用a b≥2(ab)~(1/2)(a≥0,b≥0)巧解物理题三例     

《物理教学探讨》2004,(24)

同学们,在初中学习中,有一些物理题,特别是求极值问题,若用a b≥2ab~(1/2),(a≥0,6≥0)来解决,比配方法,二次函数法等更方便,更快捷,可达到事半功倍之效果。1简单证明a b≥2ab~(1/2)因为(a~(1/2)-b~(1/2))2≥0,所以a b-2ab~(1/2)≥0。即a 6≥2ab~(1/2),(a≥0,6≥0,且a=b时,  相似文献   

一道常见不等式的证明     

陈文政 《数学教学通讯》2001,(6):29-29

题目:已知a、b∈R~ 且a b=1,求证(d 1/a)(b 1/b)≥(25)/4.本文给出该不等式的5种证明.证法1:(分析法)欲证原不等式成立,只需证4(a~2 1)(b~2 1)≥25ab4a~2b~2 4a~2 4b~2 4≥25ab4a~2b~2 4(a b)~2-8ab 4≥25ab4a~2b~2-33ab 8≥0(ab-8)(4ab-1)≥0  相似文献   

应用a b≥2(ab)~(1/2)中的常见错误     

莫孝柳 《天津教育》1989,(11)

不等式a b≥2(ab)~(1/2)是中学数学中一个用得很广的基本不等式,但在应用中常见一些错误,现举几例. 一、忽视了a b≥2(ab)~(1/2)成立条件而导致的错误例1 设a、b、c为正数,求证(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 错误证法: ∵a b c=(a b-c) (b c-a) (c a-b)>0 ∴(a b-c) (b c-a) (c a-b)≥3((a b-c)(b c-a)(c a-b))~(1/2) 即(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 分析:虽a>0,b>0,c>0,但a b-c,b c-a,c a-b不一定都大于0,而x y z≥3(xyz)~(1/2)的中x、y、z必须都大于0.  相似文献   

(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,((a+b)/2+2/(a+b))~2中谁最大?     

张垚 《数学教学通讯》1983,(6)

1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小?  相似文献   

IMO-36第二题的四种证法     

李德华  胡建生  韩亚军  王满成 《中学数学月刊》1996,(2)

第三十六届国际奥林匹克数学竞赛第二题: 设a、b、c为正实数,且满足a·b·c=1,试证:1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥3/2(1)。(俄罗斯提供) 证法一 由已知条件a·b·c=1,(1)与下面(2),等价:b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥3/2(2),现用含参数基本不等式:a~2 (λb)~2≥2abλ(λ为参数)的变形:a~2/b≥2λa-λ~2b。因而  相似文献   

一道课本复习题的证明及其推广     

戴云芝  凌杏华 《中学数学月刊》1995,(6)

在高中代数《不等式》的一章中,有这样一道复习题。 题“已知a>b>0,求证a~(1/2)-b~(1/2)<(a-b)~(1/2)”。 本文先介绍这个不等式的几种证法,然后对这个不等式作适当的提高和推广。 证法1 (作差比较法) ∵ (a-b)~(1/2)-(a~(1/2)-b~(1/2)) =(a-b-(a~(1/2)-b~(1/2))~2)/ ((a-b)~(1/2) (a~(1/2)-b~(1/2))  相似文献   

“互叠法”证不等式的两个定理     

《中学数学教学参考》2007,(15)

定理1 欲证 P≥Q,只需证 P Q≥2Q.例1 (《数学通报》数学问题解答1602)已知 a,b,c∈R_ ,求证:((a b)/(a c))a~2 ((b c)/(b a))b~2 ((c a)/(c b))c~2≥a~2 b~2 c~2 .证明:不等式可化为P=a~3b~2 b~3c~2 c~3a~2≥a~2b~2c ab~2c~2 a~2bc~2≥Q.P Q=(a~3b~2 ab~2c~2) (b~3c~2 a~2bc~2) (c~3a~2  相似文献   

不等式((a b)/2)≥(ab)~(1/2)的证明和应用     

吴前杰 《中学数学教学》1980,(2)

不等式(a b/2)≥ab~(1/2)(a≥0,b≥0)~*的证明和应用在中学数学教材中占有一定的地位。1980年高考数学复习大纲也列入了这部份内容。对它进行系统的复习,使学生自觉的掌握和运用这个基本不等式,对于解代数、三角、以至几何等有关问题是有一定帮助的。  相似文献   

一道全国竞赛题的多种解法     

李世杰 《中学教研》1989,(5)

1988年全国高中数学联赛第一试最后一题:已知a、b为正实数,且1/a 1/b=1,试证对每一个n∈N, (a b)~n-a~n-b~n≥2~(2n)-2~(n 1)(*) 这个不等式从形式上看较难证明,经过研究,笔者发现它有许多证法,择其简单的四种介绍如下: 证一应用二项式定理,得(a b)~n-a~n-b~n=C_n~1a~(n-1)b C_n~2a~(n-2)b~2 … C _n~(n-1)ab~(n-1) (1)根据组合数性质C_n~k=C_n~(n-k),由(1)得(a b)~n-a~n-b~n=C_n~1ab~(n-1) C_n~2a~2b~(n-2) 十… C_n~(n-1)a~(n-1)b (2)(1) (2)后两边除以2得  相似文献   

一个猜想的证明及拓广     

杨克昌 《数学教学》1990,(1)

在《由基本不等式“a~2+b~2≥2ab”想到的》(见本刊1989年第4期)一文中给出了以下猜想(即原文的命题19): 命题1 设a,b,c为正数,则 (1) a~5+b~+c~5≥a~8bc+ab~8c+abc~8; (2) a~n+b~n+c~n≥a~pb~qc~r+a~qb~rc~p+a~rb~pc~q。其中n∈N,p,q,r为非负整数,且p+q+r=n。我们首先证明这一猜想是成立的。证明 (1)用两种方法证。证法1 由(a~3-b~3)(a~2-b~2)≥0得 a~5+b~5≥a~3b~2+a~2b~3同理 b~5+c~5≥b~3c~2+b~2c~3, c~5+a~5≥c~3a~2+c~2a~3。以上三个不等式相加,并注意到b~2+c~2≥2bc,c~2+a~2≥2ca,a~2+b~2≥2ab,有 2(a~5+b~5+c~5)≥a~3(b~2+c~2)+b~3(c~2+a~2)+c~3(a~2+b~2)≥2a~3bc+2b~3ca+2c~3ab,  相似文献   

利用体积解立体几何题     

卫广彦 《中学数学教学》1983,(1)

和面积在平面几何中的地位相当,体积在立体几何中也有一番妙用。举例说明如下。一利用体积求点到平面的距离例1 长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c,求顶点B_1到截面A_1BC_1的距离。解由题设,长方体AC_1中,AB=a,BC=b,BB_1=c, ∴A_1B=(a~2+c~2)~(1/2),BC_1=(b~2+c~2)~(1/2),A_1C_1=(a~2+b~2)~(1/2) 故cos∠BA_1C_1=((A_1B)~2+(A_1C_1)~2-(BC_1)~2)/(2A_1B·A_1C_1)=(a~2+c~2+a~2+b~2-b~2-c~2)/(2((a~2+c~2)~(1/2))·(a~2+b~2)~(1/2))=(a~2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))sin∠BA_1C_1=(1-(a~4)/(a~2+c~2)(a~2+b~2))~(1/2)=(a~2b~2+b~2c~2+c~2a~2)~(1/2)/((a~2+c~2)~(1/2)·(a~2+b~2)~(1/2))  相似文献   

也谈一个不等式的几何释解     

周才凯 《中学教研》1992,(1)

设a,b,c∈R~ ,求证:(a~2 b~2)~(1/2) (b~2 c~2)~(1/2) (c~2 a~2)~(1/2)≥2~(1/2)(a b c)。此不等式多用代数方法或构造复数来证明,但李建章老师在《中学生教学》上给出了上述不等式的一种几何证明,读后颇有启发。本文打算提供另一种直观的几何证明,供参考。证明:如图,构作一边长为a b c的正方形ABCD,其对角线长AC=2~(1/2)(a b  相似文献   

一些不等式的新证法     

向本清  向红 《中学数学月刊》1996,(7)

在平均值不等式a~2 b~2≥2ab中,当b>0时,有a~2/b≥2a-b。 (当且仅当a=b时等号成立)。下面我们利用这个不等式给出竞赛中的一些不等式的新的证法。 例1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,求证  相似文献   

IMO-36第二试题的推广     

华云  于桂萍  姜卫东  安振平  苏化明 《中学数学月刊》1996,(2)

第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2,  相似文献   

y=arc sin-ax+b/bx+a的导数     

田兆丰  武怀舜  韩同金 《中学数学教学》1984,(3)

全日制十年制学校,高中数学第四册(试用本)教学参考书(人民教育出版社出版,1980年7月第1版)对课本第93页第2题5小题:求y=arc sin(ax+b/(bx+a))的导数的答案是y＇=(1/bx+a)(a~2-b~2/(1-x~2))~(1/2)。这个答案是不正确的。也有将上述答案改为y＇=(1/|bx+a|)((a~2-b~2)/(1-x~2))~(1/2)这个答案仍然不妥。现将我们的看法写出如下。首先对该函数的定义域作一番研究。欲使函数有意义,必须,a、b不同时为零,且  相似文献   

妙用倒数巧解题     

陶余勤 《中学数学教学》1997,(Z1)

由a~2-b~2=1得(a b)(a-b)=1,故(a b)与(a-b)互为倒数,反之亦然。由平方差公式与倒数之间这种特殊联系,易知,(a~(1/2) b~(1/2))与(a~(1/2)-b~(1/2))(a>0,b>0)互为倒数的充要条件是(a~(1/2))~2-(b~(1/2))~2=1。灵活运用这个特性可巧妙迅速解题。  相似文献   

关于a+b+c=0的一组优美结论     

武增明 《中学数学教学参考》2006,(15)

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3  相似文献   

利用不等式取等号的条件来解题     

刘桦 《数学教学通讯》1986,(4)

有些问题利用不等式取等号的条件很容易获得解决。我们先列出几个常见的不等式,然后举例说明之。①a_1 a_2 … a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/2),(a_i∈R~ ,i=1,2,…,n)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。② a~2 b~2 c~2≥ab bc ca,(a,b,c∈R)当且仅当a=b=c时取等号。③ a_i,b_i∈R,=1,2,…,n,a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n≤(a_1~2 a_2~2 … a_n~2)(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)当且仅当a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n时取等号。④ |a±b|≤|a| |b|,(a,b∈R)上式中取加号时不等式取等号的充要条件为ab≥0;取减号时,当且仅当ab≤0时取等号例1 如果四边形ABCD的边a,b,c,d满足a~4 b~4 c~4 d~4=4abcd,试判断四边形ABCD的形状。解据不等式①得 a~4 b~4 c~4 d~4≥  相似文献   

椭圆的一个性质     

刘品德 《中学数学月刊》1998,(11)

椭圆b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2 (O>b>0)位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD里(如图1),矩形ABCD的两条对角线AC,BD与椭圆分别相交于P_1,P_2,p_3,P_4 四点;易求交点坐标为: P_1(-((2~(1/2)))a,-((2~(1/2)b)/2), P_2((2~(1/2)a,-(2~(1/2)b/2)), p_3(2~(1/2))a(2~(1/2)b)), p_4(-2~(1/2)a/2,(2~(1/2)b)b/2)。 则有:  相似文献   

二项式（a＋b）^n展开式寻根     

陈胜  万尔遐 《高中数理化》2007,(6):7-9

1课堂奇遇从(a b)~2说起老师要讲新课——二项式(a b)~n的展开式了．他的提问从初中数学“和的平方公式”开始．题1在二项式(a b)~n中,分别求n=2和n=3的结果．解答根据乘法法则,分别有: (a b)~2=a~2 2ab b~2; (a b)~3=a~3 3a~2b 3ab~2 b~3．  相似文献