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1.
命题 已知a＞0,＞0,求证√a2+b2/2≥a+b/2≥√ab≥2ab/a+b,当且公当a=b时等号成立.
这是一个均值不等式链. 相似文献
2.
常家慧 《中学数学研究(江西师大)》2022,(3)
基本不等式设a≥0,b≥0,则a+b/2≥√ab(当且仅当a=b时等号成立).最值原理设x>0,y>0.(1)若x+y=S(定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值S2/4;(2)若xy=P(定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最大值2√P. 相似文献
3.
《中等数学》2014,(11):10-14
第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明:
ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4.
证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数.
对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0.
则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c)
＜0＜abc/2+1/4.
对于后一种情形,由舒尔不等式有
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)
≥0
(→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc
≥0.①
记p =ab +bc +ca,q=abc.
由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0.
从而,p≤9q/4+1/4.
因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以,
√q≤√1/3＜2/9.
于是,9q＜2√q.
故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4
(→) ab+bc+ca＜√abc+1/4. 相似文献
4.
对于三元基本不等式"若a,b,c∈(0,+∞),则a3+b3+c3≥abc",在内容安排上,老教材是必学内容,且以黑体字作为定理的形式排出,新教材是提高内容,安排在阅读教材里,其目的是供学有余力的同学课外学习之用.在证明方法上,老教材是利用因式分解的办法,将a3+b3+c3-3abc化为(1)/(2)(a+b+c)@[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]后,再判断其值为非负而获证的.新教材是利用构造的办法,联想构造不等式"若a,b∈(0,+∞),则a3+b3≥a2b+ab2",再利用二元基本不等式"若a,b∈(0,+∞),则a+b≥2ab"而证得的. 相似文献
5.
1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/44√ a+√bc/44√ b+√ca/44√c=8√a3b4/2+8√b3c4/2+8√c3a4/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2. 相似文献
6.
命题：已知a〉0,b〉0,求证：
√a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b,当且仅当a=b时等号成立. 相似文献
7.
设α、b、c&;gt;0，则α+b/2≥√αb,α+b+c/3≥3√αbc(当且仅当α=b=c时取等号)，这是均值不等式定理，运用它可解答下面几类高考题。 相似文献
8.
在△ABC中,设△ABC的面积为S,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有下列不等式链:a^2+b^2+c^2≥bc+ca+ab≥4√3S.①类比此不等式,文[1]得到一个类似不等式:a^2 sinA/2+b^2 sinB/2+c^2 sin C/2≥bcsin A/2+ca sin B/2+ab sin C/2≥2√3S. 相似文献
9.
本文旨在建立两个新的无理不等式．
定理1若a,b〉0,满足a＋b=1,则
√a^-1-a＋√b^-1-b≥√6.（1）证：令x=ab,则0〈x≤（a＋b）^2/4=1/4. 相似文献
10.
我们经常见到如下求最小值的问题: 已知a,b∈(0, ∞),a b=1,求y=1/a 2/b的最小值. 这个问题有很多解法,其中下面的解法最简练,并且具有一般性:y=(1/a 2/b)(a b)=1 b/a 2a/b 2≥3 2√2,当且仅当b/a=2a/b,即b=√2a时取等号,此时a=√2-1,b=2－√2,ymin=3 2√2. 相似文献
11.
一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常… 相似文献
12.
一个均值不等式链的几何证法 总被引：1，自引：0，他引：1
命题 已知a〉0,b〉0,求证：max{a,n}≥√a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b≥min{a,b},当且仅当a=b时,等号成立．这是一个4类平均数的重要不等式即均值不等式链, 相似文献
13.
笔者在研究三角形中的不等式时得到下面几个有趣的三角形不等式,即
定理1 在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C,△ABC的中线长为ma,mb,mc;内角平分线长为wa,wb,wc;高线长为ha,hb,hc,旁切圆半径为ra,rb,rc,△ABC的面积为S,则4S√m2a/r2a+m2b/r2b+m2c/r2c≥ab+bc+ac≥4S√m2a/ω2a+m2b/ω2b+m2c/ω2c≥4√3S.(1) 相似文献
14.
李建潮 《河北理科教学研究》2013,(6)
《数学通报》2010年第8期问题1869如下:
问题1869[1]设a,b＞0.
(Ⅰ)若a+b≤√2,则1/1+a2++1/1+ b2≥1/1+(a+b)2 (1)
当且仅当a=b=√2/2时等号成立;
(Ⅱ)若ab≥1/2,则1/1+a2++1/1+ b2≤1/1+(a+b)2 (2)
当且仅当a=b=√2/2时等号成立. 相似文献
15.
本文通过具体例题总结了基本不等式求一类题型（x+y）（a/x+b/y）（x,y,a,b都是正数）的最值.苏教版必修五给出了基本不等式的形式:ab1/2≤（a+b）/2（a≥0,b≥0）,当且仅当a=b时取等号,其变形形式有a+b≥2ab1/2基本不等式的一个运用就是求最值:①当a≥0,b≥0时,若和a+b为定值P,则积ab有最大值ab≤p2/4,当且仅当a=b时取等号;②当a≥0,b≥0时,若积ab为定值S,则和a+b有最小值a+b≥2S1/2,当且仅当a=b时取等号.我们来看下面3个问题:问题1:已知x,y为正数,求（x+y）（1/x+4/y）的最小值.问题2:已知z,y为正数且满足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值. 相似文献
16.
人教版必修五给出了基本不等式a＋b/2≥√ab（a＞0,b＞0）,当且仅当a=b时取等号。其变形有：（a＋b/2）^2≥ab;a^2＋b^2≥1/2（a＋b）^2。 相似文献
17.
不等式链√a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b（a〉0,b〉0）是高中数学重要内容之一，在高考中屡“试”不鲜，下面笔者就2010年湖北省高考理科卷第15题的解题及其反思过程，给出该不等式链的三种几何证明． 相似文献
18.
高大营 《中学数学研究(江西师大)》2002,(8):28-29
题目已知实数a＞1,b＞1, c＞1.求证: a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥j9√3/2. (1)当且仅当a=b=c=√3时,(1)式等号成立. 相似文献
19.
20.
不等式a〉0，b〉0，则a＋b≥2√ab及一元二次方程仳。ax＋bx＋c=0有实根的条件△=b^2-4ac≥0，对解有关电学极值问题有重要的作用，使运算既准确、又简便．下面通过几例习题谈谈其在解题中的应用．[第一段] 相似文献