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在处理某些数学问题时,根据题目的结构特征构造出直角三角形,利用直角三角形的性质,常可使问题巧妙获解．本文仅根据解题实践中的积累,粗略地对此进行归纳试探,以做引玉之砖．１ 利用锐角三角函数定义构造直角三角形例１ 已知α、β、γ均为锐角,β＜γ,ｔｇα＝ｓｉｎβ·ｓｉｎγｃｏｓβ－ｃｏｓγ,求证：ｔｇβ＝ｓｉｎα·ｓｉｎγｃｏｓα＋ｃｏｓγ．图１证明 根据题设构造Ｒｔ△ＡＢＣ,使ＡＣ＝ｃｏｓβ－ｃｏｓγ,ＢＣ＝ｓｉｎβ·ｓｉｎγ,∠Ａ＝α,如图１．∴ＡＢ＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝１－ｃｏｓβ·ｃｏｓγ．∵ｃ… 相似文献
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巧用等比性质，可使许多问题变得简单易解，下面举例说明之．例１ 已知ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，求ｂａ的值．解 ∵ａ－ｃｂ＝ｃａ＋ｂ＝ｂａ，∴ ｂａ＝ａ－ｃ＋ｃ＋ｂｂ＋ａ＋ｂ＋ａ＝ａ＋ｂ２（ａ＋ｂ）＝１２．例２ 已知ｃｔｇα＝２，求ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα的值．解 ∵ｃｔｇα１＝２１＝ｃｏｓαｓｉｎα，∴ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα１＋１＋ｓｉｎα＝２，即ｃｔｇα＋２＋ｃｏｓα２＋ｓｉｎα＝２．例３ 求ｎ３ｎ－９ｎ＋２７ｎ５ｎ－１５ｎ＋４５ｎ的值．解 ∵３ｎ５ｎ＝－９ｎ－１５ｎ＝２７ｎ４５ｎ＝３… 相似文献
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《中学数学教学参考》1998,(7)
成果集锦不等式ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥４３Δ的一个对偶定理在非钝角△ＡＢＣ中,有１ａ２＋１ｂ２＋１ｃ２≥５４Δ．（＝｜△ＡＢＣ为等腰直角三角形）①证明：由ｃｔｇＡ＝２ｂｃｏｓＡ２ｂｃｓｉｎＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２４Δ,及ｃｔｇＢ、ｃｔｇＣ的类似表达式,知①等价... 相似文献
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我们把三边边长成等差数列的三角形叫做等差三角形．它有一个重要的性质如下：定理 在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，若ａ、ｂ、ｃ成等差数列，则有ｔｇＡ２ｔｇＣ２＝１３．证明 由题意知 ２ｂ＝ａ＋ｃ，由正弦定理得 ２ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，∴ ４ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝２ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ－Ｃ２．又∵ ｓｉｎＡ＋Ｃ２≠０，则有２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝ｃｏｓＡ－Ｃ２，即 ２ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２－２ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２＝ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２＋ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２，∴ ３ｓｉｎＡ２… 相似文献
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求异面直线所成角的一种简便方法冒维玉（江苏省如皋市职业高中２２６５００）立体几何必修本总复习题第３题：图１如图１,ＡＢ与平面α所成的角为θ１,ＡＣ在平面α内,ＡＣ和ＡＢ的射影ＡＢ１成角θ２,设∠ＢＡＣ＝θ,求证：ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２＝ｃｏｓθ．①证明... 相似文献
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用ｓｉｎθ＝ｓｉｎα·ｓｉｎβ解高考试题王国平徐柏英（河南省太康一中４６１４００）如图１所示,ＢＯ是斜线ＢＡ在平面Ｍ内的射影,ＢＣ是平面Ｍ内过点Ｂ的一条射线．若∠ＡＢＯ＝θ,∠ＡＢＣ＝α,平面ＡＢＣ与平面Ｍ所成二面角为β,易证得ｓｉｎθ＝ｓｉｎα·ｓ... 相似文献
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《中学数学教学参考》1998,(12)
倒数方程的一种解法命题１ｘ＝ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ是方程ｘ＋１ｘ＝２ｃｏｓθ的解．代入计算即知,且由棣莫佛定理知命题２若ｘ＋１ｘ＝２ｃｏｓθ,则ｘｎ＋１ｘｎ＝２ｃｏｓｎθ（ｎ∈Ｚ）．由此即知形如ａ０（ｘｍ＋１ｘｍ）＋ａ１（ｘｍ－１＋１ｘｍ－１）＋…＋ａ... 相似文献
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梁增康 《中学数学教学参考》1999,(10)
题目：已知实数ａ、ｂ满足ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,求ａ２－ａｂ＋ｂ２的取值范围．（１９９８年湖北黄冈市初中数学竞赛题）解：令ｋ＝ａ２－ａｂ＋ｂ２,由于ａ２＋ａｂ＋ｂ２＝１,当ａｂ＝０（ａ、ｂ不能同时为零）时,不妨设ａ＝０,则ｂ２＝１,易得ｋ＝１．当ａｂ≠０时,不失一般性,不妨设｜ａ｜≤｜ｂ｜．作等腰△ＡＢＣ,使底边ＡＢ＝２｜ａ｜,高ＣＤ＝｜ｂ｜．设ＡＣ＝ＢＣ＝ｃ,△ＡＢＣ的面积为Ｓ,∠ＡＣＢ＝α,则０°＜α２≤４５°,０°＜α≤９０°,０＜ｓｉｎα≤１,｜ａｂ｜＝Ｓ＝１２·ｃ２ｓｉｎα．（１）若ａｂ… 相似文献
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嵇仲韶 《宁波大学学报(教育科学版)》2000,22(3)
ｓｉｎｎＡ＋ｓｉｎｎＢ＋ｓｉｎｎＣ的下界就一般△ＡＢＣ来说是０,而本文主要就非钝角三角形情况,来探讨幻ｓｉｎｎＡ＋ｓｉｎｎＢ＋ｓｉｎｎＣ的最小值问题． 当ｎ＝１或２的时候,易证所求的下界为２,本文着重于ｎ≥３的情况． 设ｙ＝ｓｉｎｎｘ,则ｙ’＝ｎｓｉｎｎ－１ｘｃｏｓｘ,再求导得： ｙ”＝ ｎ（ｎ－１）ｓｉｎｎ－２ ｘｃｏｓｘ－ｎｓｉｎｎｘ ＝ｎｓｉｎｎ－２ｘ［（ｎ－１）ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ］． 当 ｔｇｘ≤ ｙ”≥０,此时ｙ＝ｓｉｎｎｘ是凸函数,应用有关凸函数性质可知：（１）当ａｒｃｔｇ … 相似文献
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在△ＡＢＣ中,角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ,其内切圆半径为ｒ,现设ａ＝ｘ＋ｙ,ｂ＝ｚ＋ｘ,ｃ＝ｙ＋ｚ,则ｘ、ｙ、ｚ的几何意义如图１所示．显然有ｘ＝ｒｃｔｇＣ２,ｙ＝ｒｃｔｇＢ２,ｚ＝ｒｃｔｇＡ２．（Ⅰ）又半周长ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ｘ＋ｙ＋... 相似文献
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有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,简捷地求得问题的解．一、构造“直线模型”例１已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ＝ - ２３,ｓｉｎα -ｓｉｎβ,求ｃｏｓ（α +β）与ｃｏｓα ＋ ｃｏｓβｓｉｎα ＋ ｓｉｎβ 的值．解 :因为点Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ,ｓｉｎβ)在单位圆ｘ２+ｙ２＝１上．所以直线ＡＢ的斜率ＫＡＢ＝ ｓｉｎα－ｓｉｎβｃｏｓα － ｃｏｓβ＝ - ３４．设直线ＡＢ的方程为 ｙ＝ - ３４ｘ+ｂ ,代入ｘ２+ｙ２＝１得 :２５ｘ２-２４… 相似文献
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复数的三角形式沟通了代数与三角间的联系，从而为用三角知识解决代数问题带来了方便，同样某些三角问题若利用复数知识来解，则别有一番风味．下面试举例说明．１ 用复数表示三角函数设ｚ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，则有－ｚ＝ｃｏｓθ－ｉｓｉｎθ， ｚ·－ｚ＝１．于是可得公式Ⅰ ｃｏｓθ＝ｚ＋－ｚ２＝ｚ２＋１２ｚ，ｓｉｎθ＝ｚ－－ｚ２ｉ＝ｚ２－１２ｉｚ，ｔｇθ＝ｚ２－１ｉ（ｚ２＋１）．又由ｚｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，ｚｎ＝ｃｏｓｎθ－ｉｓｉｎｎθ．因此有公式Ⅱ ｃｏｓｎθ＝ｚｎ＋ｚｎ２＝ｚ２ｎ＋１２ｚｎ，ｓｉ… 相似文献
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正弦定理和余弦定理是解斜三角形的两个常用定理．但是对于某些问题,若运用射影定理解决则更为方便．１定理与证明射影定理在△ＡＢＣ中,ａ、ｂ、ｃ分别是角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边,则有ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢ,ｂ＝ａｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡ,ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ．图... 相似文献
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［题目］如图，正方形ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ的边长都是１，而且平面ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ互相垂直．点Ｍ在ＡＣ上移动，点Ｎ在ＢＦ上移动，若ＣＭ＝ＢＮ＝ａ（０＜ａ＜√２）．（Ｉ）求ＭＮ的长． 相似文献
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郑堂根 《中学数学教学参考》1998,(5)
利用映射解题初探四川省峨眉二中郑堂根一、通过映射,把复杂的代数式变换为简单的代数式,有利于发现问题的实质例１已知数列｛ａｎ｝、｛ｂｎ｝,ａｎ＋１＝ａｎｃｏｓθ－ｂｎｓｉｎθ,ｂｎ＋１＝ａｎｓｉｎθ＋ｂｎｃｏｓθ,且ａ１＝１,ｂ１＝ｔｇθ,求ａｎ、ｂｎ... 相似文献
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三角函数的积化和差公式：ｓｉｎαｃｏｓβ＝１／２［ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）］；ｃｏｓαｓｉｎβ＝１／２［ｓｉｎ（α＋β）－ｓｉｎ（α－β）］；ｃｏｓαｃｏｓβ＝１／２［ｃｏｓ（α＋β）＋ｃｏｓ（α－β）］；ｓｉｎαｓｉｎβ＝－１／２［ｃｏｓ（α＋β）－ｃｏｓ（α－β）］ 相似文献
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定理设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是空间四点,射线ＢＣ与ＡＤ平行移动到它们的端点重合时所成的角作为直线ＢＣ与ＤＡ的夹角,记为（ＢＣ,ＤＡ）,那么：ＡＢ２＋ＣＤ２＝ＡＣ２＋ＤＢ２－２ＢＣＤＡｃｏｓ（ＢＣ,ＤＡ）图１证明如图１,设Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＣＤ的中点,Ｍ为ＡＣ... 相似文献