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1.
1.问题试题(2013年湖南卷理科第10题)设a,b,c∈R,且满足a+2b+3c=6,则a^2+4b^2+9c^2的最小值为______.2.问题解决视角1柯西不等式法解法1:由柯西不等式得(a+2b+3c)^2=(1×a+1×2b+1×3c)^2≤(1^2+1^2+1^2)(a^2+4b^2+9c^2)=3(a^2+4b^2+9c^2),即a^2+4b^2+9c^2≥12,当且仅当a=2,b=1,c=2/3时等号成立. 相似文献
2.
题目呈现(2020年全国高中数学联合竞赛B卷第10题)设正实数a,b,c满足a^2+4b^2+9c^2=4b+12c-2,求1/a+2/b+3/c的最小值. 相似文献
3.
《中等数学》2014,(11):10-14
第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明:
ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4.
证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数.
对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0.
则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c)
＜0＜abc/2+1/4.
对于后一种情形,由舒尔不等式有
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)
≥0
(→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc
≥0.①
记p =ab +bc +ca,q=abc.
由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0.
从而,p≤9q/4+1/4.
因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以,
√q≤√1/3＜2/9.
于是,9q＜2√q.
故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4
(→) ab+bc+ca＜√abc+1/4. 相似文献
4.
定理二次函数y=ax2+bx+c的值域是[0,+∞)的充要条件是a＞0且b2-4ac=0. 证明因为y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+4ac-b2/4a,x∈R,所以二次函数y=ax2+bx+c的值域是[0,+∞)←→y的最小值是0,无最大值←→a＞0且b2-4ac=0. 相似文献
5.
题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=了1时取到等号.文[1][2]给出了不同的证明方法,本文再给出更简单的证明方法.证明:注意到b~2-b+1=(b-1/3)~2+1/9(8-3b)≥1/9(8-3b),同理有c~2-c+1≥1/9(8-3c), 相似文献
6.
《中学生数理化(高中版)》2010,(4)
1.已知a、b、c为正整数,且a~2+b~2+c~2+48<4a+6b+12c,求(1/a+1/b+1/c)~(abc)的值.解:由a、b、c为正整数,得a~2+b~2+c~2+48和4a+6b+12c均为正整数,则不等式a~2+b~2+c~2+48<4a+6b+12c与不等式a~2+b~2+c~2+48+1≤4a+6b+12c等价. 相似文献
7.
第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 对于一切实数x ,当实数a、b、c(a≠ 0 ,且a 相似文献
8.
武增明 《中学数学教学参考》2006,(15)
a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3 相似文献
9.
1问题呈现设a,b,c为正实数,且a+b+c=3,求证:√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2.2问题的证明与推广证明:由已知条件结合均值不等式可得√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b=√ab/3+a+√bc/3+b+√ca/3+c≤√ab/44√ a+√bc/44√ b+√ca/44√c=8√a3b4/2+8√b3c4/2+8√c3a4/2≤1+3a+4b/16+1+3b+4c/16+1+3c+4a/16=3+7 (a+b+c)/16=3+7×3/16=3/2,当且仅当a=b=c=1时取等号,则√ab/2a+b+c+√bc/2b+c+a+√ca/2c+a+b≤3/2. 相似文献
10.
文 [1]、[2 ]证明了下面的等式 :设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,且 c+d=1,c2a+d2b=1a+b,求证 :c4a3 +d4b3 =1(a+b) 3 . 1文 [2 ]还把 1式推广为 :cm + 1am +dm + 1bm =1(a+b) m. 2本文给出 1的不等式证法 ,并把 1,2式的条件推广 ,同时给出其应用 .1 简证 由 x2y≥ 2 x- y知c2aa+b≥ 2 c- aa+b,d2ba+b≥ 2 d- ba+b.因为 c+d=1,所以 c2aa+b+d2ba+b≥ 2 (c+d) - (aa+b+ba+b) =1.由等号成立条件知 c=aa+b,d=ba+b,故 c4a3 +d4b3 =a4a3 (a+b) 4 +b4b3 (a+b) 4 =1(a+b) 3 .2 推广定理 设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,m,n∈N* ,m≠ n,若 c+d=1且 cm + 1am … 相似文献
11.
文[1]用高等数学方法证明了如下一个加强不等式,即命题1设a,b,c均为正数,且abc=1,若λ≤9,则1/a+1/b+1/c+λ/(a+b+c)≥3+λ/3.笔者发现这个不等式并不成立,反例如下:当a=b=2/3,c=9/4,λ=9时, 相似文献
12.
<正>赛题(第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题以下简称"赛题")已知ΔABC的三边长为a,b,c且满足a+b+c=3,求f(a,b,c)=a2+b2+c2+4/3abc的最小值.问题(《数学通报》问题1830以下简称"问题")已知a,b,c>0,且a+b+c=2,证明 相似文献
13.
基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2. 相似文献
14.
文[1]给出了数学奥林匹克司题高229题:"已知a,b,c∈R+,abc=1,求证:1/a+1/b+1/c+3/a+b+c≥4"的简证后,又将之推广为:"已知a,b,c∈R_+,abc=1,0<λ<9/2,则1/a+1/b+1/c+λ/a+b+c≥3+λ/3"·笔者探究发现,该推广对λ=9/2也成立,而且从λ=9/2入手证明之更加简便.现介绍于后,以供参考. 相似文献
15.
舒金根 《中学数学研究(江西师大)》2013,(10):19-20
在文[1]中,陆爱梅老师提出一组四个猜想不等式:
猜想1 已知a,b,c是满足abc=1的正数,证明:a2/a3+2+b2/b3+2+c2/c3+2≤1/3(a+b+c);
猜想2 已知a,b,c是满足a+b+c=1的正数,证明:a2/b+c2+b2/c+a2+c2/a+b2＞3/4;
猜想3 已知a,b,c是满足a+b+c=3的非负实数,证明:a+b/a+1+b+c/b+1+c+a/c+1≥3;
猜想4 已知a,b,c是两两不同的实数,证明:(a-b/a-c)2+(b-c/b-a)2+(c-a/c-b)2≥a2+c2/a2+b2+b2+a2/b2+c2+c2+b2/c2+a2. 相似文献
16.
第一试一、填空题(每小题8分,共64分)1.已知正实数a、b、c满足(1+a)(1+b)(1+c)=8.则abc+9/abc的最小值是____.2.设O是锐角△ABC所在平面内一点(在△ABC外),CD⊥AB于点D.若→OA=a,→OB =b,→OC=c,则→OD＝____(用a、b、c表示).3.函数f(x)=│sinx+1/2sin 2x｜(x∈R)的值域是____. 相似文献
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<正>本刊2021年第12期的1136号问题:已知对任意正数a、b、c,当a+b+c=1时,都有3a+3b+3c 0,且a+b+c=1,可知a、b、c∈(0,1).设f(x)=3x-(2x+1),x∈(0,1),则f’(x)=3xln3-2. 相似文献
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1逆向思维的教材原型题与近年高考题
例1 (新课标选修4-5第25页习题
2.2第2题)已知a,b,c,∈R+,用综合法证:
(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc.
证明 (ab十a+b+1)(ab+ac+bc+c2)=(a+1) (b+1)(a+c) (b+c)≥2√a×2b×2√ac×2√bc=16abc.
例2 (2010年重庆文科第10题)若a,b,c＞0,且a2+2ab+2ac+4bc=12,则ab+c的最小值是(). 相似文献
19.
根据方差的定义可以推导如下公式:D(ξ)=E(ξ-E(ξ))2=E(ξ2-2ξE(ξ)+(E(ξ))2)=E(ξ2)-2(E(ξ))2+(E(ξ))2=E(ξ2)-(E(ξ))2.因为D(ξ)≥0,所以E(ξ2)≥(E(ξ))2.在求含多元变量最值的题目中,可以根据题目结构特征,巧妙的构造离散型随机变量的概率分布列,利用E(ξ2)≥(E(ξ))2解决问题.例1已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为. 相似文献
20.
一、选择题1.已知a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,则ab+bc+ca的最小值为().(A)3-21(B)-3+21(C)-3-12(D)3+212.设a1,a2,a3,…,a50是从-1,0,1这三个整数中取值的数,若a1+a2+a3+…+a50=9,且(a1+1)2+(a2+1)2+(a3+1)2…+(a50+1)2=107,则a1,a2,a3,…,a50中0的个数为().(A)10(B)11(C)12(D)13图13.在正方形ABCD中,E在BC上,BE=2,CE=1,P在BD上,则PE+PC的最小值为().(A)23(B)没有最小值(C)13(D)324.将一个各面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体表面按不同的方式展开,下面4个图中有3个图是该正方体表面展开图,则不是该正方体表面展开图的图形是()… 相似文献