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1.
题目 已知函数ｙ =ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 〔2 ( 3ａ - 2 )ｘ2 4ａｘ ａ 1〕的值域为 ( -∞ , ∞ ) ,试求实数ａ的取值范围 .误解 函数 ｆ(ｘ)的值域为 ( -∞ , ∞ ) ,∴ 2 ( 3ａ - 2 )ｘ2 4ａｘ ａ 1>0恒成立 ,于是有2 ( 3ａ - 2 ) >0 ,( 1)Δ =16ａ2 - 8( 3ａ - 2 ) (ａ 1) <0 . ( 2 )由 ( 1)得ａ >23,由 ( 2 )得ａ <- 2或ａ >1,∴ａ >1.因此 ,所求ａ的取值范围为ａ >1.这个解答的错误是容易断定的 .例如 ,令ａ =2 ,则ａ∈ ( 1, ∞ ) .这时 ,ｙ =ｌｏｇ2 ( 8ｘ2 8ｘ 3) =ｌｏｇ2 8ｘ 122 1.由于 8ｘ 122 1≥ 1,所以ｙ的… 相似文献
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函数的定义域是函数的要素 ,若对其概念理解不透 ,在解题中很容易造成错解 .下面列举几例加以剖析 .例 1 设函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域是 [2 ,3],求函数ｙ=ｆ(ｘ2 )的定义域 .错解 :∵ 2 ≤ｘ≤ 3,∴ 4≤ｘ2 ≤ 9.∴函数ｙ=ｆ(ｘ2 )的定义域是 [4,9].错因 :∵函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域是 [2 ,3],∴函数ｙ =ｆ(ｘ2 )中的变量ｘ2 应属于集合 [2 ,3].显然上面的错解是由于对函数定义域的概念理解不深造成的 .正解 :由 2≤ｘ2 ≤ 3,得 2≤｜ｘ｜≤ 3,即-3≤ｘ≤-2 ,或 2≤ｘ≤ 3.∴函数定义域是 [-3,-2 ]∪ [2 ,3].评注 :求复合函数Ｆ(ｘ) =ｆ[ｇ(ｘ… 相似文献
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函数本身就是一种对应 ,它是建立在数集上的特殊对应 ,即映射 .因此 ,对应思想是函数的一个基本数学思想 ,它是处理函数问题的一个有力工具 .复合函数是函数中的一个难点 ,也是学生的一个易错点 ,在解决复合函数问题时应该充分重视对应思想的应用 .1 利用整体对应思想 ,求解复合函数定义域例 1 若函数ｆ(2 ｘ)的定义域为 [1,2 ],求函数ｆ(ｌｏｇ2 ｘ)的定义域 .解 ∵ 1≤ｘ≤ 2 ,∴ 2 ｘ ∈ [2 ,4].由整体对应知 :2 ｘ 的范围与ｌｏｇ2 ｘ的范围相同 ,∴ 2≤ｌｏｇ2 ｘ≤ 4,则 4≤ｘ≤ 16 .因此 ,ｆ(ｌｏｇ2 ｘ)的定义域为 [4 ,16 ].点评… 相似文献
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1 争论缘何而起2 0世纪 90年代 ,笔者陆续见到文 [1]、[2 ]、[3]、[4].文 [1]的标题是 :怎样由 ｆ[ｇ(ｘ) ]的定义域求ｆ(ｘ)的定义域 ,文 [2 ]2 .3中的标题是 :已知复合函数定义域 ,求原函数 (外层函数 )定义域 .四文均认为 :在ｆ[ｇ(ｘ) ],ｘ ∈Ｅ 的前提下 ,ｆ(ｘ)的定义域就是 ｇ(ｘ) ,ｘ∈Ｅ 的值域Ｕ .如 :例 1[1] 若函数 ｙ=ｆ(- 2ｘ2 1)的定义域是(- 1,1) ,则 ｙ=ｆ(ｘ)的定义域是 (- 1,1].例 2 [2 ] 若函数 ｙ=ｆ(1ｘ 1)的定义域为[- 23,- 12 ],则 ｙ =ｆ(ｘ)的定义域为 [2 ,3].例 3[3] 若 ｆ(1 1ｘ) =1ｘ2 - 2ｘ 1,… 相似文献
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刘家明 《中学数学教学参考》2000,(6):61-61
在近期出版的一些参考资料中,均选编了下面一道题目并给出下述解法:已知ｆ(ｘ)满足ｆ[ｆ(ｘ)]=ｘ 1ｘ 2.求ｆ(ｘ).解:∵ｆ[ｆ(ｘ)]=ｘ 1ｘ 2=11 11 ｘ,∴ｆ(ｘ)=11 ｘ.该解法属定义法,看似简捷明快,令人耳目一新,但仔细推敲,题目和解法均有值得商讨之处.众所周知,两函数ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)构成复合函数ｆ[ｇ(ｘ)],需具备条件ＲｇＤｆ,其中Ｒｇ是ｇ(ｘ)的值域,Ｄｆ是ｆ(ｘ)的定义域.ｆ(ｘ)=11 ｘ的定义域Ｄｆ={ｘ|ｘ∈Ｒ,且ｘ≠-1},值域Ｒｆ={ｙ|ｙ∈Ｒ,且ｙ≠0}.因为ＲｆＤｆ,所以ｆ(ｘ)=11 ｘ在自然定义域上不能构成复合函数ｆ[ｆ(ｘ)].当然,如… 相似文献
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在涉及反函数的一些问题中 ,有时不求反函数 ,反而可以更准确更快捷地解题 .一、求值例 1 若ｆ(ｘ) =3ｘ-4 ,则ｆ- 1 ( 2 ) =.解 设ｆ- 1 ( 2 ) =ａ ,则ｆ(ａ) =2 ,即3ａ-4 =2 ,ａ=2 ,∴ｆ- 1 ( 2 ) =2 .例 2 已知ｆ(ｘ) =ｘ2 (ｘ≥ 1) ,又ｆ- 1 (ｍ)= 4,则ｍ =.分析 ∵ｆ- 1 (ｍ) =4,∴ｆ( 4 ) =ｍ ,∴ｍ =42 =16.例 3 若ｆ(ｘ) =3ｘ2 +2 (ｘ ≥ 0 ) ,则ｆ- 1 [ｆ( 2 ) ] = .分析 应用结论 :若函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ ,ｙ∈Ｃ)存在反函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ) ,则ｆ[ｆ- 1 (ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ｃ) ,ｆ- 1 [ｆ(ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ａ) .由上易知ｆ- 1 … 相似文献
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一、选择题 (每小题 5分 ,共 6 0分 )1 .设集合Ｐ ={1 ,2 },则满足Ｍ∪Ｐ {1 ,2 ,3}的集合Ｍ的个数是 ( ) .(Ａ) 1 (Ｂ) 4 (Ｃ) 7 (Ｄ) 82 .如果ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ 2 ) =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ｒ) ,且当 -1 ≤ｘ≤ 1时ｆ(ｘ) =ｘ2 3,则当ｘ∈〔2ｎ-1 ,2ｎ 1 ) ,(ｎ∈Ｚ)时 ,函数的表达式是 ( ) .(Ａ)ｘ2 -4ｎｘ 4ｎ2 3(Ｂ)ｘ2 4ｎｘ 4ｎ2 3(Ｃ)ｘ2 -4ｎｘ 4ｎ2 1(Ｄ)ｘ2 4ｎｘ 4ｎ2 13.已知ｆ(ｘ)是奇函数 ,ｇ(ｘ)是偶函数 ,且ｆ(ｘ) -ｇ(ｘ) =ｘ2 2ｘ 3,则ｆ(ｘ) ｇ(ｘ)等于 ( ) .(Ａ)ｘ2 2ｘ 3 … 相似文献
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在解决函数有关问题中 ,经常会碰到含有“某区间上一切变量都有某条件成立”的问题 .解决这类问题的关键在于巧妙合理地对变量赋予一系列特殊的值 ,然后通过代数推理 ,即可快速求解 .1 求值例 1 如果函数 ｆ(ｘ) =(ｘ+ａ) 3 对任意ｘ∈Ｒ都有 ｆ(1+ｘ) =- ｆ(1-ｘ) ,试求 ｆ(2 ) + ｆ(- 2 )的值 .解 由 ｆ(1+ｘ) =- ｆ(1-ｘ)对任意ｘ∈Ｒ成立 ,可设ｘ =0 ,得 ｆ(1) =- ｆ(1) ,∴ｆ(1) =0 .又 ｆ(1) =(1+ａ) 3 ,∴ａ =- 1.故 ｆ(2 ) + ｆ(- 2 ) =(2 - 1) 3 + (- 2 - 1) 3=- 2 6 .例 2 函数 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数 ,且对任意的ｘ∈Ｒ… 相似文献
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在 2 0 0 2年上海高考题中有这样一道试题 :已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +2ｘ·ｔａｎθ-1 ,ｘ∈ [-1 ,3 ],其中θ∈ -π2 ,π2 .( 1 )当θ=-π6时 ,求函数 ｆ(ｘ)的最大值与最小值 ;( 2 )求θ的取值范围 ,使 ｙ =ｆ(ｘ)在[-1 ,3 ]上是单调函数 .该题以学生熟知的二次函数知识为载体 ,考查最值和单调函数的掌握情况 .解 ( 1 )当θ=-π6时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 -2 33 ｘ-1=ｘ-332 -43 ,∴ｘ=33 时 ,ｆ(ｘ)的最小值为 -43 .ｘ=-1时 ,ｆ(ｘ)的最大值为2 33 .( 2 )函数 ｆ(ｘ) =(ｘ+ｔａｎθ) 2 -1 -ｔａｎ2 θ图象的对称轴为ｘ =-ｔａｎθ,∵ｙ =ｆ(ｘ)在… 相似文献
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选择题1 下列各式 :( 1) 2 0 0 1 {ｘ|ｘ≤ 2 0 0 3};( 2 ) 2 0 0 3∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3};( 3) {2 0 0 3} {ｘ|ｘ≤ 20 0 3};( 4)Φ∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3},其中正确式子的个数为 ( )Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ 42 满足ｆ(π +ｘ) =- ｆ(ｘ) ,ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ)的函数 ｆ(ｘ)可能是 ( )Ａ ｓｉｎｘ Ｂ ｓｉｎ ｘ2 Ｃ ｃｏｓ2ｘ Ｄ ｃｏｓｘ3 若函数 ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1)为减函数 ,那么 ｇ(ｘ) =ｌｏｇ1ａ1ｘ - 1的图象是 ( )Ａ ＢＣ Ｄ4 如果ａ·ｂ =ａ·ｃ且ａ≠ 0 ,那么 ( )Ａ ｂ =… 相似文献
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在解有关函数的问题时 ,学生往往容易忽视其定义域从而导致错误 ,令人惋惜 .笔者现举几例 ,以引起大家足够重视 .例 1 已知函数 ｆ(ｘ2 - 3) =ｌｇ ｘ2ｘ2 - 4 ,求 ｆ(ｘ)的定义域 .错解 令ｘ2 - 3 =ｔ ,则 ｆ(ｔ) =ｌｇｔ 3ｔ- 1.由ｔ 3ｔ - 1>0 ,得ｔ<- 3或ｔ >1.故函数 ｆ(ｘ)定义域为 {ｘ｜ｘ<- 3或ｘ>1} .评析 错解忽视了ｔ受ｘ2 - 3的约束 ,从而扩大了定义域的范围 .事实上 ,令ｘ2 - 3=ｔ,则ｔ≥ - 3,ｆ(ｔ) =ｌｇｔ 3ｔ- 1.由ｔ 3ｔ- 1>0 ,ｔ≥- 3,得ｔ >1.故 ｆ(ｘ)定义域为 {ｘ｜ｘ >1} .例 2 判断函数 ｆ(ｘ) =ｌｇ( 1-ｘ2 )… 相似文献
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第 一 试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1.已知ｘ、ｙ是两个不等的正数 ,则Ａ =ｘ2 +ｙ22- ｘ +ｙ2 ,Ｂ =ｘ +ｙ2 -ｘｙ ,Ｃ =ｘｙ - 21ｘ + 1ｙ的大小顺序是 ( ) .(Ａ)Ａ >Ｂ >Ｃ (Ｂ)Ａ >Ｃ >Ｂ(Ｃ)Ｂ >Ａ >Ｃ (Ｄ)Ｂ >Ｃ >Ａ2 .函数ｙ =ｆ(ｘ)与ｙ =ｇ(ｘ)有相同的定义域 ,对定义域中任何ｘ ,有ｆ(ｘ) +ｆ(-ｘ) =0 ,ｇ(ｘ)ｇ(-ｘ)= 1,且当ｘ≠ 0时 ,ｇ(ｘ)≠ 1.则Ｆ(ｘ) =2ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) - 1+ｆ(ｘ)是 ( ) .(Ａ)奇函数 (Ｂ)偶函数(Ｃ)既是奇函数又是偶函数(Ｄ)非奇非偶函数3 .已知ａ、ｂ为非零常数 .若Ｍ =ａ… 相似文献
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我们知道ｇ(ｘ) <ｆ(ｘ) ｆ(ｘ) ≥ 0 ,ｇ(ｘ)≥ 0 ,ｇ(ｘ) <[ｆ(ｘ) ]2 .ｇ(ｘ) >ｆ(ｘ) ｆ(ｘ) ≥ 0 ,ｇ(ｘ) >0 ,ｇ(ｘ) >[ｆ(ｘ) ]2 ;或 ｆ(ｘ) <0 ,ｇ(ｘ) ≥ 0 .将无理不等式转化为等价的代数不等式 (组 )来解 ,往往须考虑符号 ,运算复杂 .下面介绍另一求法 ,其理论根据是一元连续实函数 ｙ =ｆ(ｘ)的根 (存在 )将其定义域分成的各个区间上具有保号性 .此方法步骤如下 :(1)把不等式两边作差构造函数 ｙ=ｆ(ｘ) ;(2 )求ｆ(ｘ)定义域 ;(3)求 ｆ(ｘ)的根 ;(4)在其根依次将定义域分成的各区间内分别取一特殊值代入 ｆ(ｘ)判断其符号 ,从… 相似文献
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今年全国高考数学最后一题〔理 (2 2 )题〕是 :设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数 ,其图像关于直线ｘ=1对称 ,对任意ｘ1 ,ｘ2 ∈ 0 ,12 ,都有ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 )·ｆ(ｘ2 ) ,且ｆ(1 ) =ａ>0 .(Ⅰ )求ｆ 12 及ｆ 14;(Ⅱ )证明ｆ(ｘ)是周期函数 ;(Ⅲ )记ａｎ =ｆ 2ｎ 12ｎ ,求ｌｉｍｎ→∞(ｌｎａｎ) .这是一道涉及“函数方程”———含有未知函数的等式的试题〔见题中条件ｆ(ｘ1 ｘ2 ) =ｆ(ｘ1 ) ×ｆ(ｘ2 )〕 .此类题目在近些年全国高考中尚不多见 ,但在各类竞赛中却屡见不鲜 .寻求函数方程的解或证明函数方程无解叫做解函数方程 .下面… 相似文献
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第 1章 函数1 填空题1 )设函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 - 1 ,φ(ｘ) =ｌｎｘ ,则 ｆ(φ(ｅ) ) =.2 )函数ｆ(ｘ) =11 -ｘ2 +ｘ +1的定义域是 .3)设ｆ(ｘ) =1ｘ2 ,ｇ(ｘ) =ｘ ,则 ｇ(ｆ(ｘ) ) =.4)某产品的成本函数为Ｃ(ｑ) =4ｑ2 +8ｑ +2 0 0 ,那么该产品的平均成本函数 Ｃ(ｑ) =.2 单项选择题1 )函数 ｙ =ｘｘ- 2 的定义域是 ( ) . Ａ (2 ,+∞ ) Ｂ (-∞ ,2 ) Ｃ [- 2 ,2 ]Ｄ (-∞ ,2 ) ∪ (2 ,+∞ )2 )函数 ｙ =ｌｎ｜ｓｉｎπｘ｜的值域是 ( ) . Ａ [- 1 ,1 ] Ｂ [0 ,1 ] Ｃ (-∞ ,0 ) Ｄ (-∞ ,0 ]3)若 ｆ(ｅｘ) =1… 相似文献
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中学数学微积分初步主要讨论一元函数的微积分问题 ,而一元函数中复合函数是最常见、最主要的内容 ,它占有举足轻重的地位。复合函数的知识是求导和求积的重要基础知识 ,认识不到函数的复合及一复合函数怎样分解 ,求导、求积就会寸步难行 ,造成教学上的困难。一、复合函数注意事项设有两个实数集上的映射 : ｆ:ｙ=ｆ(ｕ) ｕ∈Ｄｆ ｇ :ｕ =ｇ(ｘ) ｘ∈Ｄｇ如果映射ｇ的值域Ｒｇ 与映射ｆ的定义域Ｄｆ有 :Ｒｇ Ｄｆ,于是可将ｕ =ｇ(ｘ)代入 ｙ =ｆ(ｕ)得到新函数 ｙ =ｆ[ｇ(ｘ) ] ｘ∈Ｄ ,Ｄ =Ｒｇ ∩… 相似文献
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在不等式问题中常常涉及有关“恒成立”的问题 .解决这类问题需要一定的技巧 .本文通过一些例子说明不等式中有关“恒成立”问题的几种处理方法 .1 借助不等式的有关知识许多不等式或不等关系本身就有“恒成立”的含义 .如ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ ,｜ｓｉｎｘ｜≤ 1等 .利用这些知识就可以达到解题目的 .例 1 已知ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ) (ａ >0且ａ≠ 1 ) ,当ｘ∈ (0 , ∞ )时 ,ｆ(ｘ) <0恒成立 .试讨论函数在 (0 ,∞ )上的单调性 .解 :∵ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ)=ｌｏｇａ(ｘ 2 ) 2ｘ2 4… 相似文献
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函数与方程是数学中密不可分的两大内容,二者相互渗透、相互依存.许多难以解决的方程问题,若用函数的观点分析处理,则显得简洁明快.1 运用函数的定义域例1 (1963年北京市数学竞赛高二试题)解方程组ｘ-1 ｙ-3=ｘ ｙ,①ｌｇ(ｘ-10) ｌｇ(ｙ-6)=1.② 解 由①平方化简,得 (ｘ-1)(ｙ-3)=2.由②知,ｘ>10,ｙ>6.而(ｘ-1)(ｙ-3)>9×3=33>2,矛盾,故原方程组无解.2 运用函数的值域例2 解方程 36ｓｉｎ(3πｘ)=36ｘ2-12ｘ 37.解 设ｆ(ｘ)=36ｓｉｎ(3πｘ),ｇ(ｘ)=36ｘ2-12ｘ 37=36ｘ-162 36,易知ｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)的值域分别为〔-36,36〕、〔36,… 相似文献
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函数的单调性是函数的重要性质之一 ,平时的教学中我们对于证明函数的单调性 ,求函数的单调区间比较熟悉 ,但对于利用函数的单调性巧妙解题 ,却知之不多。本文归纳介绍它的一些应用 ,供参考。1 求值域例 1 求函数 ｙ=3 ｘ 2 -ｘ -7的值域。解 ｙ=3 9ｘ 2 ｘ -7,∵ｘ 2 ｘ -7在 [7, ∞ )上单调增 ,∴ ｙ在 [7, ∞ )上单调减 ,∵ｘ≥ 7,∴ 0 <ｆ(ｘ)≤ｆ( 7) =33 ,故 ｙ∈ ( 0 ,33 ]。例 2 求函数 ｙ=ｘ 1ｘ 3 3的值域。解 ｙ=ｘ 3 1ｘ 3=[ｘ 3-1ｘ 3]2 2 ,∵在 [0 , ∞ )上 ,ｘ 3≥ 3,∴ｘ 3>1ｘ 3,又ｘ 3-1ｘ 3在 [… 相似文献
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在函数的性质中 ,周期性占有特殊地位 .本文给出几个在对称条件下函数周期性的一些判定方法及其应用例举 .结论 1 如果一个函数的图象有两条对称轴ｘ=ａ与ｘ =ｂ,那么这个函数一定是周期函数 .具体地说 ,若函数 ｙ=ｆ(ｘ) ,对于定义域Ｒ上的任何ｘ ,都有 ｆ(ｘ) =ｆ( 2ａ-ｘ) ,ｆ(ｘ) =ｆ( 2ｂ -ｘ) (ａ≠ｂ) ,则函数 ｆ(ｘ)是周期函数 ,且 2｜ａ-ｂ｜为其一个正周期 .证明 对于任一ｘ∈Ｒ ,都有ｆ[2 (ｂ-ａ) +ｘ]=ｆ( 2ｂ-2ａ +ｘ)=ｆ( 2ａ-ｘ) =ｆ(ｘ) ,∴ｙ=ｆ(ｘ)是一个周期函数 ,2｜ａ-ｂ｜为其一个正周期 .根据结论 1 ,若函数 ｆ(ｘ… 相似文献