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一、应用特殊角的三角函数例 1 在△ABC中 ,∠A=1 2 0°,AB=3,AC=2 ,求 BC和 sin B。解 :过 C作 CD⊥ BA,交 BA的延长线于点 D,如图 1。∵∠ BAC=1 2 0°,∠ D=90°,∴∠ DAC=60°,∠ ACD=30°。在 Rt△ ACD中 ,AD=12 AC=1 ,CD=AC· sin∠DAC=2×sin60°=3。在 Rt△ BCD中 ,BD=BA AD=4,BC=BD2 CD2 =42 (3 ) 2 =1 9,∴ sin B=CDBC=31 9=571 9。例 2 已知 :△ ABC的边 AC=2 ,∠ A=45°,cos A、cos B是方程 4x2 - 2 (1 2 ) x m=0的二根 ,求 :(1 )∠ B的度数 ;(2 )边 AB的长。解 :(1 )∵∠ A=45°,∴ cos … 相似文献
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林秀玲 《中学课程辅导(初二版)》2003,(7):38-38
有关三角形的角度计算是三角形一章中重要问题之一,解决这类问题的方法虽因题而异,但利用列方程求解不失为一种好方法。现举几例加以说明. 例1 已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数. 解设∠A=x°,∵AD=BD, ∴∠ABD=∠A=x°,∵∠BDC=∠ABD+∠A,∴∠BDC=2x°, ∵AB=AC,BD=BC,∴∠BDC=∠C=∠ABC=2x°. ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°, 即x+2x+2x=180°,∴x=36°∴△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°, 例2 已知:如图2,在△ABC中,AB=BD=AC,AD=CD,求△ABC各角的度数.解:设∠B=x°,∵AB=AC,AD=CD,∴∠C=∠DAC=∠B=x°,∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x°,∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=2x°, 相似文献
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庞尔新 《雁北师范学院学报》2001,17(3):92-92
有些几何题 ,若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化 ,就会收到化难为易、事半功倍的效果 .1 求边长例 1、如图 1所示 ,在△ABC中 ,AB=4 ,BC=3 ,∠ABC=1 2 0°,求 AC的长 .解 :经过 A作 CB延长线的垂线 ,垂足为 E.因为∠ABC=1 2 0°,故∠ ABE=60°.在 Rt△ ABE中 ,AE=AB· sin60°=4× 3 /2=2 3 ,BE=AB· cos60°=4× 1 /2 =2 .在 Rt△ACE中 ,AC=AE2 CE2=( 2 3 ) 2 52 =3 7.2 求角例 2 如图 2所示 ,在△ ABC中 ,AB=4 ,AC=2 1 ,BC=5,求∠ B的度数 .解 :作 AD⊥ BC于 D.设 BD=x,则 D… 相似文献
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首先介绍一个有关的常用图形:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.由相似三角形易得CD2=AD·BD,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.练习1.在正方形ABCD中,AE=1/4AD,E在AD上.G是AB的中点,GF⊥EC,垂足为F.求证:GF2=CF·EF.(提示:连接EG,CG.通过证△AEG(?)△BGC,得 相似文献
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1 命题若 AD为 Rt△ ABC的斜边 BC上的高 ,则 1AD2 =1AB2 1AC2 .图 1证明 如图1 ,因 AB⊥ AC,AD⊥ BC,故 AB· AC= AD· BC,于是 1AD2 =BC2AB2 · AC2 =AB2 AC2AB2 · AC2 =1AB2 1AC2 .2 应用例 1 在 Rt△ ABC中 ,∠A=90°,以CB,CA,AB为轴将△ ABC旋转一周所得几何体的体积分别记为 Va,Vb,Vc,试证明 :1V2a= 1V2b 1V2c.证明 如图 1 ,有Vb=13πAB2·AC,Vc=13πAC2 · AB,Va=13πAD2·BD 13πAD2·DC =13πAD2 · BC=13πAD· AB·AC.故 1V2b 1V2c=1( 13πAB· AC) 2( 1AB2 1… 相似文献
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《时代数学学习》2005,(10)
一、填空题(每小题5分,共40分)1.如图1,AO=BO,AE=BD,P是AD和BE的交点,该图中有对全等三角形.图1图22.如图2,∠A=∠C,AF=CE,若要证明△ABE≌△CDF,还需补充一个条件,(1)若以“SAS”为依据,则补充的条件是.(2)若以“ASA”为依据,则补充的条件是.3.若等腰三角形的一个内角为150°,腰长为a,则腰上的高等于.4.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,AC的垂直平分线交AB于D,则图3∠BCD=.5.如图3,△ABC中,AB=16,AC的垂直平分线MN交BC于N,若△NBC的周长为26,则BC=.6.如图4,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=3,下列各图所示的三角形… 相似文献
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在1993年西宁市中考数学试卷中,有这样一道题:已知在如图Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,AE平分∠BAC。若AB=15cm,BD=9cm。求:(1)BC的长;(2)AC的长;(3) 相似文献
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顶角为 80°的等腰三角形 ,虽然图形简单 ,但用它构造的一批习题却新颖 ,且解法巧妙 .现将相关命题介绍如下 ,供参考 .例 1 如图 1 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=80°,P为△ ABC形内一点 ,使∠ PBC= 1 0°,∠ PCB=2 0°,试求∠CAP的度数 .图 1解 作 P关于AC的对称点 D,由∠PCA =30°知△ PCD为正三角形 ,且 AP=AD.又∠ BPC =1 5 0°,∠BPD =36 0°-∠ BPC-∠CPD=36 0°- 1 5 0°- 6 0°=1 5 0°,∴△ BPD≌△ BPC,∠ CBD=2∠ PBC= 2 0°且 BC=BD,故∠BDC=12 (1 80°-2 0°) =80°=∠ BAC.∴ B,A,D,C四点共圆 .… 相似文献
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吕德正 《山西教育(综合版)》2003,(14):17-17
一、“角平分线 +翻折”构造全等三角形以三角形的角平分线为轴翻折 ,得全等三角形。在图 1中 ,以 AD为轴将△ ACD翻折 180°,使 C落在 C′(即在 A B上截取 AC′=AC) ,得△ ACD≌△ AC′D。在图 2中 ,以 AD为轴将△ A BD翻折 180°,使 B点落在 B′(即在 AC延长线截取 AB′=AB) ,连结 DB′,得△ ABD≌△ AB′D。例 1.已知△ ABC中 (如图 3) ,∠ C=90°,AC=BC,AD平分∠ BAC交 BC于 D。求证 :AB=AC+CD。分析 :由于题目中有角平分线条件 ,故可考虑翻折造全等 ,即把△ ACD以 AD为轴翻折 180°,使 C点落在 G 上 ,则有… 相似文献
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三角函数的求值问题 ,是近年中考和数学竞赛中常见的题型 ,其求法灵活多变 ,现归纳出十种 ,供同学们参考 .图 11 根据定义求例 1 如图 1,在△ ABC中 ,∠ C=90°点 D在 BC上 ,BD =4 ,AD =BC,cos∠ ADC =35 ,求sin B.分析 ∠ B是 Rt△ ABC中的一个锐角 ,欲求 sin B,根据定义 ,只需求出∠ B的对边 AC和斜边 AB即可 .解 因为在 Rt△ ACD中 ,cos∠ ADC=CDAD=35 ,设 CD =3k,所以 AD =5 k,又因为 BC =AD,所以 3k +4=5 k,所以 k= 2 ,所以 CD =3k =6 ,因为 BC =3k +4= 6 +4=10 ,AC=AD2 - CD2 =4 k= 8,所以 AB =AC2 +BC… 相似文献
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刘顿 《初中生世界(初三物理版)》2004,(Z2)
在几何解题中时常需要辅助线.在含有三角形中线条件的习题中倍长中线是一种重要的添加技巧,它可以将许多较为分散的条件相对集中,从而架设已知与未知的桥梁.现就倍长中线的方法举几例说明.例1如图1,△ABC中,BD=DC,若AD⊥AC,∠BAD=30°.求证:AC=12AB.简析虽然AC、AB在同一个三角形中,但无法证得结论.想到BD=DC,即AD是中线,可倍长中线,即延长AD至E,使DE=AD,再连结BE,则易证得△BDE≌△CDA.于是∠E=∠CAD,BE=AC.而AD⊥AC,则∠E=90°.在Rt△AEB中,∠BAD=ABEDC图1CADEB图230°,所以BE=12AB,故AC=12AB.例2如图2,… 相似文献
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江春 《中学数学教学参考》2006,(16)
如何求 tan 15°?学生时常为这个问题所困扰,笔者经研究发现:利用特殊角(30°,45°和60°)之间的关系巧妙地构造几何图形,不难找到一些简捷、精当的方法,下面以含30°的直角三角形为基本图形,商榷几种求 tan 15°值的方法.基本图形:如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1.基本结论:AC:BC:AB=1:3~(1/2):2,即 AB=2,BC=3~(1/2),∠A=60°.1 以30°角为顶角,构造等腰三角形方法1:如图2,延长 BC 至 D 点,使 BD=AB,连结 AD.由作法可知,BD=AB=2,∠CAD=15°.所以CD=BD-BC=2-3~(1/2). 相似文献
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贵刊 2 0 0 2年第 1期上刊登的朱绍智、王国平两位老师《一道竞赛试题的 5种证法》.看后很受启发 ,现补充两种证法以供读者参考 .其中 ,证法 1辅助线自然天成 ,证法简洁 ,可称最优解法 ;证法 2不作辅助线 ,用代数方法 ,思路新颖 .图 1题目 :如图 1,△ ABC中 ,AC =BC,∠ ACB =90°,D是 AC上一点 ,AE⊥BD交 BD延长线于 E,且AE =12 BD.求证 :BD是∠ ABC的角平分线 .证法 1:延长 AE、BC交于 F ,因为∠ ACB =90°,AE⊥ BD,所以∠ 1=∠ 3 .(同为∠ F余角 )又 AC =BC所以△ ACF≌△ BCD(ASA)所以 AF =BD所以 AE =12 BD =… 相似文献
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在解梯形问题时,常常需要添作辅助线,其目的就是将梯形问题转化为同学们所熟悉的平行四边形和三角形来解决.下面举例说明梯形中常用的辅助线的作法郾一、作梯形的高例1如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=∠C=90°,MA=MB,∠BMC=75°,∠AMD=45°.求证:BC=CD郾证明作AE⊥BC于E郾∵AD∥BC,∴DC=AE郾∵∠AMB=180°-75°-45°=60°,MA=MB,∴△AMB为正三角形郾∴AB=BM郾又∵∠ABE=60°+15°=75°=∠BMC,∴Rt△ABE≌Rt△BMC郾∴AE=BC郾∴BC=CD郾二、作梯形的中位线例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为O… 相似文献
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与角平分线有关的证明问题在几何学习中屡见不鲜。由于角平分线具备“角相等”和“公共边”这两个自身条件,因此,解决这类问题,常可考虑沿角平分线两侧构造全等三角形的方法。例1如图1,在△ABC中,∠BAC的外角平分线上取一点D,连结BD、CD。求证:BD+CD>AB+AC·证明:在BA延长线上截取AE=AC,连结DE.图1∵∠1=∠2,AD公用∴△ADC≌△ADE∵ED=CD在△EBD中,ED+BD>BE,∴BD+CD>AB+AC·例2如图2,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,AC=AB+BD·求证:∠ABC=2∠C·证明:延长AB到E,使AE=AC,连结DE·图2∵AE=AC,∠1=∠2,AD=A… 相似文献
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C 三角 如图 (1), CD是△ ABC的形形状;延拓高,当点 C在 CD上运动时,易得如下结论： AC2＋ BC2=AB2 Rt△ ABC. (1) AC2＋ BC2>AB2锐角 △ ABC. (2) AC2＋ BC2 AC2=AD· AB或 BC2=BD· AB或 CD2=BD· AD Rt△ ABC.(4) AC2>AD· AB或 BC2>BD· AB或 CD2>BD· AD 锐角△ ABC.(5) AC2 我们称 (1)(2)(3)为勾股式,称 (4)(5)(6)为射影式 .利用勾股式和射影式判断三角形的形状,十分方便 . 例 1、已知三角 解： ∵ 42＋ 52>62形三边长为 4、 5、 6, ∴它是锐角三角形 .则此三角形为一一 例 2、… 相似文献
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全力 《数理天地(初中版)》2003,(10)
例1 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于D,作CE⊥BD交BD的延长线于E,过A作AH⊥BC交BD于M,交BC于H,则BM与CE的大小关系是_______ . (第9届“希望杯”初二2试) 相似文献
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许多几何问题,若能恰当添出辅助圆,充分利用圆的丰富性质,便能获得简捷巧妙的解法. 例1 在△ABC中,∠ABC=∠C,∠A=100°,BE是∠B平分线,求证:AE+BE=BC.图1证明 作△ABE的外接圆交BC于D,连结ED.∵∠A=100°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=40°.又∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=20°,AE=DE,∴AE=DE.又∵四边形ABDE为圆内接四边形,∴∠DEC=∠ABC=40°,∴∠DEC=∠C.∴DE=DC,∴AE=CD.∵∠BDE+∠A=180°,∠A=100°,∴∠BDE=80°,∴∠BED=80°,∴BE=BD,∴BC=BE+AE. 例2 已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC.AD=a,BC=b,AB=CD=… 相似文献
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刘顿 《初中生世界(初三物理版)》2004,(27)
掌握了解直角三角形的知识后,我们手中又多了一个解题工具.但是解题中经常遇到的三角形并不是直角三角形,这时怎么办呢?遇到这种情况,不妨根据题意,结合图形,遇“斜”化“直”,即会柳暗花明.现举几例说明.例1(2002年重庆市中考试题)如图1,在△ABC中,∠A=30°,tanB=13,BC=10√,则AB的长为.分析在△ABC中,由条件∠A=30°,tanB=13,可想到遇“斜”化“直”的方法.即过点C作CD⊥AB于D.于是在Rt△BDC中,CDDB=13.设CD=x,则DB=3x(x>0).由勾股定理得x2+(3x)2=(10√)2,即x=1(负根舍去).在Rt△ADC中,∠A=30°,所以AD=3√·CD=3√.因此… 相似文献