三角函数最值的几种求法     

王维锋  王淑英 《甘肃教育》2004,(6):36-37

一、利用三角函数的有界性利用正弦函数、余弦正数的有界性:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),(A≠0,φ≠0)的函数的最值.例1.(2000年全国高考题)已知函数y=12cos2x+3√2sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.解:y=14(2cos2x-1)+14+3√4(2sinxcosx)+1=14cos2x+3√4sin2x+54=12sin(2x+π6)+54.y取得最大值必须且只需2x+π6=π2+2kπ,k∈Z即x=π6+kπ,k∈Z,所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为｛x｜x=π6+kπ,k∈Z｝.二、转化为二次函数例2.求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解:∵f…  相似文献   

解答最值问题的常见易错点     

刘文 《高中生》2013,(1):22-23

易错点一：忽视函数的定义域 例1（2012年高考重庆文科卷第19题）设函数f（x）=Asin（ωx＋φ）（其中A〉0,ω〉0,-π〈φ≤π）在x=π6处取得最大值2,其图像与x轴的相邻两个交点的距离为π2.（Ⅰ）求f（x）的解析式;（Ⅱ）求函数g（x）=6cos4x-sin2x-1f（x＋π6）的值域.难度系数0.75解（Ⅰ）f（x）=2sin（2x＋π6）.解答过程省略.  相似文献   

函数解题“多视角”     

高慧明 《招生考试通讯》2006,(9):36-36

例题show：设函数f（x）=sin（2x＋φ）（-π〈φ〈0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=π/8。（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）证明直线5x-2y＋c=0与函数y=f（x）的图象不相切。  相似文献   

例说构造曲线求“分式三角函数”的最值——一道课本习题的联想     

田建国 《中学数学月刊》2003,(5):28-29

现行全日制普通中学数学教科书 (试验修订本·必修 )第二册 (上 )第七章“直线和圆的方程”中有这样一道习题 :求函数 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 的最大值和最小值 .编者把此题放在这里 ,意图十分明显 ,就是可把 f (θ) =sinθ- 1cosθ- 2 看成是定点 ( 2 ,1 )与单位圆 x2 + y2= 1上的动点 ( cosθ,sinθ)连线的斜率 ,从而问题转化为求斜率的最大值和最小值 .笔者由此得到启发 ,对动点在常见曲线上的“分式三角函数”的最值问题作如下探讨 ,供教与学中参考 .1　构造直线例 1　求 y=3sin x- 1sin x+ 2 的最值 .分析　因为 y=3sin x- 1sin x- …  相似文献   

探究运用三角函数对称性、奇偶性解题     

张炳存 《数理化解题研究》2013,(9):12-13

一、三角函数对称问题三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象具有对称性.根据图象,由ωx+φ=κπ+π/2,得对称轴方程是x=1/ω（κπ+π/2-φ）;再由ωx+φ=κπ,得对称中心是（（κπ-φ）/ω,0）（以上k∈Z）.下在同通过一道高考题,给出求解三角函数图象对称问题的几种处理策略.例1函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/8对称,求实数a的值.分析一般地,可考虑利用公式asinx+bcosx=（a²+b²）^1/2sin（x+φ）,将f（x）化为只含一个三角式的形式,f（x）=（a²+1）^1/2(sin2x·1/（a²+1）^1/2+cos2x·a/（a²+1）^1/2)=（a²+1）^1/2sin（2x+φ）,其中sinφ=a/（a²+1）^1/2,cosφ=  相似文献   

用三角代换求最值     

钱如海 《中学教研》1990,(4)

在求某些函数的最大值、最小值时,用三角函数代换可巧妙地求解.这里介绍几种求最值时常用的三角函数代换. 1.若|x|≤1,可令x=sinθ. 例1 求函数y=(1-x~2)~(1/x)的最大值和最小值. 解:函数定义域是-1≤x≤1令x=sinθ,θ∈[-π/2,π/2],则(1-x~2)~(1/2)=cosθ,∴ y=sinθcosθ=1/2 sin2θ∴当θ=π/4即x=2~(1/2)/2时,y_(max)=1/2,当θ=-π/4即 x=-2~(1/2)/2时,y_(max)=-1/2.  相似文献   

三角函数的最值的求法     

田素伟 《数学大世界(高中辅导)》2004,(3):7-9

1 .利用配方法化成只含有一个的三角函数【例 1】　求函数y =sin6 x +cos6 x的最值 .解 :y =sin6 x +cos6 x=(sin2 x +cos2 x) (sin4 x -sin2 xcos2 x +cos4 x)=(sin2 x+cos2 x) 2 -3sin2 xcos2 x=1-3sin2 xcos2 x =1-34 sin2 2x=58+ 38cos4x∴当x=kπ2 (k∈z)时 ,y取最大值为 1.当x=kπ2 + π4(k∈z)时 ,y取最小值 14∴ymax =1,ymin =142 .利用函数y =x+ ax(a >0 )的单调性【例 2】　求函数y =sin2 x + 3sin2 x(x≠kπ ,k∈z)的值域 .解 :设sin2 x =t(0 相似文献   

例析《正弦函数》高考题型     

孙罗超 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):30-33

正弦函数y=Asin(ωx φ)是三角函数的重要内容,历年来都是高考命题的热点.现结合去年全国各地高考试题,根据考查正弦函数的不同内容,进行分类,并探讨其各自不同解法.1.确定函数最小正周期正弦函数y=Asin(ωx φ)的最小正周期为T=2π｜ω｜.【例1】已知函数y=12sinx πA(A>0)的最小正周期为3π,则A=.解:∵y=12sinx πA=12sin(1Ax πA)(A>0)∴其最小正周期为T=2π1A=2Aπ.则2Aπ=3π故A=32.【例2】函数f(x)=cos2x-23sinxcosx的最小正周期是.解:∵f(x)=cos2x-23sinxcosx=cos2x-3sin2x=-2sin(2x-π6)∴其最小正周期为T=2π2=π.2.求函数…  相似文献   

浅谈对结构式asinθ+bcosθ最值的思考     

《高中数学教与学》2018,(20)

<正>本文从一道高考题入手,谈谈对结构式asinθ+bcosθ最值的一些思考方法,供参考.题目(2013年高考新课标全国卷1文科第16题)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cosθ=____.本题中函数f(x)的表达式为sinx-2cosx.对于这样一类结构式asin x+bcos x的最值,解题时可以有以下一些思考方法.一、联想辅助角公式  相似文献   

出乎意料的缺陷 超乎想象的完美     

刘水春 《数学大世界(高中辅导)》2004,(6):32-34

【例1】　求函数 y=lg(8sinx+14x-1π-6cosx+14x-1π)的 值域. 错解:令x+14x-1π=θ,则 y=lg(8sinθ-6cosθ)=lg10sin(θ-φ) ≤lg10=1(其中φ=arctan34),于是函数值 域为(-∞,1]. 辨析:上述解答没有考虑函数 θ=x+14x-1π的反函数存在条件, 故上述解答有误. 正解:上述解法中,因为方程 …  相似文献   

三角函数的考查要点     

子非 《高中生》2011,(10):20-21

一、考查三角函数的基本性质仍是重点 例1 已知函数f（x）=4cos xsin（x＋π/6）-1,  相似文献   

三角辅助公式的解读     

王卫华 《数理化解题研究》2007,(12):11-13

三角辅助公式αsinx＋bcosx=√α^2＋b^2sin（x＋φ）（其中角φ所在象限由α,b符号确定,角φ的值由tanφ=b/a确定）能将一些函数化成y=Asin（ωx＋φ）＋k（其中A,ω,φ为常数,A〉0,x∈R）的形式．在近几年的高考中,三角函数的图象和性质的考查,常常围绕y=Asin（ωx＋φ）的问题展开．下面谈谈辅助公式在解题中的应用．  相似文献   

用构造法解三角题     

谢五长  吴水成 《高中生》2004,(12)

一、构造函数例1设α、m为常数,θ是任意实数,求证:眼cos(θ+α)+mcosθ演2≤1+2mcosα+m2.证明构造函数y=f(θ)=1+2mcosα+m2-眼cos(θ+α)+mcosθ演2,则只需证明y≥0即可.f(θ)=sin2(θ+α)+2m眼cosα-cosθcos(θ+α)演+m2sin2θ.令sin(θ+α)=x,则得二次函数y=x2+2msinθ·x+m2sin2θ.由于Δ=4m2sin2θ-4m2sin2θ=0,且二次项系数为1,故y≥0,即原不等式成立.二、构造数列例2已知:sinφcosφ=60169,π4<φ<π2,求sinφ、cosφ的值.解由题意可知,sinφcosφ=(215姨13)2且sinφ>cosφ,构造等比数列cosφ,215姨13,sinφ.设sinφ=215姨13·q,c…  相似文献   

辅助角公式在解题中的应用     

费新慧 《中学生百科》2006,(23)

我们知道,asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中ab≠0,tanφ=ab,这个公式叫做辅助角公式.该公式可将异名三角函数化为同名三角函数,在解题中具有广泛的应用.现举例说明,以引起同学们的重视.一、求最值例1当-2π≤x≤2π时,函数f(x)=sinx+3cosx的()(A)最大值是1,最小值是-1(B)最大值是1,最小值是-21(C)最大值是2,最小值是-2(D)解最大值是2,最小值是-1f(x)=sinx+3cosx=2sinx+3π,因为-2π≤x≤2π,所以-6π≤x+π3≤65π,所以-21≤sinx+3π≤1,所以-1≤f(x)≤2·故选(D).例2求函数y=sin2+2sinx·cosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的解x…  相似文献   

三角函数中的参数求值或求范围问题     

司徒雪华  刘玲 《中学数学杂志》2006,(11)

三角函数中的参数求值或求范围问题实际上是一般函数中此类问题的具体化,仍然包括等式恒成立、不等式恒成立以及函数最值三大类型,下面举例加以单述.1等式恒成立型这一类型包括奇偶性概念、周期性概念、存在性问题三种,解决方法有一般定义法或先用特值求解再进行证明两个思路.例1若f(x)=3sin(2x+θ)是奇函数,求θ的值.若是偶函数呢?解法1(定义法)因为f(x)=3sin(2x+θ)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对x∈R恒成立,即3sin(-2x+θ)=-3sin(2x+θ)对x∈R恒成立,即sin(-2x+θ)=sin(-2x-θ)对x∈R恒成立,所以-θ+2kπ=θ,即θ=kπ(k∈Z)为所求.解法2(…  相似文献   

例说函数y=Asin(ωx+φ)+κ的应用     

范运灵 《理科考试研究》2012,(3):17-18

一、考查函数的奇偶性对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(φ≠0),当φ=kπ(k∈z)时,函数f(x)为奇函数;当φ=kπ+π/2(k∈z)时,函数f(x)为偶函数;否则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.例1函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ=  相似文献   

辅助角公式在解题中的应用     

林明成  汪建 《中学生理科应试》2012,(9):9-11

我们知道,辅助角公式asinx＋bcosx=√a^2＋b^2sin（x＋φ）（其中a、b是不为零的实数,φ角由cosφ=a/√a^2＋b^2,sinφ=b/√a^2＋b^2确定）,  相似文献   

辅助角公式在高考三角题中的应用     

柳毓 《数理化学习(高中版)》2006,(20)

对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx+bcosx=a2+b2(sinx·a22+cosx·b a2+b2).由于上式中的aa2+b2与ba2+b2的平方和为1,故可记aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ,则y=a2+b2(sinxcosθ+cosxsinθ)=a2+b2sin(x+θ).由此我们得到结论:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ),()其中θ由aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ来确定.通常称式子()为辅助角公式.它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析.一、求周期例1(2006年上海卷选)求函数y=2cos(x+π4)cos(x-π4)+3sin2x的最小…  相似文献   

三角恒等变换的技巧及其应用     

牛晓伟 《考试周刊》2012,(49):54-55

一、技巧1.变角例1：求证：sin（2α＋β）sinα-2cos（α＋β）=ssiinnαβ证明：∵2α＋β=α＋β＋α∴sin（2α＋β）-2cos（α＋β）sinα=sin[（α＋β）＋α]-2cos（α＋β）sinα=sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα-2cos（α＋β）sinα=sin（α＋β）cosα-cos（α＋β）sinα=sin（α＋β-α）=sinβ∴sin（2α＋β）sinα-2cos（α＋β）=ssiinnαβ评析：＂角＂是三角函数的基本元素,研究三角恒等变换离不开＂角＂的变换.对单角、倍角、和角、差角等进行适当的变形转化,往往能起到化难为易、化繁为简的作用.（甘肃省通渭县第一中  相似文献   

浅谈求解数学中的最值问题     

刘政学 《宜春学院学报》2004,(Z1)

在很多实际问题中 ,我们要面对各式各样的最值问题 ,利用三角函数的最值 ,如正、余弦函数y=Asinx ,y =Acosx的有界性 ,数学中的均值不等式 ,函数的单调性等知识结合起来 ,常常能使问题化腐朽为神奇 ,在解题的思路、技巧上 ,有章可依、有规可寻 ,使问题得到快速、圆满的解决 现举数例加以说明 :例 1:设f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx ,x∈ [0 ,π2 ],(1) ,求f (π12 ) ,(2 )求f (x)的最小值 例 2 :求f (θ) 4sinθcosθ - 1sinθ cosθ 1,θ∈ [0 ,π2 ]的最值 上两例是典型的三角函数最值应用题 ,其思路可能是利用正、余弦函数的有界性 |sinx|≤ 1,|cosx|≤ 1或利用均值不等式、或利用函数的单调性 ,经过适当三角变换 ,使问题得到解决 例 1求解如下 :f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx =sin2x 522sin (x π4 ),当x =π12 时 ,f (π12 ) =sin π6 522sin π3=6 注意f (x) =1 2s...  相似文献