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性质三角形任意两边的乘积等于第三边上的高与其外接圆直径的乘积. 已知(?)O是△ABC的外接圆,AD是边BC上的高,AE是(?)O的直径. 求证:AB·AC=AD·AE. 证明如图1,连结BE,则有 相似文献
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平面几何教材第二册5.5节例1为: “如图(A)AD是△ABC的高,AE是该三角形的外接圆直径.求证:△ADC∽△ABE.” 相似文献
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翻开数学辅导书或模拟试卷,会发现许多练习题、测试题都直接或间接地用到了人民教育出版社出版的《几何》第三册第36页例2的知识,有的就是它的变形.因此,加深对该例题的理解,有助于我们提高证题能力.一、分析该例题的证题思路例如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC外接圆的直径.求证:AB·AC=AE·AD.简析:求证比例式,首先应考虑构造两个相似三角形,因为以AC、AD、DC为边的三角形为直角三角形,又考虑到AE为直径,故而想到连结BE(或CE),证△ABE∽△ADC(或证△ACE∽△ADB)即可.证明略.二、拓展及练习1.如图2,△ABC内接于⊙O,AB=AC… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2015,(6)
<正>我们知道任意一个三角形都有外接圆,如何求三角形的外接圆的半径呢?其主要方法是构造直角三角形,利用相似三角形、勾股定理等知识求解.一、特殊三角形1.直角三角形例1已知:如图1,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=5,求△ABC的外接圆的半径r.分析:通过判定三角形为直角三角形,易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边.解:因为AB=13,BC=12, 相似文献
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初级中学课本《几何》第二册第85页上有这样一道例题: 命题1 如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径。求证:AB·AC=AE·AD。本题的证明是极为简单的,只须连结BE,由△ABE∽△ADC即得结论。将命题1的条件稍加改变,则有: 命题2 △ABC中,∠A的平分线交BC于D,交外接圆于E(图2)。则AB·AC=AD·AE。以上两个命题告诉我们:三角形中凡关于高。外接圆直径,内角平分线与两边发生联系的某些命题,均可用它们来解决。例1 如图3,△ABC内接于直径为d的圆。设BC=a,AC=b,那么△ABC的高CD等于多少? 相似文献
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再现原题:内地版《几何》三册 P120例1已知:A、B、C 是O上的三个点,AD 是△ABC 的高,AE 是O 的直径.求证:AB·AC=AD·AE.注:1、此题揭示了三角彤的一条重要性:三角形的两边的积等于第三边上的高与外接圆直径的积. 相似文献
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第45届国际奥林匹克数学竞赛(IMO)于2004年7月14-18日在希腊首都雅典举行,我国选手取得了举世瞩目的好成绩,一共6名选手全部夺得金牌. 试题第一题是:已知在锐角三角形ABC中,AB≠AC,以BC为直径的圆分别交AB、AC于M、N点,记BC的中点为O,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交点R,求证:△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上. 本文给出该题的三种证法如下: 相似文献
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在一次高二的数学考试中,我出了这样一个题目:已知H为△ABC的垂心,BC=a,AABC的外接圆半径为R,并且a、AH、2R成等差数列。求证:5a=6R 阅卷时,发现一个学生的解法不仅解法简捷,且有新意.现将他的证明略述如下:作△ABC的外接圆O,并作直径CG.连结AO、BG,易证AHBG是平行四边形。则有 相似文献
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《数理化学习(初中版)》2007,(7)
一、正多边形中的直角三角形例1已知正六边形的半径是6,它的内切圆与外接圆的面积比是.解:正多边形的半径和边心距分别是它外接圆和内切圆的半径,以半径OA、边心距OB,边长的一半AB建立Rt△OAB. 相似文献
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董才强 《数理化学习(初中版)》2011,(8)
2010年5月湖北省武汉市九年级数学调研试卷有这样一道几何试题:如图1,圆O是△ABC的外接圆,AE是圆O的直径,AD是△ABC中BC边上的高,EF上BC,垂足为F.求证:(1)BF=CD;(2)若CD=1,AD=3,BD=6,求圆O的直径. 相似文献
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统编初中平面几何第二册第85页的例1是一道典型的基本例题。其思考方法十分典型。我们把它称为命题1: 已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径。求证:AB·AC=AD·AE。教材上给出了△ABC为锐角三角形的图形,并用三角形相似的办法给出了证明。事实上,△ABC是直角三角形或钝角三角形的情形时,结论仍然成立。另外,用三角形的面积公式和正弦定理也可以证明: ∵BC=2R·sinA=AE·sinA。 相似文献
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刘顿 《中学课程辅导(初三版)》2006,(9):15-15
我们知道,直径所对的圆周角是直角.这一结论在许多几何解题中广泛地运用.求解时通常构造出直径所对的圆周角出来,从而构造直角三角形,然后再利用图形的特征,结合相关的知识求解.下面举几例说明.例1已知:如图1,BE是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高.(1)求证:AC·BC=BE·CD;(2 相似文献
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《数学通报》2003年第4期数学问题1429[1]是: 设O是锐角△ABC的外心,R、1R、2R、3R分别是△ABC、△OBC、△OCA、△OAB的外接圆的半径.求证:1233RRRR?+. 当且仅当△ABC为正三角形时等式成立. 本文将锐角△ABC的外心O换成一般△ABC的内点P,得到如下一个有趣的几何不等式. 定理 设P是△ABC的一个内点,1R、2R、3R分别是△PBC、△PCA、△PAB的外接圆的半径,r是△ABC的内切圆的半径.求证: 1236rRRR?+ 当且仅当△ABC是正三角形且P是其中心时等式成立. 为证明定理,先给出以下几个引理. 引理1 设r正、r分别为面积为定值D的… 相似文献
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2007年第48届IMO第4题是: 在△ABC中,∠ABC的平分张与△ABC的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q. 相似文献
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现行初级中学课本《几何》第二册116页习题二十五的第17题是: △ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证: DE=DB=DC. 这道习题的证明不难(略),它揭示了三角形内角平分线的一个重要性质,我们归结为如下。定理三角形一内角平分线与外接圆的交点到内心的距离与该点到三角形另外两顶点的距离相等。应用这一定理,我们可以使一些难度较 相似文献
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第 45届国际奥林匹克数学竞赛 (IMO)于 2 0 0 4年 7月 14— 18日在希腊首都雅典举行 ,我国选手取得了举世瞩目的好成绩 ,一共6名选手全部夺得金牌 .试题第一题是 :已知在锐角三角形ABC中 ,AB ≠AC ,以BC为直径的圆分别交AB、AC于M、N点 ,记BC的中点为O ,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交点R ,求证 :△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上 .本文给出该题的三种证法如下 :图 1证法 1 如图 1,连结RM ,RN ,MN ,BR ,CR .因为OM=ON ,OR平分∠MON ,所以△OMR≌△ONR ,所以RM =RN ,因为AR平分∠BAC ,所以线段… 相似文献
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由几何第二册P85例1知道,当AD是△ABC的高,AE是△ABC外接圆直径时(如图1),它除了有结论AB·AC=AE·AD外,还可以得到 ∠BAE=∠CAD 或∠BAD=∠CAE, 易证这个结论对任何三角形都成立。于是得:图1 推论 过圆内接三角形的一个顶点的高和直径,分别与过这个顶点的三角形两边所成的角相等. 相似文献