导致错误的情况时有发生。因此,有必要引导学生利用熟知的原理和方法,进行一番较深入的探讨。下面我们给出: 相似文献
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我们知道,与椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1相切于(X_0y_0)点的切线方程是x_0x/a~2+y_0y/b~2=1 ①我们把直线y=kx+(m≠O) ②变形为 -ka~2x/m/a~2+b~2/m~y/b~2=1 ③如果直线②与椭圆也相切于(x_0,y_0)点,则①和③表示同一条直线,所以有 x_0=-ka~2/m,y_0=b~2/m (Ⅰ) 用同样的方法,可类似地求出圆x~2+y~2=r~2双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1和抛物线y~2=2px与 相似文献
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本刊93年第2期《一个有用的截距不等式》一文,用一个不等式解决了一类涉及圆锥曲线上两点成轴对称的高考题,确实使人耳目一新。本文试图从此两点及它的对称轴所在的直线方程出发,来解决此类问题,同样显得简捷明快。设椭圆C:x~2/a~2 y~2/b~2=1上存在不同两点A、B,若AB中点为M(m,n),则C关于M对称的曲线C′的方程为:(x-2m)~2/a~2 (y-2n)~2/b~2=1。显然,AB是C与C′的公共弦,C-C′得AB所在直线方程为: b~2mx a~2ny-b~2m~2-a~2n~2=0 (Ⅰ)而线段AB的垂直平分线,即A、B两点的对称轴方程: 相似文献
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本刊1986年第四期刊载蒋声同志的文章,给出了有一个内角为120°的三角形的三边长的整数解,即C=120°,三边长分别为 d=2mn+m~2, (A) b=2mn++3n~2, c=m~2+3mn+3n~2,其中m、n为自然数,且m≠3的倍数(否则三边长有公因数)。显然(A)式是不定方程 c~2=a~2+b~2+ab的一组整式解,但蒋老师并没有给出如何找到这一组整式解的方法。本文打算就这个问题谈一点方法,并就整数边三角形的存在给出一个充要性条件。一、不定方程 c~2=a~2+b~2+ab的整数解的求法关键是配方。首先c~2=a~2+b~2+ab=a~2+ab+1/4 b~2+3/4b~2=(a+1/2b)~2+(1/2 3~(1/2)b~2又由恒等式 (p~2+q~2)~2=(p~2-q~2)++(2pq)~2 相似文献
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和面积在平面几何中的地位相当,体积在立体几何中也有一番妙用。举例说明如下。一利用体积求点到平面的距离例1 长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c,求顶点B_1到截面A_1BC_1的距离。解由题设,长方体AC_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c, ∴A_1B=(a~2+c~2)~(1/2),BC_1=(b~2+c~2)~(1/2),A_1C_1=(a~2+b~2)~(1/2) 故cos∠BA_1C_1=((A_1B)~2+(A_1C_1)~2-(BC_1)~2)/(2A_1B·A_1C_1)=(a~2+c~2+a~2+b~2-b~2-c~2)/(2((a~2+c~2)~(1/2))·(a~2+b~2)~(1/2))=(a~2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))sin∠BA_1C_1=(1-(a~4)/(a~2+c~2)(a~2+b~2))~(1/2)=(a~2b~2+b~2c~2+c~2a~2)~(1/2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2)) 相似文献
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从点P作二次曲线C的两条切线,切点分别是A、B,称线段AB为点P对C的切点弦。本文在建立切点弦(所在直线)方程的基础上,研究有关切点弦的一些性质。一、切点弦方程例1.求椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1外一点P(x_0,y_0)对椭圆的切点弦AB的方程。 相似文献
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例1 求点 P(4,0)与抛物线 y~2=2x 上的点的距离的最小值。解:设抛物线上一点 Q(x_1,y_1),则y_1~2=2x_1,|PQ|=(x_1-4)~2~(1/2) y_1~2=(x_1~2-6x_1 16)~(1/2)。∵被开方数二次项的系数为正,∴当 x=3时,(x_1~2-6x_1 16)极小值:=7,|PQ|极小值=7~(1/2)。例2 设 A、B 是椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1的相邻二顶点,试在(?)上求一点 P,使四边形PAOB 面积为最大。解:设(?)上一点 P(acosθ,bsinθ),则S(?)PAOB=S△AOB S△PAB 相似文献
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可人 《湖州师范学院学报》1980,(Z1)
在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程是x~2/a~2+y~2/b~2=1 (1)一般方程则为φ(x,y)(?)Ax~2+BXy+Cy~2+DX+Ey+F=0 , (2)其中判别式B~2-4ACO.命题 若P(x_1,y_1)是椭圆(1)的外点,则x_1~2/a~2+y_1~2/b~2>1;若P(x_1,y_1)是椭圆(1)的内点,则x_1~2/a~2+y_1~2/b~2<1,一般地,若P(m,n)是椭圆(2)的外点则φ(m,n)>0若P(m,n)是椭圆(2)的内点则φ(m,n)相似文献