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高考中的复数试题,历年来重税考查复数的概念及运算,但往往运算繁杂,影响临场的解题速度及正确性,而灵活运用诸如|z|~2=z(?)等复数的有关概念及性质,便可达到化繁为简,化难为易的功效.1 求模例1 (1995年全国高考文科试题)设复数 z=cosθ isinθθ∈(π,2π),求复数 z~2 z 的模.解:∵|z|=1,∴z(?)=1,z (?)=2cosθ.∴|z~2 z|~2=|z|~2|z 1|~2=|z 1|~2 相似文献
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对于一个复数方程,两边取模会导致增解,而两边同时取共轭得到的是与原方程同解的方程,怎么会导致增解呢?但这样的奇怪事情却发生了:请看下面两例. 例1 已知z是复数,且z~3=z,求z. 解法一:在z~3=z两边取模得|z|~3=|z|,即|z|=1或|z|=0.若|z|=1,则在z~3=两边同乘以z得z~4=1,z=±1或z=±ι.连同z=0共五个解,代入原方程知都是原方程的解. 解法二:z~3=. ①两边同取共轭得=z ②把①中的=z~3代入到②式中得z~9=z,解得 z=0或z~8=1. 显然比上面解法多出4个根.奇怪的是①式与②式互为充要条件,是同解的,由它们联立的方程组所得的结果应该是它们的公共解,而解为什么能多呢?我们再看一例. 相似文献
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|z|~2=z·z是复数模的一个很重要的性质。利用它解决与复数模有关的问题特别有效。例1 若|z|=1,试证:z/(1 z~2)∈R(z~2≠-1)。证明:∵|z|=1,∴|z|~2=z·z=1, z/(1 z~2)=z·z/(z z~2z)=1/(z z), ∵z z∈R, z/(1 z~2)∈R。例2 已知复数a、b、c的模均为1,且a b c≠0,求证: 相似文献
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《中学数学教学》1994,(3)
1.陕西省武功县普集高中刘康宁来稿 （邮编:712200）题 已知z∈C,且│z│=1,解方程z~7 z=1。解法一 设z=cosθ isinθ,则(cos7θ cosθ) (sin7θ sinθ)i=1,∴(cos7θ cosθ)=1 (sin7θ sinθ)=0 即 cos7θ=1-cosθ ① sin7θ=-sinθ ②①~2 ②~2得(1-cosθ)~2 (-sinθ)~2=1。 解得 cosθ=1/2,sinθ=±3~(1/2)/2。 故原方程的解是z=(1±3~(1/2)i)/2。解法二 原方程可化为z~7=1-z。对上式两边取模,得│z~7│=│1-z│。 相似文献
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充要条件是中学数学教学的一个最基本而又重要的概念,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,并以此指导数学学习及解数学问题,对于加强中学数学的概念教学、掌握知识的逻辑联系、培养良好的思维品质是非常重要的.在数学教学中常发现因忽视充要条件导致解题失误的情形,今举例剖析,以引起大家的重视. 一、必要条件误作充要条件,产生增解命题A是命题B的充分条件,即命题B是命题A的必要条件,其实质是A、B具有包含关系,且A强B弱.将必要条件误成充要条件即以“弱”代“强”,扩大解集范围. 例1 已知复数z满足|Z|=1,且z~(1992)+z=1,求复数z. 错解:由条件得z~(1992)=1-z,两边取模得 相似文献
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2000年全国高中数学联赛吉林赛区初赛试题: 若|z|=1,则u=|z~3-3z 2|的最大值是______. 原解:u=|z~3-3z 2| =|(z~3-z)-2(z-1)| 相似文献
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有这样一道题,其多种解法可贯串复数这一单元的所有内容,因之,设计了如下边复习、边解题的教学方案,就教于同行。 1 识属 题 已知p,q都是正实数,复数z满足条件|z-p|=p和z (q/z)是实数,求z 首先引导学生识题。依题意,显然z≠0,欲求的解答是用p,q表示z。当z是实数时,容易由条件|z-p|=p求出z=2p(注意z=0应舍去),因而,解出此题的关键是求满足题意的虚数。这样就自然地考虑应用复数的概念,复数的三角形式、共轭复数或复数的几何意义等来求解。 相似文献
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我们知道,在解决复数问题时通常的方法是复数问题实数化。这种方法体现了数学的一种基本思想——转化的思想,这当然是可以肯定的,但事实上很多复数问题是难以转化为实数问题,或是不宜转化为实数问题来解决的,而适宜运用复数本身的一些概念、性质和公式加以解决。公式zz=|z|~2=|z|~2中,既含有复 相似文献
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整体思想是解题中一种重要的思维方法 ,它常给某些问题的解决带来方便 .现举数例 ,说明整体思想在解决复数问题中的应用 .一、利用复数的性质进行整体处理【例 1】 若z∈C ,且z2 +9z2 为实数 ,求点Z(x ,y)的轨迹 .分析 :学生解决这类问题习惯设z=x+yi(或三角式 )将复数分解为实部与虚部之和这一常规步骤解题 .事实上 ,对它进行整体处理会十分简捷 .解 :∵z2 +9z2 为实数 ,利用复数z∈R的充要条件z =z可得 :z2 +9z2 =z2 +9z2 ,即 :z2 -z2 =9( z2 -z2z2 z2 ) .( 1 )当z2 ≠z2 时 ,有z2 z2 =9,即｜zz｜2 =9,∴｜z｜2 =3 ,∴｜z｜=3 .∴Z的轨… 相似文献
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本文把高中代数下册(人民教育出版社,1990年版,以下简称课本)、《高三数学教学与测试上册》(苏州大学《中学数学》编辑部,1995年版,以下简称教学与测试)和高考题中一些含条件|z|=1的复数问题串连起来,旨在提醒学生注重条件、用活条件,以提高运算能力。 1 从课本两道习题谈起 课本在复数一章有两个习题: (1)求证:(cosθ isinθ)/1=cosθ-isinθ (第216页习题二十八,10(1)) (2)求证:|z|=1(z∈C)的充要条件是1/z=(?)(第222页复习参考题八.15) (1),(2)两题形异实同,它们是关系式z·z=|z|~2=|z|~2 (课本第194页)当|z|=1时的特例,也是联系虚数与实数的纽带,针对实际问题,实施题(1),(2)的转换,既拓宽了复数问题的解题思路,又进一步沟通了 相似文献
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我们知道 ,解有关复数的命题大体有三大策略 :(1)化归思想 ;(2 )整体思想 ;(3)数形结合 .本文以数形结合的解题思想为中心 ,探讨复平面上圆方程的若干等价命题 ,供同行参考和指正 .定理 1 下列六个命题彼此等价 :1.虚数 z满足 |z|=r(r是正实数 ) .2 .虚数 z满足 |z2 |+(1- r) |z|- r=0(r是正实数 ) .3.虚数 z满足 zz=r2 (r是正实数 ) .4 .虚数 z满足 - 2 r相似文献
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题目 :已知复数 z1 =i( 1 - i) 3,( )求 argz1 及 | z1 | ;( )当复数 z满足 | z| =1 ,求 | z- z1 |的最大值 .上述第 ( )题比较直观 ,可直接求得 .z1 =i( - 2 - 2 i) =2 - 2 i=2 2 ( cos7π4 isin7π4) ,从而 argz1 =7π4,| z1 | =2 2 .而第 ( )题则是复数模的最值问题 ,本文对其分析探究 ,给出下面六种解法 :解法 1 (代数法 )设 z=a bi,( a,b∈R) ,则由条件知 a2 b2 =1 ,∴ | z - z1 | =( a- 2 ) 2 ( b 2 ) 2 =9- 4 a 4 b.令 y=- 4 a 4 b,与 a2 b2 =1联立并消去 a,可得 32 b2 - 8yb y2 - 1 6 =0 ,则由题意有 Δ=6 4y2 -… 相似文献
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有些复数综合题,若利用方程思想,两边取模,则可将复数问题转化为实数集内的求解问题,使问题变得简单明了,这种方法叫做取模法。用取模法解题不仅能收到化繁为简、化难为易之功效,而且能开拓解题思路,培养学生的创造性思维,提高学习数学的兴趣.本文拟从五个方面以实例说明。 1 解方程 例1 已知z∈C,解方程z—3i=1 3i(1992年全国高考题) 解 ∵z=|z|~2,把方程变形为 相似文献
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设z∈C,则|z|~2=zz;z=z←→z∈R. 例1.已知|α|=|β|=|γ|=1,α,β,γ∈C.求证: z=((α β)(β β)(β γ))/(αβγ)∈R. 证由αα=|α|~2=1,知α=1/α.同样,β=1/β,γ=1/γ专代入z表达式,即知z=z,故z∈R. 可类似证|αβ βγ γα|=|α β γ|. 相似文献
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一.勿盲目搬用实数集中的公式或结论 (一) 在复数集中|a|=m,a≠±m 例1.已知|ab|+1=|a|+|b|,求复数a,b。学生常错解为:由|ab|+1=|a|+|b|可知(|a|-1))(|b|-1)。故|a|=1或|b|=1,∴a=±1或b=±1。说明:|a|=1,a=±1只在实数范围内成立。当a为复数时,适合|a|=1的数应该是复平面上的单位圆周上的一切点对应的复数。±1只是其中的两个,显然缩小了解集,故至误。一般地,|a|=m(m>0),复数a应是复平面上的以原点为圆心,以m为半径的圆周上的一切点对应的复数,不是在实数范围内成立的a=±m作为它的答案。 相似文献