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一元二次方程是中考的一个重点,把几何问题与一元二次方程结合在一起组成综合题,又是中考中的一个热点与难点.这些综合题类型较多,其中有一类常以下列两种形式出现: (1)求作以两个几何量为根的一元二次方程; 相似文献
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把几何图形放到平面直角坐标系中 ,将函数概念与几何知识巧妙结合 ,这是近几年来中考命题的又一热点 .我们把这类综合题简称为坐标几何题 .我们对 60余份 2 0 0 0年的中考试卷进行统计 ,约 40 %的试卷有坐标几何题 .坐标几何题的最大特点是数形结合 ,即用代数的方法研究几何问题 .现选择若干典型试题 ,介绍这类综合题的特点和解题思路 ,供大家复习参考 .图 1例 1 如图 1 ,直线ｙ =3ｘ -6和直线ｙ =ａ(ｘ + 3 )分别与ｘ轴、ｙ轴相交于Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ ,有一个圆恰好经过这四个点 .(1 )求ａ值 ;(2 )求该圆的圆心坐标 .(2 0 0 0年广东省珠海市… 相似文献
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方程综合题是指以一元二次方程为中心的初中代数方程的综合题 .它涉及方程、方程组、判别式、根与系数的关系、函数等知识点 .以灵活的变换 ,丰富的转化思想为特征 .它是中考命题的一个热点 .例 1 已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ2 -(2ｍ -1 )ｘ +ｍ -2 =0 (ｍ >0 ) .(1 )求证 :这个方程有两个不相等的实数根 ;(2 )如果这个方程的两个实数根分别为ｘ1、ｘ2 ,且 (ｘ1-3 ) (ｘ2 -3 ) =5ｍ ,求ｍ的值 . (2 0 0 0年上海市中考题 )分析 (1 )要证明已知的一元二次方程有两个不相等的实数根 ,只要证明判别式Δ >0 ;(2 )运用根与系数的关系 ,列出关… 相似文献
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以一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )的根与系数的关系为考点的中考试题 ,题型多样 ,解法灵活 ,且常考常新 .本文以 2 0 0 0年部分地区中考试题为例 ,说明根与系数的关系的应用 ,供同学们参考 .一、已知一元二次方程的一个根 ,求另一个根及参数的值例 1 已知方程 2ｘ2 +ｋｘ -1 0 =0的一个根为 -2 ,求它的另一个根及ｋ的值 .( 2 0 0 0年江西省中考题 )解 设另一个根为ｘ1 ,那么-2ｘ1 =-5.∴ ｘ1 =52 .∵ -2 +52 =-ｋ2 ,∴ ｋ =-1 .∴ 方程的另一个根为52 ,ｋ的值为 -1 .注 这种类型的题也可将根-2代入原方程 ,先求出ｋ的值 ,… 相似文献
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与一元二次方程两根有关的几何题，沟通了几何图形、一元二次方程、三角函数、解直角三角形等知识体系，做到了数形结合，是一种考察学生全面掌握知识，并能综合应用的题目 .因此近年来成为各省市中考命题的热点之一，以下讨论此类题型的一些解法 . 一、求证几何题中某些量为一个一元二次方程的两根 此类问题的解题关键，在于证明给出的两个几何量的和与积是否符合一元二次方程中根与系数的关系 . 例 1.如图 1,P为半径为 2的⊙ O内一定点， OP=， AB为经过 P点的弦，过 A、 B分别作⊙ O切线 AC， BC交于 C,设 P点到 AC， BC… 相似文献
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一元二次方程是中考命题的“重头戏” .近年来 ,围绕着“重在基础 ,突出能力” ,中考试题出现了一些精彩的一元二次方程题 .现举几个典型的例子加以说明 ,供同学们学习时参考 .一、设有隐含条件的二次方程解决此类问题要注意 :1 用判别式时不可忽视二次项系数不为零这个隐含条件 ;2 用韦达定理时不可忽视二次项系数不为零和二次方程有实根的隐含条件Δ≥ 0 .例 1 已知关于ｘ的一元二次方程 4ｍ2 ｘ2 (8ｍ 1 )ｘ 4=0有两个不相等的实数根 .(1 )若所给方程的两实数根的倒数和不小于 -2 ,求ｍ的取值范围 .(2 )ｍ为何值时 ,此方程的两个… 相似文献
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根与系数的关系问题是一元二次方程的重点内容 ,在中学数学中占有相当重要的地位 .利用它不但可以解决许多代数问题 ,还可以解决三角、几何问题 ,在中考解题中应用也很广泛 .现以各地中考题为例 ,介绍它的应用 .一、已知一根 ,求另一根例 1 已知方程 2ｘ2 -ｐｘ 62 =0有一根是 2 ,那么另一根是 . ( 1 999年四川省中考题 )解 设另一根为ｘ0 ,由根与系数的关系可得ｘ0 · 2=622 ,所以ｘ0 =3.二、求代数式的值例 2 先化简 ,再求值 :ｂａ ａｂ(ａ >0 ,ｂ >0 ) ,其中ａ、ｂ是方程ｘ2 -3 2ｘ 3=0的两个实数根 .( 1 999年辽宁省中考题 )解 … 相似文献
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在近年各省、市中考试题中 ,常有以两线段长为方程的根的题目出现 .这类问题把一元二次方程与几何问题直接挂钩 ,沟通了几何与二次方程之间的联系 ,它涉及到的知识点多 ,覆盖面广 ,综合性强、题型新颖 .本文试以 2 0 0 2年几道有关的中考题为例 ,对其解法分类作简要说明 ,供学习参考 .一、以两线段长为根 ,求作一元二次方程其解题思路是 :先根据题设条件及有关知识设法求出两线段的和与积 ,然后依照“以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程是 :x2 - (x1+ x2 ) x + x1x2 =0”写出所求作的方程 .例 1 (2 0 0 2年四川省巴中市中考题 )在 Rt△ A… 相似文献
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若ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根 ,则有ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0。若ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,则当ｘ1 ≠ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2是方程的两不等实根 ;当ｘ1 =ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0的两个相等实根。灵活运用上述结论解涉及一元二次方程的有关问题 ,常能化繁为简 ,化难为易 ,举例如下 :例 1 若α ,β是方程ｘ2 + 2ｘ - 2 0 0 1 =0的两个实数根 ,则α2 + 3α +β等于 ( ) ( 2 0 0 1年山东省威海市中考题 )Ａ .- 2 0 0 0 ; Ｂ .2 0 0 0 ; Ｃ… 相似文献
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用因式分解法解一元二次方程是一种常用的方法。例 1 解方程ｘ2 - 2ｘ - 3=0解 :(ｘ - 3) (ｘ + 1 ) =0 ｘ - 3=0或ｘ + 1 =0 ∴ｘ1 =3,ｘ2 =- 1根据该题的做法 ,逆向思考 ,已知两根ｘ1 =3,ｘ2 =- 1 ,可以求出一元二次方程 ,方法是把上面解方程的过程逆向运算便可以。∵ｘ1 =3,ｘ2 =- 1 ∴ｘ - 3=0或ｘ + 1 =0∴ (ｘ - 3) (ｘ + 1 ) =0即ｘ2 - 2ｘ + 3=0对于一般情况 ,以ｘ1 ,ｘ2 为根的一元二次方程是否也是 (ｘ -ｘ1 ) (ｘ-ｘ2 ) =0呢 ?设以ｘ1 ,ｘ2 为根据的一元二次方程是ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 ,两边除以ａ得 ,ｘ2 + ｂｘｘ + … 相似文献
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以线段的长为根的一元二次方程 ,综合了几何与代数的许多知识点 ,一直以来是中考命题的热点 .2 0 0 0年的中考题中 ,这方面的命题难度普遍下降 ,但仍然有不少试题编拟得丰富多彩 .例 1 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ａ、ｂ、ｃ分别是∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边 ,ａ、ｂ是关于ｘ的方程ｘ2 -7ｘ+ｃ+ 7=0的两根 ,那么ＡＢ边上的中线长是 ( ) .(Ａ) 32 (Ｂ) 52 (Ｃ) 5 (Ｄ) 2(2 0 0 0年河北省中考题 )分析 要求斜边ＡＢ上的中线 ,本题关键是求斜边ＡＢ(即ｃ)的长 .运用勾股定理ａ2 +ｂ2 =ｃ2 及根与系数的关系可求ｃ的值 .解 ∵ … 相似文献
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一元二次方程是中考数学必考的知识,也是初中数学的重要内容之一,经常是以用几何量(线段长、三角函数的值、面积、线段的比值等)作为一元二次方程的根的综合题的形式出现。这类题目变化灵活,花样繁多,它将几何的许多知识和一元二次方程的知识巧妙地综合,是考查学生综合运用知识分析问题和解决问题能力的一类好题型。下面略举几例,以引起对这类考题的注意。例1.如图:Rt△ABC中,∠C=90O,AB=c,BC=a,AC=b(b>a),在△ABC外部作正方形ACDE和正方形BCFG。(1)求证:CM=CN;(2)若MN=2,且AD、BF是关于x的方程x2-(2n+1)x+n2+2=0的根,求c的长… 相似文献
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一、利用根的定义构造一元二次方程例 1 已知ａ、ｂ为互不相等的实数 ,且ａ2 =7- 3ａ,ｂ2 =7- 3ｂ.求ａ2 +ｂ2 的值 .(2 0 0 2年北大附中中考模拟题 )分析 观察发现 ,ａ、ｂ实际上是方程ｘ2 +3ｘ-7=0的两个互不相等的实根 ,从而可以利用根与系数的关系求ａ2 +ｂ2 的值 . 解 由ａ2 =7- 3ａ ,ｂ2 =7- 3ｂ ,知ａ、ｂ是方程ｘ2 +3ｘ- 7=0的两个根 ,则ａ +ｂ =- 3,ａｂ=- 7.∴ ａ2 +ｂ2 =(ａ +ｂ) 2 - 2ａｂ =(- 3) 2 +2× 7=2 3.例 2 已知ａ2 +ａｃ+ｃ2 =0 ,ｂ2 +ｂｃ+ｃ2 =0(ｂ≠ａ) ,请猜想ａ2 +ａｂ +ｂ2 的值 ,并证明你的猜想 . (2 0 … 相似文献
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中考中的几何、方程(equation)综合题,主要是指以线段长为根的一元二次方程问题.这类题将几何知识与一元二次方程有机结合,巧妙设计,既有几何的证明和计算,又有代数方程的变换和转化,综合考查几何、代数方程的基础知识和多方面能力.现以2002年典型试题为例,介绍这类题的命题特点和解题思路. 相似文献
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1 为什么要规定一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ+ｃ=0中的系数ａ≠ 0 ?答 因为当ａ =0时 ,方程变成了ｂｘ+ｃ=0 .这就不是一元二次方程了 .2 关于ｘ的方程 2ｘ2 (ｘ +1 ) +3ｙ -8ｘ=2ｘ3 +3ｙ-7( )是一元二次方程吗 ?答 这个方程通过变形 ,可化为 2ｘ2 -8ｘ +7=0 ,这是一个一元二次方程 ,这说明原方程 ( )是一元二次方程 .因此判断一个整式方程是不是一元二次方程 ,通常要化成一般形式之后再判定 .3 在方程ｘ2 +1ｘ=0中 ,含有一个未知数ｘ ,且未知数ｘ的最高次数是 2 ,能说这个方程是一元二次方程吗 ?答 不能 .一元二次方程首先应该是整式方… 相似文献
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温玉珍 《山西教育(综合版)》2001,(16)
一、理解根与系数关系的本质特征一元二次方程根与系数的关系 ,教材从两个方面进行了研究。一方面从一元二次方程的求根公式出发 ,揭示出两根和及积与系数的关系 ,即 :ax2 bx c=0 (a≠ 0 )的两个根是 x1、x2 ,则 x1 x2 =- ba,x1· x2 =ca。运用这个关系式可不解方程而从一元二次方程的一般形式求出它的两根之和与两根之积 ;另一方面可由两个数来得到一个以这两个数为根的一元二次方程。1.由已知一元二次方程求它的两根和与两根积。例 1.已知实数 a、b满足 a2 =2 - 2 a,b2 =2 -2 b,且 a≠ b,试确定 a b与 ab的值。分析 :整理 ,得 a2 2 a- 2… 相似文献
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许盈 《中学数学教学参考》2001,(4)
一元二次方程是初中代数的一个极为重要的内容 ,尤其是判别式和韦达定理的应用更是广泛 ,成为初中数学竞赛的热点 .一、基础知识1 .判别式 .设一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0 ( )的判别式为Δ =ｂ2 -4ａｃ ,ｘ1、ｘ2 是方程的两个根 ,则Δ >0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ±Δ2ａ ;Δ =0 方程 ( )有两个不等实根ｘ1,2 =-ｂ2ａ;Δ <0 方程 ( )无实根 .2 .违达定理 .设ｘ1、ｘ2 是方程 ( )的两个根 ,则ｘ1 ｘ2 =-ｂａ ,ｘ1ｘ2 =ｃａ .特别地 ,当Δ≥ 0时 ,有ａｃ>0 两根同号 ,且 ａｂ>0 ,两根为负 ;ａｂ<0 ,两根为负 .ａｃ<0 … 相似文献
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中考试题常把一元二次方程与三角函数综合起来．解这类问题时要正确应用锐角三角函数的定义及有关性质，以及一元二次方程的有关知识．现以近两年的中考题为例，介绍这类问题的解题思路． 一、求锐角三角函数的值 例 １ 若 ａ为锐角，且 ｓｉｎ ａ是方程 ２ｘ２＋３ｘ－２＝０的一个根，求ｃｏｓ ａ的值．（２０００年海南省中考题） 分析与解 根据已知条件，先求ｓｉｎ ａ的值，再求ｃｏｓａ的值．解方程，得幻（舍去）． 二、判别一元二次方程根的情况 例 ２ 在凸ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ，且满足 ｂ＋ｃ＝１… 相似文献
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把一元二次方程同几何问题结合在一起，构成了丰富多采的综合题．这类综合题常在中考试卷中出现．解这类题，既要运用一元二次方程的有关知识．又要注意见何图形的性质．本文将对它的类型和解法分析作一些介绍．一、求作以两线段为根的方程例1已知：如图1．C”是以AB为直径的半圆上一点，CW上AB于H，D分AB为＊D：＊B一16：9．＊B一IO．不求＊C、DC的长．作出以AC、BC的长为根的一元二次方程．（199年河南省鹤壁市九义中考思。分析关键是求AC”＋BC”和AC”’BC”的值．易知AC”·BC”一AB·＜”D·AB—IO．故只须求＜W．A… 相似文献
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在解直角三角形中 ,我们学习了两个公式 :(1 )ｓｉｎ2 Ａ ｃｏｓ2 Ａ =1 ;(2 )ｔｇＡ·ｃｔｇＡ =1 (其中Ａ为锐角 ) .将 (1 )变形可得(ｓｉｎＡ ｃｏｓＡ) 2 -2ｓｉｎＡｃｏｓＡ =1 .将它们与韦达定理相结合 ,巧妙地形成了一类数形结合的综合题 .这是中考命题的一个热点 .现举几例说明 .例 1 若关于ｘ的一元二次方程ｘ2 ａｘ ｂ =0的两根是一直角三角形两个锐角的正弦值 ,且ａ 5ｂ =1 ,则ａ、ｂ的值分别为 ( ) .(Ａ) -35 ,82 5 (Ｂ) -75 ,1 22 5(Ｃ) -45 ,92 5 (Ｄ) 1 ,0(1 997年江苏省无锡市中考题 )解 设Ｒｔ△ＡＢＣ的… 相似文献