共查询到20条相似文献，搜索用时 421 毫秒
1.
函数的定义域是函数的要素 ,若对其概念理解不透 ,在解题中很容易造成错解 .下面列举几例加以剖析 .例 1 设函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域是 [2 ,3],求函数ｙ=ｆ(ｘ2 )的定义域 .错解 :∵ 2 ≤ｘ≤ 3,∴ 4≤ｘ2 ≤ 9.∴函数ｙ=ｆ(ｘ2 )的定义域是 [4,9].错因 :∵函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域是 [2 ,3],∴函数ｙ =ｆ(ｘ2 )中的变量ｘ2 应属于集合 [2 ,3].显然上面的错解是由于对函数定义域的概念理解不深造成的 .正解 :由 2≤ｘ2 ≤ 3,得 2≤｜ｘ｜≤ 3,即-3≤ｘ≤-2 ,或 2≤ｘ≤ 3.∴函数定义域是 [-3,-2 ]∪ [2 ,3].评注 :求复合函数Ｆ(ｘ) =ｆ[ｇ(ｘ… 相似文献
2.
刘家明 《中学数学教学参考》2000,(6):61-61
在近期出版的一些参考资料中,均选编了下面一道题目并给出下述解法:已知ｆ(ｘ)满足ｆ[ｆ(ｘ)]=ｘ 1ｘ 2.求ｆ(ｘ).解:∵ｆ[ｆ(ｘ)]=ｘ 1ｘ 2=11 11 ｘ,∴ｆ(ｘ)=11 ｘ.该解法属定义法,看似简捷明快,令人耳目一新,但仔细推敲,题目和解法均有值得商讨之处.众所周知,两函数ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)构成复合函数ｆ[ｇ(ｘ)],需具备条件ＲｇＤｆ,其中Ｒｇ是ｇ(ｘ)的值域,Ｄｆ是ｆ(ｘ)的定义域.ｆ(ｘ)=11 ｘ的定义域Ｄｆ={ｘ|ｘ∈Ｒ,且ｘ≠-1},值域Ｒｆ={ｙ|ｙ∈Ｒ,且ｙ≠0}.因为ＲｆＤｆ,所以ｆ(ｘ)=11 ｘ在自然定义域上不能构成复合函数ｆ[ｆ(ｘ)].当然,如… 相似文献
3.
本文例举几种忽视函数定义域导致解题错误的实例并加以剖析 .例 1 已知函数ｆ(ｘ) =2 ｌｏｇ3 ｘ ,ｘ∈〔1,9〕 ,求函数ｇ(ｘ) =〔ｆ(ｘ)〕2 ｆ(ｘ2 )的最大值和最小值 .错解 ∵ｆ(ｘ) =2 ｌｏｇ3 ｘ ,∴ｇ(ｘ) =〔ｆ(ｘ)〕2 ｆ(ｘ2 )=( 2 ｌｏｇ3 ｘ) 2 2 ｌｏｇ3 ｘ2 =ｌｏｇ23 ｘ 6ｌｏｇ3 ｘ 6=(ｌｏｇ3 ｘ 3) 2 - 3 .∵ｘ∈〔1,9〕 ,∴ｌｏｇ3 ｘ∈〔0 ,2〕 ,当ｌｏｇ3 ｘ =0时 ,ｇ(ｘ) ｍｉｎ=6;当ｌｏｇ3 ｘ =2时 ,ｇ(ｘ) ｍａｘ=2 2 .剖析 上面的解题错误地认为 ｆ(ｘ)的定义域即为 ｇ(ｘ)的定义域 ,事实上 ｇ(ｘ)的定… 相似文献
4.
第 1章 函数1 填空题1 )设函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 - 1 ,φ(ｘ) =ｌｎｘ ,则 ｆ(φ(ｅ) ) =.2 )函数ｆ(ｘ) =11 -ｘ2 +ｘ +1的定义域是 .3)设ｆ(ｘ) =1ｘ2 ,ｇ(ｘ) =ｘ ,则 ｇ(ｆ(ｘ) ) =.4)某产品的成本函数为Ｃ(ｑ) =4ｑ2 +8ｑ +2 0 0 ,那么该产品的平均成本函数 Ｃ(ｑ) =.2 单项选择题1 )函数 ｙ =ｘｘ- 2 的定义域是 ( ) . Ａ (2 ,+∞ ) Ｂ (-∞ ,2 ) Ｃ [- 2 ,2 ]Ｄ (-∞ ,2 ) ∪ (2 ,+∞ )2 )函数 ｙ =ｌｎ｜ｓｉｎπｘ｜的值域是 ( ) . Ａ [- 1 ,1 ] Ｂ [0 ,1 ] Ｃ (-∞ ,0 ) Ｄ (-∞ ,0 ]3)若 ｆ(ｅｘ) =1… 相似文献
5.
在 2 0 0 2年上海高考题中有这样一道试题 :已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +2ｘ·ｔａｎθ-1 ,ｘ∈ [-1 ,3 ],其中θ∈ -π2 ,π2 .( 1 )当θ=-π6时 ,求函数 ｆ(ｘ)的最大值与最小值 ;( 2 )求θ的取值范围 ,使 ｙ =ｆ(ｘ)在[-1 ,3 ]上是单调函数 .该题以学生熟知的二次函数知识为载体 ,考查最值和单调函数的掌握情况 .解 ( 1 )当θ=-π6时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 -2 33 ｘ-1=ｘ-332 -43 ,∴ｘ=33 时 ,ｆ(ｘ)的最小值为 -43 .ｘ=-1时 ,ｆ(ｘ)的最大值为2 33 .( 2 )函数 ｆ(ｘ) =(ｘ+ｔａｎθ) 2 -1 -ｔａｎ2 θ图象的对称轴为ｘ =-ｔａｎθ,∵ｙ =ｆ(ｘ)在… 相似文献
6.
不少同学在学习函数时 ,由于不了解定义域对函数性质的影响 ,因而不太注意定义域 .本文讨论定义域和反函数存在的关系 .课本是这样给出反函数的概念的 :一般地 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)中设它的值域为Ｃ ,我们根据这个函数中ｘ、ｙ的关系 ,用 ｙ把ｘ表示出 ,得到ｘ=φ(ｙ) ,如果对于 ｙ在Ｃ中的任何一个值 ,通过ｘ =φ(ｙ) ,ｘ在Ａ中都有唯一的值和它对应 ,那么ｘ=φ(ｙ)就表示 ｙ是自变量 ,ｘ是自变量 ｙ的函数 ,这样的函数ｘ= φ(ｙ) (ｙ∈Ｃ)叫做函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的反函数 ,记作ｘ =ｆ- 1 (ｙ) ,习惯写为ｙ =ｆ- 1 (ｘ) .ｙ=ｆ(… 相似文献
7.
在涉及反函数的一些问题中 ,有时不求反函数 ,反而可以更准确更快捷地解题 .一、求值例 1 若ｆ(ｘ) =3ｘ-4 ,则ｆ- 1 ( 2 ) =.解 设ｆ- 1 ( 2 ) =ａ ,则ｆ(ａ) =2 ,即3ａ-4 =2 ,ａ=2 ,∴ｆ- 1 ( 2 ) =2 .例 2 已知ｆ(ｘ) =ｘ2 (ｘ≥ 1) ,又ｆ- 1 (ｍ)= 4,则ｍ =.分析 ∵ｆ- 1 (ｍ) =4,∴ｆ( 4 ) =ｍ ,∴ｍ =42 =16.例 3 若ｆ(ｘ) =3ｘ2 +2 (ｘ ≥ 0 ) ,则ｆ- 1 [ｆ( 2 ) ] = .分析 应用结论 :若函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ ,ｙ∈Ｃ)存在反函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ) ,则ｆ[ｆ- 1 (ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ｃ) ,ｆ- 1 [ｆ(ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ａ) .由上易知ｆ- 1 … 相似文献
8.
中学数学微积分初步主要讨论一元函数的微积分问题 ,而一元函数中复合函数是最常见、最主要的内容 ,它占有举足轻重的地位。复合函数的知识是求导和求积的重要基础知识 ,认识不到函数的复合及一复合函数怎样分解 ,求导、求积就会寸步难行 ,造成教学上的困难。一、复合函数注意事项设有两个实数集上的映射 : ｆ:ｙ=ｆ(ｕ) ｕ∈Ｄｆ ｇ :ｕ =ｇ(ｘ) ｘ∈Ｄｇ如果映射ｇ的值域Ｒｇ 与映射ｆ的定义域Ｄｆ有 :Ｒｇ Ｄｆ,于是可将ｕ =ｇ(ｘ)代入 ｙ =ｆ(ｕ)得到新函数 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ] ｘ∈Ｄ ,Ｄ =Ｒｇ ∩… 相似文献
9.
王翔 《中学生数理化(高中版)》2003,(1):11-11
例 1 已知函数 ｆ(ｘ) =1ｘ2 + (ａ - 4 )ｘ + 4 - 2ａ,若ａ∈ [- 1,1],则 ｆ(ｘ)的定义域为 ( ) .Ａ .( 1,3) Ｂ .( -∞ ,1)∪ ( 3,+∞ ) Ｃ .( 1,2 ) Ｄ .( -∞ ,1)∪ ( 2 ,+∞ )解 :原命题可等价转化为 :若ａ∈ [- 1,1],求ｘ的取值范围 ,使ｘ2 + (ａ - 4 )ｘ +4 - 2ａ >0恒成立 .这样不妨令函数Ｔ(ａ) =(ｘ - 2 )ａ +ｘ2 - 4ｘ + 4 .由题意可知 Ｔ( 1) >0 ,Ｔ( - 1) >0 ,即 ｘ2 - 3ｘ + 2 >0 ,ｘ2 - 5ｘ + 6 >0 .ｘ∈ ( -∞ ,1)∪ ( 3,+∞ ) ,故选Ｂ .分析 :上面错解在一些师生中广为流传 ,因此有必要予以纠正 .求含参数的… 相似文献
10.
在函数的性质中 ,周期性占有特殊地位 .本文给出几个在对称条件下函数周期性的一些判定方法及其应用例举 .结论 1 如果一个函数的图象有两条对称轴ｘ=ａ与ｘ =ｂ,那么这个函数一定是周期函数 .具体地说 ,若函数 ｙ=ｆ(ｘ) ,对于定义域Ｒ上的任何ｘ ,都有 ｆ(ｘ) =ｆ( 2ａ-ｘ) ,ｆ(ｘ) =ｆ( 2ｂ -ｘ) (ａ≠ｂ) ,则函数 ｆ(ｘ)是周期函数 ,且 2｜ａ-ｂ｜为其一个正周期 .证明 对于任一ｘ∈Ｒ ,都有ｆ[2 (ｂ-ａ) +ｘ]=ｆ( 2ｂ-2ａ +ｘ)=ｆ( 2ａ-ｘ) =ｆ(ｘ) ,∴ｙ=ｆ(ｘ)是一个周期函数 ,2｜ａ-ｂ｜为其一个正周期 .根据结论 1 ,若函数 ｆ(ｘ… 相似文献
11.
在讨论求函数的值域时 ,有些书上介绍了一种方法 ,即所谓的“反函数法” .例如 [1]介绍“反函数法”如下 :如果函数 ｆ(ｘ)存在反函数ｘ =ｆ-1(ｙ) ,则ｘ =ｆ-1(ｙ)的定义域就是函数 ｙ=ｆ(ｘ)的值域 .例 1 求函数 ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域 .解 由函数 ｙ =1(1-ｘ) (1- 2ｘ) ,解得ｘ =3ｙ± ｙ2 +8ｙ4 ｙ .其定义域由 ｙ2 +8ｙ≥ 0 ,且 ｙ≠ 0确定 ,所以 ,ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域是……我们认为 ,“反函数法”作为一种求函数值域的方法是不成立的 .从映射的观点看 ,一个函数包含三个要素 :数集Ａ、Ｂ ,以及从Ａ到Ｂ的对应法则 ｆ :… 相似文献
12.
贵刊在文 [1]中给出了“在约束条件Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 =Ｍ下 ,求函数ω=Ａｘ2 Ｄｘｙ Ｃｙ2 (Ａ ,Ｃ ,Ｍ∈Ｒ ,Ｂ ,Ｄ ∈Ｒ)的最值”这类问题的简易求法 ,读罢颇有收益 .笔者在教学实践中也对此问题作过一些探讨 ,发现了解决它的一种新方法 ,在此方法中主要用到如下两个结论 :(1)ａ2 ｂ2 ≥ 2 ｜ａｂ｜[2 ] (ａ ,ｂ∈Ｒ) .(2 ) ｜ｆ(ｘ)｜≤ｇ(ｘ) -ｇ(ｘ) ≤ｆ(ｘ)≤ｇ(ｘ) [ｆ(ｘ) ｇ(ｘ) ]· [ｆ(ｘ) -ｇ(ｘ) ]≤ 0 .下面就以文 [1]中的例 1—例 3为例具体说明这种解法 .例 1 (1993年全国高中联赛题 )已知ｘ、ｙ∈Ｒ ,且 4ｘ2 -… 相似文献
13.
1 函数1 1 填空题(1 )函数ｙ=ｘ2 - 4 +1｜ｘ- 1｜ 的定义域是。(2 )函数 ｆ(ｘ)的定义域为 (0 ,1 ] ,则ｆ(ｅｘ)的定义域是。(3)设 ｆ(1ｘ) =ｘ +1 +ｘ2 (ｘ >0 ) ,则 ｆ(ｘ) =。(4)若 ｙ =ｓｉｎｘ - 2 <ｘ <0ｘ2 +1 0 ≤ｘ <2,则 ｙ(π2 ) =。(5)设 ｆ(ｘ) =ａｘ-ａ-ｘ2 ,则函数的图形关于对称。答案(1 ) (-∞ ,- 2 ] ∪ [2 ,+∞ )(2 ) (-∞ ,0 ](3) 1 +1 +ｘ2ｘ(4) 1 +π42(5)原点1 2 单选题(1 )函数 ｙ =ｌｎ｜ｓｉｎπｘ｜的值域是 ( )。 Ａ .[- 1 ,1 ] Ｂ .[0 ,1 ] Ｃ .(-∞ ,0 ) Ｄ .(-∞ ,0 ](2 )下列各对函数中 … 相似文献
14.
函数本身就是一种对应 ,它是建立在数集上的特殊对应 ,即映射 .因此 ,对应思想是函数的一个基本数学思想 ,它是处理函数问题的一个有力工具 .复合函数是函数中的一个难点 ,也是学生的一个易错点 ,在解决复合函数问题时应该充分重视对应思想的应用 .1 利用整体对应思想 ,求解复合函数定义域例 1 若函数ｆ(2 ｘ)的定义域为 [1,2 ],求函数ｆ(ｌｏｇ2 ｘ)的定义域 .解 ∵ 1≤ｘ≤ 2 ,∴ 2 ｘ ∈ [2 ,4].由整体对应知 :2 ｘ 的范围与ｌｏｇ2 ｘ的范围相同 ,∴ 2≤ｌｏｇ2 ｘ≤ 4,则 4≤ｘ≤ 16 .因此 ,ｆ(ｌｏｇ2 ｘ)的定义域为 [4 ,16 ].点评… 相似文献
15.
求形如 ｙ =ａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1ａ2 ｘ2 ｂ2 ｘ ｃ2(ａ1与ａ2 ,ａ1与 ｂ1,ａ2 与ｂ2 均不同时为零 )的分式函数的值域 ,最常用的方法是“判别式”法 ,但当自变量ｘ仅在定义域内的某个子区间上取值时 ,判别式法就不再能用 ,而若转化为一元二次程实根的分布问题 ,如求函数 ｙ=ｓｉｎ2 ｘ - 3ｓｉｎｘ 4ｓｉｎ2 ｘ 3ｓｉｎｘ 4的值域 .若设ｓｉｎｘ =ｔ,则转化为求函数 ｙ=ｔ2 - 3ｔ 4ｔ2 3ｔ 4(- 1≤ｔ≤ 1)的值域 ,由文 [1]知判别式法不能用 .文 [1]是将问题转化为关于ｔ的一元二次方程 (ｙ- 1)ｔ2 3(ｙ 1)ｔ 4(ｙ -1) =0在区间… 相似文献
16.
本刊 2 0 0 2年第 9期刊登了《利用函数ｙ =ｘ 1ｘ 解题举例》一文 .笔者在此再谈谈该函数的性质及其应用 .一、ｙ=ｘ 1ｘ 的性质1 定义域为 (-∞ ,0 ) ∪ (0 , ∞ )2 奇偶性∵ｆ(-ｘ) =-ｆ(ｘ) ∴ｆ(ｘ)为奇函数 .3 .单调性、最值 :ｘ >0时 ,ｆ(ｘ)在ｘ=1时取得最小值 2 ,在区间 (0 ,1 ]上为单调递减函数 ,在 [1 , ∞ )上递增 .ｘ<0时 ,ｆ(ｘ)在ｘ =-1时取得最大值-2 ,在区间 [-1 ,0 )上单调递减 ,在区间(-∞ ,-1 ]上单调递增 .二、应用例 1 (1 996年高考题 )甲、乙两地相距ｓ千米 ,汽车从甲地匀速行驶到乙地 ,速度不得超过ｃ千米 /小… 相似文献
17.
第 一 试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1.已知ｘ、ｙ是两个不等的正数 ,则Ａ =ｘ2 +ｙ22- ｘ +ｙ2 ,Ｂ =ｘ +ｙ2 -ｘｙ ,Ｃ =ｘｙ - 21ｘ + 1ｙ的大小顺序是 ( ) .(Ａ)Ａ >Ｂ >Ｃ (Ｂ)Ａ >Ｃ >Ｂ(Ｃ)Ｂ >Ａ >Ｃ (Ｄ)Ｂ >Ｃ >Ａ2 .函数ｙ =ｆ(ｘ)与ｙ =ｇ(ｘ)有相同的定义域 ,对定义域中任何ｘ ,有ｆ(ｘ) +ｆ(-ｘ) =0 ,ｇ(ｘ)ｇ(-ｘ)= 1,且当ｘ≠ 0时 ,ｇ(ｘ)≠ 1.则Ｆ(ｘ) =2ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) - 1+ｆ(ｘ)是 ( ) .(Ａ)奇函数 (Ｂ)偶函数(Ｃ)既是奇函数又是偶函数(Ｄ)非奇非偶函数3 .已知ａ、ｂ为非零常数 .若Ｍ =ａ… 相似文献
18.
我们知道ｇ(ｘ) <ｆ(ｘ) ｆ(ｘ) ≥ 0 ,ｇ(ｘ)≥ 0 ,ｇ(ｘ) <[ｆ(ｘ) ]2 .ｇ(ｘ) >ｆ(ｘ) ｆ(ｘ) ≥ 0 ,ｇ(ｘ) >0 ,ｇ(ｘ) >[ｆ(ｘ) ]2 ;或 ｆ(ｘ) <0 ,ｇ(ｘ) ≥ 0 .将无理不等式转化为等价的代数不等式 (组 )来解 ,往往须考虑符号 ,运算复杂 .下面介绍另一求法 ,其理论根据是一元连续实函数 ｙ =ｆ(ｘ)的根 (存在 )将其定义域分成的各个区间上具有保号性 .此方法步骤如下 :(1)把不等式两边作差构造函数 ｙ=ｆ(ｘ) ;(2 )求ｆ(ｘ)定义域 ;(3)求 ｆ(ｘ)的根 ;(4)在其根依次将定义域分成的各区间内分别取一特殊值代入 ｆ(ｘ)判断其符号 ,从… 相似文献
19.
本文用初等方法导出函数 ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｃｘ ｄ(ａ >0 ,ｃ<0 )的几个优美性质。1 ｆ(ｘ)不是单调函数显然 ,函数的定义域为 [-ｂａ ,-ｄｃ]。任给ｘ1、ｘ2 ∈ [-ｂａ ,-ｄｃ],且ｘ1<ｘ2 ,则ｆ(ｘ1) -ｆ(ｘ2 ) =(ａｘ1 ｂ ｃｘ1 ｄ) -(ａｘ2 ｂ ｃｘ2 ｄ)=(ａｘ1 ｂ 相似文献
20.
在解有关函数的问题时 ,学生往往容易忽视其定义域从而导致错误 ,令人惋惜 .笔者现举几例 ,以引起大家足够重视 .例 1 已知函数 ｆ(ｘ2 - 3) =ｌｇ ｘ2ｘ2 - 4 ,求 ｆ(ｘ)的定义域 .错解 令ｘ2 - 3 =ｔ ,则 ｆ(ｔ) =ｌｇｔ 3ｔ- 1.由ｔ 3ｔ - 1>0 ,得ｔ<- 3或ｔ >1.故函数 ｆ(ｘ)定义域为 {ｘ｜ｘ<- 3或ｘ>1} .评析 错解忽视了ｔ受ｘ2 - 3的约束 ,从而扩大了定义域的范围 .事实上 ,令ｘ2 - 3=ｔ,则ｔ≥ - 3,ｆ(ｔ) =ｌｇｔ 3ｔ- 1.由ｔ 3ｔ- 1>0 ,ｔ≥- 3,得ｔ >1.故 ｆ(ｘ)定义域为 {ｘ｜ｘ >1} .例 2 判断函数 ｆ(ｘ) =ｌｇ( 1-ｘ2 )… 相似文献