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初中《代数》第三册P.115例5是:已知方程x~2-2x-1=0,利用根与系数关系求一个一元二次方程,使它的根是原方程的各根的立方。其实,本题若不利用根与系数的关系,也可获解,请看: 解:设y为新方程任一根,则对原方程相应的根x有:y=x~3。由原方程得:X~2=2x+1,所以x~3=2x~2+x=2(2x-1)+x=5x+2。因此,y=5x+2,即x=(y-2)/5,将它代入原方程并化简即得所求方程:y~2-14y-1=0。 相似文献
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解无理方程,通常是采用两边平方的办法。但这样做往往要进行两次以上的平方,出现高次方程,给解方程带来困难。本文介绍另一种解法——“平方差法”。先看例1 解方程(x~2+x-2)~(1/2)-(x~2+x-5)~(1/2)=1 (1) 解:由恒等式((x~2+x-2)~(1/2))~2-((x~2+x-5)~(1/2))~2=3 (2) (2)÷(1)得(x~3+x-2)~(1/2)+(x~2+x-5)~(1/2)=3 (3) (1)+(3)化简得(x~2+x-2)~(1/2)=2 (4) 两边平方整理得x~2+x-6=0 解得x_1=2,x_2=-3。经检验知,x_1=2,x_2=-3都是原方程的根。用这种方法解无理方程,虽然避免了高次方程的出现,但是有可能遗根。请看例2 解方程(x~2+5x-6)~(1/2)+2=(x~2+x-2)~(1/2)+22~(1/2) 解:将原方程变形为(x~2+5x-6)~(1/2)-(x~2+x-2)~(1/2) 相似文献
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韦达定理是代数中的一个重要定理,它在解析几何中也有广泛的应用。在解某些解析几何题时,如果注意运用韦达定理,有时能使运算简便。如以下几例。 一、利用x_1 x_2=-b/a 例1.点P(2,2)是椭圆x~2 8y~2 4x-24y 6=0的一条弦的中点,求这条弦所在的直线方程。 解:设所求的直线方程为y-2=k(x-2),它与椭圆的方程x~2 8y~2 4x-24y 6=0组成方程组,消去y得:(1 8k~2)x~2-(32k~2-8k-4)x 32k~2-16k-10=0,设它的两个根是x_1和x_2,则有x_1 x_2=4,根据韦达定理有 相似文献
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例1.分解因式:x~2-4y~2。 解 x~2-4y~2=(x 2y)(x-2y) =x~2-4y~2。 剖析 本已分解,却又用整式乘法“还原”,这是初学者常犯的错误,问题在于不懂得因式分解的意义。 相似文献
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函数图象交点法求函数图象上点即:若求满足某种条件的某函数图象上的点,思路:满足这样条件的点还会在其他函数图象上吗?若能构造出来,就可利用方程组求出交点坐标.让我们先来看个例题,体会一把何谓"函数图象交点法".例1求二次函数y=x~2-3x-3的图象上到两坐标轴距离相等的点P的坐标.分析:所求点在函数y=x~2-3x-3的图象上,同时我们知道到两坐标轴距离相等的点也在一、三象限或二、四象限的角平分线上,即在y=x或y=-x上.于是我们找到了解题途径. 相似文献
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曾安雄 《数学大世界(高中辅导)》2004,(10):15-17,7
一、忽略斜率不存在若将直线方程设为点斜式或斜截式,则应针对斜率是否存在进行分类讨论,否则极易漏解.【例1】 求过(2,1)且与直线y=3x-1夹角为30°的直线方程.错解:设所求斜率为k,因为直线y=3x-1的斜率为k1=3,由3-k1+3k=tan30°=33,得k=33.故所求直线方程为y-1=33(x-2),即x-3y+3-2=0.剖析:这里忽略了斜率不存在的情况.事实上,还有一条直线x=2也满足.【例2】 已知直线l经过点(4,8),且到原点的距离是4,求直线l的方程.错解:设所求直线l的方程为y-8=k(x-4),可化为kx-y+(8-4k)=0,由点线距离公式可得|8-4k|k2+1=4,解得k=34.所求直线方程为y-8=3… 相似文献
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《中学数学教学》1998,(2)
1.江苏省姜堰市第二中学 石志群(225500)题 已知两椭圆方程分别为:x~2 9y~广-45=0,x~2 9y~-6x-27=0,求过两椭圆的交点且与直线x-2y 11=0相切的圆的方程.(1984年高考题)解 设过两已知椭圆交点的圆的方程为:x~2 9y~2-6x-27 λ(x~2 9y~2 -45)=0.即 (1 λ)x~2 (9 9λ)y~2-6x-27-45λ=0,由x一2y 11=0得 x=2y-11,代入上式得(13 13λ)y~ 2-(56 44λ)y 160 76λ=0.当圆与直线相切时,有△=0,即(56 44λ)~2-4(13 13λ)(16O 76λ)=0. 相似文献
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在方程ax=b中,若未知数x可为任何实数值,则a=0,b=0.用这个结论可以证明一些函数图象过定点的问题. 一、证明一次函数图象过定点例1 求证:不论k为何值,直线y=2kx-(k-1)都过一个定点,并求这个定点的坐标. 证明:将直线y=2kx-(k-1)变形为(2x-1)k=y-1. ∵k为任何值方程都成立,∴2x-1=0,y-1=0 .解得x=12,y=1 .∴不论k为何值,直线y=2kx-(k-1)都经过定点12, .练习1求证:不论k为何值,直线y=kx-(k-2)都过一个定点,并求这个定点的坐标.答案:(1,2)二、证明二次函数图象过定点例2求证:不论a为何值,抛物线y=x2-(a2-1)x-2(a2… 相似文献
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某个变量的变化并不引起其他量的变化,则其他的量与该变量就无关。运用这种“无关思想”可解某些二次函数题。 例1 求证二次函数y=(k~2 k 3)x~2-2(k 2)x 3的图象与x轴永不相交,而与k的取值无关。 证明:要使图象和x轴不相交,必须 相似文献
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一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1)) 相似文献
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王信江 《数理化学习(初中版)》2006,(6)
大家都知道,判别式主要应用于判断一元二次方程根的情况,这类问题比较简单,下面介绍判别式其他方面的一些应用·一、求条件最值问题例1已知实数x,y满足x2-12y=0,求x-3y的最值·分析:运用设“k”法消去y,即可整理成x的一元二次方程·解:设x-3y=k,则y=x3-k,代入x2-12y=0,化简得x2-4x+4k=0,所以Δ=(-4)2-4×1×4k≥0,所以k≤1,所以x-3y有最大值为1,无最小值·例2已知实数x,y满足条件x2+xy+y2=1,求x2+y2的最值·解:设x2+y2=k,则x2+ky2=1,代入x2+xy+y2=1=x2+ky2,化简得(1-1k)x2+xy+(1-1k)y2=0·整理为yx的一元二次方程为(1-1k)(xy)2+(xy)+(1-1k)=… 相似文献
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初中代数课本中对二次函数图象的作用强调得不够,仅在讨论二次不等式的解集时用到过,另外还出现过诸如“作出y_1=x~2-3x-2和y_2=-2x 1的图象,观察x为何值时y_1=y_2”这样的问题,完全未论及用二次函数图象解一元二次方程根的分布问题,致使学生在碰到这类问题时,只能机械地 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2006,(9)
一、忽视斜率不存在的情形例1直线l过点P(2,1)且与直线y=3~(1/2)x 1的夹角为30°,求直线l的方程．错解：设直线l的斜率为k,则|(k-3~(1/2))/(1 3~(1/2)k)|=tan30°,解得k=(3~(1/2))/(3),故所求直线方程为y-1=(3~(1/2))/(3)(x-2),即3~(1/2)x- 3y 3-2 3~(1/2)=0． 相似文献