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如果a、b是两个不同的整数,且a>b,那么a-b≥1,或a≥b+1,或a-1≥b。这是关于整数的一个性质,应用它去处理一些与整数不等式有关的问题,可以化难为易,取到出人意料的效果。例1 若自然数m、n满足m+n>mn,试求m+n-mn的值。(1993年北京市初二数学竞赛试题) 解由m、n都是自然数,有m≥1,n≥1,那么 相似文献
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八年级 1.(1)如果存在n个整数,其积为n且其和为零,那么数n能被4整除。 (2)如果自然数n能被4整除,试证必存在n个整数它们的乘积为n,而和为零。 2.证明:对任意的非负数a和b,下述不等式成立 1/2(a+b)~2+1/4(a+b)≥ab~(1/2)+ba~(1/2)。 3.平面上有二个等边三角形A_1A_2A_3和B_1B_2B_3,A_1→A_2→A_3与B_1→B_2→B_3为顺时针方向。 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(14)
对于任意自然数 n,n~2与(n 1)~2之间没有自然数的完全平方数,这是一个非常明显的数学事实.在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时,这一结论有着不可低估的作用.下面以各地数学竞赛试题为例来说明.例1 对于任意自然数 n,试说明,数 n~4 2n~3 2n~2 2n 1不可能是完全平方数. 相似文献
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等差数列和等比数列是高中数学数列一章的重要基础知识.数列综合问题,无论从寻求解题思路、方法及解决途径、过程转化,基本上都要以等差数列和等比数列为蓝本,不断地拓展和延伸相关数学问题.充分运用数学思想方法,在解决问题过程中不断再发现、再创造.下面以“由递推公式求数列通项的范例解法”为例,说明如何运用数学思想方法,有效地设计解决问题.例题:已知数列｛an｝中,a1=65且对任意非零自然数n都有an+1=31an+(12)n+1.求数列｛an｝的通项公式.解一:由an+1=31an+(21)n+1两边同乘以3n+1得,3n+1an+1=3n+1·31an+3n+1·(21)n+1=3nan+(32)n+1设… 相似文献
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易证初等数论中的如下定理:若a,b任Z,则对于任意k任Z有(a,b)=(a,ka+b)。显然,当k二1时,(a,占)=(a,a+今);当k=一1时,(a,b)=(a,a一右).例1.求使分式可以约分的所有l的整数值.(第19届莫斯科数学竞赛) 解只要求出满足(51+6,81十7)>1的所有l的整数值即可.因为 (51+6,81+7)=(51+6,31+1) =(31+1,(一2)(31+1)+51+6) =(31+1,l一4) =(31+].+(一3)(l一4),l一4) =(13,l一4))1由13}l一4,得l=13m+4(m任Z). 例2.证明:任意两个相邻为Fibonacoi数F。,Fn*:(,夕2)是互素的. 证明’:F,=F:=]., F。+z二F。+Fn一x, (F。+1,Fn)=(F。,F。+1一Fn) 二(F。,F。… 相似文献
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李建潮 《河北理科教学研究》2015,(2):40-41
题 已知a＞1,b＞1,c＞1,且a+b+c=9,试证:√a+√b+√c≥√bc+ca+ab(1)(第三届全国大学生数学竞赛预赛题)
这是一道大学生竞赛题,参考解答应用导数给出了她的证明.在数学竞赛辅导中本入向同学们推崇了如下优美的初等证法,现提出来与大家共享. 相似文献
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1986年全国高考试卷中有这么一道题: 已知 x_1>0,x_1≠1,且x_(n+1)=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1)(n=1,2,3…) 求证数列{x_n}或者对任意自然数n都满足x_nx_(n+1)。这题有不少证法,拙作《递推式》(上海科技出版社1989年版)中曾引了五种证法。高考结束后,在一份数学杂志上曾刊登了一则利用反证法的证明。兹将它摘录如下: “证”若设{x_n}对任意的自然数n既不满足x_nx_(n+1),则应满足x_n=x_(n+1)。再由题设可得 x_n=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1) 3x_n~3+x_n=x_n~3+3x_n ∴x_n=0,1,-1。 相似文献
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1。解答下列问题:(1)计算丫s(侧6,丫盛) 一3+侧27; 训8(2)化简sx+4岁 4才一2夕 8 一(x十夕); (3)已知a一b=12. 试求a“+b“一Zab一sa+sb+16的值 (4)试用分数表示循环小数0.108. 2.某整数的2倍大于其5倍后减6的数,且该整数加2时得l以上的数.试求所有适合的整数。 3.二次方程 ‘(‘一5)=6①的解中其大的一解等于二次方程 劣2+(a一3)劣+6“o②的一个解.试求a的值与方程②的解. 4.在下列各题中的空格口处填人适当的答案: (1)二次函数歹=a扩① 的图象叫做应二二二{;砚亘二二时,图象开口向上展开;在鱼一一一)对,开口向下展开;以匡一一立为对称轴,… 相似文献
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《时代数学学习》2003,(Z2)
…||l|人.95 问题求使2”+1能被3整除的一切自然数n. 解根据多项式与多项式的乘法,不难验证 丫一夕一(a一b)(a刀1+a祠b+a间扩+…+的科+犷‘).* 将。一2,b一一1代人上恒等式,得 2月一(一1),一3M,其中M是、式右端中令a一2,b一一1时第二个因式的值.因为a和b是整数,所以M也是整数.于是有 2月+1=2’‘一(一1)”十1+(一1)”一3八左十1+(一l)”. 显然,当n是奇数时2刀十1能被3整除.(如果n是偶数,则2”+1被3除余2) 注也可由2’z一(3一1)”一3M+(一1)”求解. 【问题1 .7~8】4个友好城市A、B、c、D进行乒乓球友谊比赛,每个城市各派甲、乙两个队参加.… 相似文献
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众所周知:mn+m+n+1=(m+1)(n+1) (1) mn-m-n+1=(m-1)(n-1)(2) 利用上述恒等式可以巧解某些竞赛题,下面举例说明: 例1 (1993年北京初中预赛试题)若自然数m、n满足m+n>mn,试求:m+n-mn的值. 相似文献
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在数学竞赛中,经常会遇到这样一类问题:已知一个无理数P,求它的整数部分a与小数部分b,或进一步确定了a和b后再求其他有关代数式的值. 任何一个无理数P一定夹在某两个相邻整数n和n+1之间,即n相似文献
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1.试证:1984可以表为某些i生井自然数证明f限设 1984=l、十(l、+!、干…+(k+n).(空}吸2沁一卜n)(n十卜)二2?·只1.川洁为素炎交.(k2kneN)那么198、!业旦士髻竺卫一,11斗+n二2‘,}二3 1.(])(2)2二31=(Zk+n)(n+1) 2 (l) 21=3 0. 故19 84可自然数的币约两式联立解之.得k二Jg,火表为拍一j不为49.末顶为79的3}个为.46“甲,泞纵与-一-~一...‘匆........‘二.数 2.试证:1984不能表为c:+C己+C乏+…+C公的和。(11任N) 证明根据二项式定理,有 (1+:).=C呈+C二x+C呈x“+…+把!:面的n个等式两边相加.便得 厂n(n+1)、 ]。+2。+3。+…+no=l——I .二… 相似文献
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近几年的数学竞赛题中,出现了满足a_(n+k)=a_n(n,k∈N,k是常数)对所有自然数n都成立的数列{a_n},这样的数列被称作周期数列.一些文章指出:满足f(n)=f(n-1)+f(n+1)的数列{a_n},其中a_n=f(n)(n≥1)是以6为周期的数列;满足a_(n+1)=(1+a_n)/(1-a_n)的数列{a_n}是以4为周期的 相似文献
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题:记〔戈〕为不超过、的最大整数,试 1020 0 00,-·32 00 10工0。 3而32““=(32)’““ 小.「10“““。“1一*,、、。‘_求l而汽味息」的个位数? 此题是美国第四十七届普特南数学竞赛试题中的一道题,此届竞赛于1986年12月6日举行。全部竞赛题及解答刊载于《美国效学月刊》第94卷第8期内(1987年1。月),竺者撰写此文时,尚未见到国内杂志上将此届 32“。10’00 39 1 00<10’““<10‘“” 3所以再证I 32 00/J16而石而久1o102 0 D 00一32 DO确为整数,10主00 3因而也就是最大整数,即我们要证! 102 0 0 00101 00 3l=I10名0 0 00一320“10 3.… 相似文献
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美国第17届普特南数学竞赛有一道题: 设正整数n表为若干个1与2的和(考虑到加数顺序的区别)的各种表示法共有a(n)种,例如4=1 1 2=1 2 1=2 1 1=2 2=1 1 1 1,则a(4)=5.又设n表为大于1的整数的和(也考虑到加数顺序的区别)的各种表示法的总数是b(n),例如6=4 2=2 4=3 3=2 2 2,有b(6)=5 试证:对每一个n,a(n)= b(n 2) 本文给出两种新颖的证法. 相似文献
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目前 ,一元二次方程整数根问题已成为各级各类竞赛不可缺少的试题 .它解法灵活、技巧性强 ,常使学生颇感棘手 ,本文仅以竞赛题为例介绍一些常用的解题思路和方法 .一、利用整数的性质例 1 (希望杯数学竞赛题 )已知 p为质数 ,且方程x2 + px - 44 4p =0有两个整数根 ,求 p的值 ( )解 :设 m ,n为原方程的两个根 ,则m + n =- pmn =- 44 4p =- 2 2× 3× 37p∵ p为质数 ,且 m n =- 2 2× 3× 37p,则 p必为 m或 n的约数 ,又 m + n =- p,则 p同为 m、n的约数 .又∵ m n =- 2 2× 3× 37p,∴ p的可能取值为 2 ,3,37.将 p =2 ,3,37分别代入原方… 相似文献
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范浙杨 《中学数学研究(江西师大)》2006,(12):44-47
在各类数学竞赛中,整数解问题一直是个热点,它将古老的整数理论与传统的方程知识相结合,问题牵涉的知识面比较广、解法灵活、综合性强,因此,倍受关注.本文以近两年各级各类竞赛题中的整数解问题为例,介绍整数解问题的求解方法.一、因数分解例1(江苏省第十九届初中数学竞赛初三年级二试试题)已知整数 x,y 满足x~(1/2) 2y~(1/2)=(50)~(1/2),那么整数对(x,y)的个数是(). 相似文献