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2007年浙江省高考数学卷中有这样一题:题目已知点 O 在二面角α-AB-β的棱上,点 P 在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于点 O的任意一点 Q,都有∠POQ≤≥45°,则二面角α-AB-β的大小是____.(2007年浙江省高考数学卷理科第16题、文科第17题)对于此题,有相当多的考生感觉无从下手,答案是瞎蒙的,能力较强的学生会联想到用"最小角定理",得到以下错解.错解设直线 OP 与β所成角为θ.当点 P 在β上的射影 P_1落在射线 OQ 上时,∠POQ=θ,由题设可知θ>45°,即θ≥∠POB.又因为 OBβ,故由最小角定理知,∠POB≥θ,所以∠POB=θ,即 OB 为 OP在β上的射影,从而α⊥β,即二面角α-AB-β的大小是90°.上述解法看似非常漂亮,但仔细审题,发现二面角的面β是半平面,也就是 相似文献
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试题已知点 O 在二面角α-AB-β的棱上,点 P 在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于 O 的任意一点 Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α-AB-β的大小是____.这是一道不常见的立体几何题,逆向设问,构思巧妙,主要考查立体几何中的空间角.不同能力水平的学生采用不同的求解方法,各归其位,区分度高,立意深远,有利于高考选拔,有利于中学的素质教育.但是,命题者的意图与题目的文字描述可能存在歧义.关键在于对二面角α-AB-β中α,β是理解为平面还是半平面.若理解为平面,则参考答案没有问题;若理解为半平面(在中学里,大家比较倾向于理解为半平面),则参考答案有误.1 把α,β理解为平面 相似文献
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2007年浙江省高考数学卷给人以耳目一新的感觉,许多题目的设计别具匠心,不仅设问角度新颖,而且解答灵活多样.其中理科第16题,格外引起笔者的关注!题目已知点 O 在二面角α-AB-β的棱上,点 P 在α内,且∠POB=45°,若对于β内异于点 O的任意一点 Q,都有∠POQ≥45°,则二面角α-AB-β的大小是____.看到此题,笔者不禁想起,在全日制普通高中数学教科书第2册(下 B)第43页中有这样一个结论: 相似文献
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在对学生进行课外辅导的过程中,有一位同学提出了以下一道题目:例1 P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在α、β平面上引射线PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,求二面角α-AB-β的大小?这道题目本身并不算太难,当场我就给出了如下的解答.解:如图1,过N点在平面β内作NE⊥AB交于点E,过E点在平面α内作EM⊥AB,交PM于点M,那么∠NEM就是二面角α-AB-β的平面角.设PE的长度为a,由∠BPM=∠BPN=45°有NE=ME=a,PN=PM=2a,而∠MPN=60°,于是MN=2a.在△MNE中,NE=ME=a,MN=2a,显然有∠NEM=90°,于是二面角α-AB-β的… 相似文献
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如图1,P为平面α外一点,PO⊥α,O为垂足,直线l(∪)α,点P与直线l确定平面为β,点B∈l,设PB与平面α所成的角∠PBO=θ1,与l所成的角∠PBA=θ,二面角α-l-β的平面角∠PAO=(ψ).下面我们来研究θ1、θ、(ψ)之间的关系. 相似文献
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如图1,P为平面α外一点,PO⊥α,O为垂足,直线l<α,点P与直线l确定平面为β,点B∈l,设PB与平面α所成的角∠PBO=θ1,与l所成的角∠PBA=θ,二面角α-l-β的平面角∠PAO=φ.下面我们来研究θ1、θ、φ之间的关系.在Rt△POB中,sinθ1=PPBO.在Rt△POA中,sinφ=PPAO.在Rt△PBA中,sinθ=PPBA.因为PPBO=PPAO·PPBA,所以sinθ1=sinφ·sinθ在上述公式中,因为0相似文献
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正求二面角的平面角的大小是高考考试的重点,常见的方法如定义法,三垂线法,补棱法,射影面积法,向量法等.高考中常用的方法是定义法,三垂线法和向量法.一.两道习题习题1、如图(1),P是二面角α-AB-β的棱AB上一点,分别在α,β上引射线PM,PN,截PM=PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,则二面角α-AB-β的大小是___________.(1)(2)习题2、如图(2),在四面体ABCD中,ΔABD,ΔACD,ΔBCD,ΔABC都全等,且AB=AC=3,BC=2,求以BC为棱、 相似文献
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二面角大小是通过二面角的平面角的大小来反映的,在求解二面角的平面角的大小时,要充分运用线与线、线与面、面与面之间的关系,因而它具有综合性强、灵活性大的特点,那么怎样求二面角的平面角呢?笔者给大家介绍5种常见方法.1定义法定义法———即在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,然后在2个半平面内分别作棱的垂线OA、OB,则射线OA、OB所成的角即为所求二面角α-l-β的平面角.例1已知三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=60°,求二面角A-PB-C的余弦值.图1解如图1,在二面角的棱PB上任取一点Q,在半平面PBA和PBC内分别作QM⊥PB,QN… 相似文献
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一、选择题(每小题5分,共50分)1.下列命题中,正确的是A.若直线a,与直线l所成的角相等,则a∥b b B.若直线a,与平面α成相等角,则a∥b b C.若平面α,β与平面γ所成的角均为直二面角,则α∥βD.若直线a,在平面α外,且a⊥α,⊥b,则b∥αb a2.已知空间四边形ABCD,M,N分别是AB,CD的中点,且AC=4,BD=6,则A.1相似文献
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看书是我们再熟悉不过的一件事情了,任意翻开一本书就可构成二面角α—l—β;在l上取一点O,在两半平面内分别作l的垂线,就得二面角α—l—β的平面角∠AOB=θ,如图1,通常的情况是这一点O很不好找,而在两半平面内作l的垂线(AC、BD)不难,如图2,由线面角的定 相似文献
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今年高考理科数学第四题是立几计算题:“如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°,P为面AC内的一点,Q为面BD内的一点。已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,并且M在BC上。又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ<90°),线段PM的长为a。求线段PQ的长。”这题主要是考查立几中斜线在平面内的射影、二面角及其平面角、斜线与平面所成的角等重要概念和三垂线定理,考查空间图形的想象能力和综合运用知识的能力。这道试题实际是以课本第42页的例题为基础,加进斜线在平面内的射影、斜线与平面所成的角两个概念后略加变 相似文献
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这是2004年高考数学湖北卷第11题:已知平面α和平面β所成的二面角为80°,P 为α,β外一定点,过 P的一条直线与α,β所成角都是30°,则这样的直线有且仅有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条分析此题是由1993年全国高考理科数学卷第18题演变而来的:已知异面直线 a 与 b 所成的角为50°, 相似文献
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在立体几何中 ,有一个常见的模型 :图 1 图 2如图 1,已知直线a、b、l与平面α满足a α ,b α ,a∩b =P ,P∈l ,l与a、b成相等的角θ ,在l上任取异于点P的Q点 ,过Q作QK⊥α于K ,那么K点到直线a、b的距离相等 ,即K点落在∠APB(或其补角 )的平分线所在的直线上 ,记∠QPK =θ1 ,∠KPB =θ2 ,不难得到cosθ =cosθ1 ·cosθ2 .运用上述结论 ,可解决过空间一点P且与两直线 (包括二异面直线 )成等角的直线的条数问题 .2 0 0 4年高考数学 (湖北卷 )第 11题 :已知平面α与 β所成的二面角为 80° ,P为α、β外一定点 ,过点P… 相似文献
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立体几何中空间角和距离的计算是高考考查的重点内容,二者往往可以归结为求空间点到平面的距离．例如,直线l上一点P到平面a的距离为d1,到斜足O距离为n1,则直线l与平面a所成的角为arcsind1/n1;锐二面角a-l-β的半平面a内一点Q到平面β的距离为d2,到棱l的距离为n2,则二面角a 相似文献
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一些书刊上有这样的一道题与其解法: 过二面角a—l—β内一点P分别作PA⊥平面a、PB⊥平面β,点A、B为垂足,已知∠APB=60°,PA=a,PB=b,求点P到二面角的棱l的距离。 [解]:如图.过PA、PB作平面γ,设它与二面角的棱l交于Q,连结AQ、BQ和PQ。 相似文献