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1 分析法分析法就是从题目的结论出发 ,逐步找出使结论成立的原因 ,直到找出所用的原因恰好是题目的已知条件或所学过的定理 ,再按分析的思路从后往前把证题过程写出来 .图 1例 1 如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ａ的平分线ＡＤ交ＢＣ于Ｄ ,⊙Ｏ过点Ａ且与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ、ＡＣ分别相交于Ｅ、Ｆ ,ＡＤ与ＥＦ相交于Ｇ .求证 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ .( 2 0 0 1 ,河南省中考题 )证题思路 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ ＡＦＤＣ=ＧＦＦＣ △ＤＣＦ∽ＡＦＧ(连结ＤＦ) ∠ＣＤＦ =∠ＦＡＤ∠Ｃ =∠ＡＦＧ ＥＦ∥ＢＣ ∠ＥＦＤ =∠ＣＤＦ ∠ＥＦＤ =… 相似文献
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林同坡 《中学数学教学参考》2000,(9)
《中学数学教学参考》1 999年第 1 2期第 1 8页之例 3,是一道几何证明题范例 ,但原文是利用很复杂的三角恒等式来解决的 .下面给出该例题之简短几何证明 ,供读者参考 .原题 已知ＡＢＣＤ是正方形(图 1 ) ,在ＢＣ边上任取一点Ｅ ,又ＡＦ平分∠ＤＡＥ交ＣＤ于Ｆ .求证 :ＡＥ =ＢＥ ＤＦ .几何证法 :以Ａ为轴心 ,将△ＡＤＦ旋转 90°到△ＡＢＧ的位置(图 2 ) .显然 ,Ｇ点在ＣＢ的延长线上 .设∠ＤＡＦ =α ,则∠ＤＦＡ =90° -α ,且∠ＦＡＥ=α .但∠ＦＡＧ =90°,故∠ＥＡＧ=90° -α .而∠ＢＧＡ =∠ＤＦＡ ,因此∠ＢＧＡ =∠ＥＡＧ ,所以… 相似文献
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题目 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .图 1 解法 1 连ＡＨ交ＢＣ于Ｄ ,过Ｏ作ＯＰ⊥ＢＣ于Ｐ ,连ＡＰ交ＯＨ于Ｇ .设⊙Ｏ的半径为Ｒ ,连ＡＯ、ＢＯ ,则ＡＯ =ＢＯ =Ｒ .由∠Ａ =6 0°,知∠ＢＯＰ =12 ∠ＢＯＣ =6 0° ,ＯＰ= 12 ＢＯ =12 Ｒ .由欧拉定理 ,知Ｇ为△ＡＢＣ的重心 ,且 ＯＰＡＨ =ＰＧＧＡ=12 ,故ＡＨ =2ＯＰ =Ｒ .设∠ＢＡＯ =α ,由∠ＡＯＢ2∠Ｃ ,知∠ＢＡＯ =90° -∠Ｃ ,且∠ＨＡＣ… 相似文献
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一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,∠Ａ =32°,那么∠Ｂ =.(2 0 0 1年广西壮族自治区中考题 )2 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,若锐角Ａ的平分线与锐角Ｂ的邻补角的平分线相交于点Ｄ ,则∠ＡＤＢ =. (2 0 0 1年河北省中考题 )3 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =∠Ｃ ,ＦＤ⊥ＢＣ ,ＤＥ⊥ＡＢ ,∠ＡＦＤ =15 8° ,则∠ＥＤＦ =度 . (2 0 0 1年天津市中考题 )4 长度为 5ｃｍ ,7ｃｍ ,10ｃｍ的三条线段能否组成三角形 ?答 :.(2 0 0 1年山东省滨州市中考题 )图 1图 2 5 如图 2 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ在ＡＢ的延长线上 .若∠ 1=6 0° ,∠ 2 =5 0°,则∠Ａ… 相似文献
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《中学生理科月刊》2001,(12)
一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,若∠Ｃ =90° ,ＡＣ =2 ,ＢＣ =1 ,则ｔｇＡ =.2 化简ｃｏｓ 30° -ｓｉｎ 30°ｔｇ 4 5° +ｔｇ 6 0° 的结果是 .3 在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ＡＣ =8,ｓｉｎＡ =35 ,则ＢＣ =,ＡＢ =.4 在⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ与弦ＣＤ相交于点Ｅ ,当ＡＢ、ＣＤ满足条件时 ,必有ＣＥ =ＥＤ .5 如图 1 ,在⊙Ｏ中 ,若∠ＡＣＢ =1 4 0° ,则∠ＯＡＢ =.6 如图 2 ,在⊙Ｏ中 ,若劣弧ＤＥ的度数是 6 0° ,则∠Ｂ +∠Ｃ =.7 如图 3,Ｐ是⊙Ｏ外一点 ,ＰＯ交⊙Ｏ于Ａ ,ＰＣ切⊙Ｏ于Ｃ .若ＯＰ =1 0 ,ＰＣ =8,则ＯＡ =.8 如图 4 ,ＰＴ切… 相似文献
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《中学教与学》2002,(10)
一、1.23 2 .(ａ -ｂ + 1) (ａ -ｂ - 1) 3.6 4 .ｙ2 -ｙ - 2 =0 5 .1<ｄ <9 6 .12 5 % 7.4 5ｍｍ 8.392ｘ - 392ｘ + 4 0 =1 9.ｙ =90ｘ 10 .2 6二、11.Ｄ 12 .Ｃ 13.Ｂ 14 .Ａ 15 .Ｃ 16 .Ａ 17.Ｂ 18.Ｄ 19.Ｃ 2 0 .Ｂ三、2 1.6 .2 2 .在梯形ＡＢＣＤ中 ,∵ＡＢ∥ＣＤ ,ＡＤ =ＢＣ ,∴ＡＣ =ＢＤ .∵ＤＣ =ＣＤ ,∴△ＡＤＣ≌△ＢＣＤ .∴∠ＡＣＤ =∠ＢＤＣ .故ＯＤ =ＯＣ .图 1四、2 3.如图 1,连结ＰＯ并延长 ,交⊙Ｏ于点Ｃ、Ｄ .根据切割线定理的推论 ,有ＰＡ·ＰＢ =ＰＣ·ＰＤ .∵ＰＢ =ＰＡ +… 相似文献
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下面举例说明圆幂定理在几何证题中的常见应用 .一、证明两条线段相等例 1 如图 1 ,已知ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别是△ＡＢＣ三边上的高 ,Ｈ是垂心 ,ＡＤ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｇ .求证 :ＤＨ =ＤＧ .( 1 997年甘肃省中考题 )分析 由相交弦定理有ＤＧ·ＤＡ =ＢＤ·ＤＣ ,即ＤＧ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .从而 ,欲证ＤＨ =ＤＧ ,只须证ＤＨ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .为此 ,只须证△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ .证明 如图 1 ,由已知有∠ 1 ∠ 3=90°,∠ 2 ∠ 4 =90°.∵ ∠ 3=∠ 4 ,∴ ∠ 1 =∠ 2 .∵ ∠ＡＤＢ =∠ＣＤＨ =90°,∴ △ＡＢＤ∽△ＣＨＤ… 相似文献
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一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.如图 1,四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形 ,∠ＡＢＣ =115° .那么 ,∠ＡＯＣ等于 ( ) .(Ａ) 115° (Ｂ) 12 0° (Ｃ) 130° (Ｄ) 135°图 1图 22 .如图 2 ,以ＢＣ为直径 ,以Ｏ为圆心作半圆 ,点Ａ、Ｆ把半圆三等分 ,ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ ,且ＢＣ =12 .连结ＢＦ交ＡＤ于点Ｅ .则ＡＥ的长为 ( ) .(Ａ) 2 3(Ｂ) 33(Ｃ) 3(Ｄ) 32 33.已知Ｒｔ△ＡＢＣ外切于⊙Ｏ ,∠ＡＣＢ =90° ,∠ＢＯＣ =10 5° ,ＢＣ =2 0ｃｍ .那么 ,Ｒｔ△ＡＢＣ的面积是( ) .(Ａ) 180 3ｃｍ2 (Ｂ) 2 0 0 3ｃｍ… 相似文献
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一、填空题 (每小题 2分 ,共 32分 )1 .计算 :| - 9| - 5=.2 .将 2 0 76 70保留三个有效数字 ,其近似值是 .3.如果一个角的补角是 1 50°,那么 ,这个角的余角是 .4 .计算 :ａ3÷ａ·1ａ=.图 15.如图 1 ,ＡＢ∥ＣＤ ,直线ＥＦ分别交ＡＢ、ＣＤ于Ｅ、Ｆ ,ＥＧ平分∠ＢＥＦ .若∠ 1 =72°,则∠ 2 =度 .6 .函数ｙ =3- 3-ｘｘ - 2 的自变量ｘ的取值范围是 .7.已知ｙ与 ( 2ｘ + 1 )成反比例 ,且当ｘ =1时 ,ｙ =2 .那么 ,当ｘ =0时 ,ｙ =.图 28.如图 2 ,Ｐ是正方形ＡＢＣＤ内一点 ,将△ＡＢＰ绕点Ｂ顺时针方向旋转能与△ＣＢＰ′重合 .若ＰＢ =3,则… 相似文献
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对于某些几何证明问题 ,同学们可以从线段垂直平分线入手 ,常可找到解决问题的捷径。一、直接利用已知的线段垂直平分线图 1.例 1 如图 1,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＥＦ是ＡＤ的垂直平分线交ＡＤ于Ｅ ,交ＢＣ的延长线于Ｆ ,连ＡＦ ,求证 :∠Ｂ =∠ＣＡＦ证明 :∵ＥＦ是ＡＤ的垂直平分线∴ＦＡ =ＦＤ ∠ＦＤＥ =∠ＦＡＥ∴∠Ｂ +∠ 1=∠ＣＡＦ +∠ 2∵∠ 1=∠ 2∴∠Ｂ =∠ＣＡＦ .二、挖掘利用隐含的线段垂直平分线例 2 如图 2 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＣＥ⊥ＡＤ于Ｏ ,ＣＥ是∠ＤＥＦ的平分线 ,求证ＥＦ∥ＢＣ .图 2证明 :在△ＡＥＯ和… 相似文献
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全等三角形是能够完全重合的两个三角形 ,它们的对应边相等 ,对应角相等 .巧用这两个相等 ,可顺利地解答一些几何求值和证明问题 .例 1 如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ=ＢＣ ,ＡＥ是ＢＣ边上的中线 ,过Ｃ作ＣＦ⊥ＡＥ ,垂足是Ｆ ,过Ｂ作ＢＤ⊥ＢＣ交ＣＦ的延长线于Ｄ ,ＡＣ =1 2 .求ＢＤ的长 . ( 1 997年浙江省中考题 ) 解 ∵ ∠ＡＣＢ =90°,ＣＦ⊥ＡＥ于Ｆ ,∴ ∠ 1 =90° -∠ 3=∠ 2 .在△ＤＢＣ和△ＥＣＡ中 ,∵ ∠ＤＢＣ =∠ＥＣＡ =90° ,ＢＣ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴ △ＤＢＣ≌△ＥＣＡ .∴ ＢＤ =ＣＥ .∵ Ｃ… 相似文献
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20 0 2年全国高中数学联合竞赛于 2 0 0 2年 1 0月 1 3日结束 ,许多读者于一周之内寄来加试题的解答 ,其中诸多证明方法或解法相同或相近 .现根据来稿先后及解法特点整理如下 .图 1第一题 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .解法 1:连ＯＢ、ＯＣ ,并设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .由三角形外心性质知∠ＢＯＣ =2∠Ａ =12 0° .由垂心性质知∠ＢＨＣ =180° -∠Ａ =12 0° .所以 ,Ｂ、Ｃ、Ｈ、Ｏ四点共圆 .由… 相似文献
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题目 给定正△ＡＢＣ ,Ｄ是ＢＣ边上任意一点 ,△ＡＢＤ的外心、内心分别为Ｏ1、Ｉ1,△ＡＤＣ的外心、内心分别为Ｏ2 、Ｉ2 ,直线Ｏ1Ｉ1与Ｏ2 Ｉ2 相交于Ｐ .试求 :当点Ｄ在ＢＣ边上运动时 ,点Ｐ的轨迹 .该题是 2 0 0 1年中国数学奥林匹克国家集训队选拔考试第 5题 .笔者发现在解答中 ,当证得ＰＤ⊥ＢＣ这一几何关系后 ,在上述已知条件情况下 ,图形中的点、角、边及面积关系 ,可有如下 5个结论 .结论 1 Ｉ1Ｉ22 =Ｏ1Ｉ21+Ｏ2 Ｉ22 .证明 :由∠ＡＯ2 Ｄ =2∠Ｃ =1 2 0°,∠ＡＩ2 Ｄ=90°+ 12 ∠Ｃ =1 2 0°,∠Ｂ =60°知Ｏ2 、Ｉ2 均在图 1… 相似文献
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一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.① 再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.② 比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ… 相似文献
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贾玉友 《中学数学教学参考》2001,(9)
定理 Ｈ为三棱锥Ａ ＢＣＤ底面的重心 ,Ｇ为ＡＨ上的点 ,且 ＡＧＡＨ =ｋ ,△Ｂ′Ｃ′Ｄ′为过Ｇ的任一截面 (如图 ) ,则ＡＢＡＢ′ ＡＣＡＣ′ ＡＤＡＤ′=3ｋ .证明 :如图 ,Ｈ为△ＢＣＤ的重心 ,则ＶＡ ＢＨＣ =ＶＡ ＣＨＤ =ＶＡ ＤＨＢ=13 ＶＡ ＢＣＤ.∵ ＶＡ Ｂ′ＧＣ′ＶＡ ＢＨＣ=ＡＢ′·ＡＣ′·ＡＧＡＢ·ＡＣ·ＡＨ =ＶＡ Ｂ′ＧＣ′13ＶＡ ＢＣＤ,ＡＧＡＨ=ｋ ,∴ ＶＡ Ｂ′ＧＣ′ＶＡ ＢＣＤ=ｋ3·ＡＢ′·ＡＣ′ＡＢ·ＡＣ ,同理可得类似的两个等式 .三式相加 ,有ＡＢ′·ＡＣ′·ＡＤ′ＡＢ·ＡＣ·ＡＤ =ＶＡ Ｂ′Ｃ′Ｄ… 相似文献
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周麦常 《中学数学教学参考》2000,(5)
杠杆的平衡原理是 :动力×动力臂 =阻力×阻力臂 .应用这个原理可把线段之比转化为受力大小之比 .采用这种转化 ,不添加辅助线 ,便可巧妙、简捷地解答有关求线段比的国内外竞赛题 .如图 1,设ＡＯＢ是以Ｏ为支点的平衡杠杆 ,Ａ、Ｏ、Ｂ三点受力大小分别为ＦＡ、ＦＯ、ＦＢ,则有 ＦＡ·ＡＯ =ＦＢ·ＢＯ ,即 ＡＯＢＯ =ＦＢＦＡ.又 ＦＯ=ＦＡ ＦＢ,故 ＡＯＡＢ=ＦＢＦＯ , ＡＢＯＢ=ＦＯＦＡ.现特选几例说明 .例 1 ＡＤ是△ＡＢＣ的中线 ,Ｅ是ＡＤ上的一点 ,ＢＥ与ＡＣ相交 ,交点为Ｇ ,且ＡＥ∶ＥＤ =1∶3 ,则ＡＧ∶ＧＣ = .( … 相似文献
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等腰三角形是特殊的三角形 ,在解 (证 )题时 ,若能根据已知和图形特点 ,巧妙地构造等腰三角形 ,利用等腰三角形的性质来解决问题 ,将会取得事半功倍的效果 . 一、由“线段的和差”构造等腰三角形例 1 如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＡＢ +ＢＤ =ＡＣ .求∠Ｂ∶∠Ｃ的值 . 解 延长ＡＢ至Ｅ ,使ＢＥ =ＢＤ ,连结ＤＥ ,则△ＢＥＤ是等腰三角形 .∴ ＡＣ =ＡＢ +ＢＤ =ＡＢ +ＢＥ =ＡＥ .∴ △ＡＤＥ≌△ＡＤＣ .∴ ∠Ｅ =∠Ｃ .∵ ∠ＡＢＣ =2∠Ｅ ,∴ ∠ＡＢＣ =2∠Ｃ ,即∠ＡＢＣ∶∠Ｃ =2∶1 .图 1图 2 二、由“二… 相似文献
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定理 1 设Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上的点 ,且 ＡＤＤＢ =ｘ ,ＡＥＥＣ =ｙ(ｘ、ｙ∈Ｒ+ ) ,ＢＥ、ＤＣ交于点Ｇ ,连结ＡＧ交ＢＣ于点Ｆ .则(1) ＢＦＦＣ =ｙｘ ; (2 ) ＡＧＧＦ =ｘ +ｙ ;(3)Ｓ△ＤＥＦ =2ｘｙ(1+ｘ) (1+ｙ) (ｘ +ｙ) Ｓ△ＡＢＣ.证明 (1) ＢＦＦＣ =Ｓ△ＡＢＧＳ△ＡＣＧ =Ｓ△ＡＢＧＳ△ＧＢＣＳ△ＡＣＧＳ△ＧＢＣ =ＡＥＥＣＡＤＤＢ=ｙｘ .(2 ) ＡＧＧＦ =Ｓ△ＡＢＧＳ△ＧＢＦ =Ｓ△ＡＧＣＳ△ＧＦＣ =Ｓ△ＡＢＧ+Ｓ△ＡＧＣＳ△ＧＢＣ =Ｓ△ＡＢＧＳ△ＧＢＣ +Ｓ△ＡＧＣＳ△ＧＢＣ =ｘ +ｙ .(3)∵ … 相似文献
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若在任意三角形的各边向外 (内 )作正三角形 ,则它们的中心构成一个正三角形。此即所谓拿破仑定理。本文将该定理弱化为特例 :当△ＡＢＣ退化为一条线段时 ,便有如下命题 :命题 如图 ,Ｃ为线段ＡＢ上任一点 ,△ＡＣＥ、△ＢＣＦ、△ＡＢＤ是正三角形 ,Ｏ1、Ｏ2 、Ｏ3 分别是它们的中心。则△Ｏ1Ｏ2 Ｏ3 是正三角形。证明 延长ＡＥ、ＢＦ交于Ｄ′,连结ＡＯ3 、ＢＯ3 ,ＡＯ1、ＢＯ2 ,延长ＡＯ1、ＢＯ2 交于Ｏ4 ,则Ｏ4 是正△ＡＢＤ′的中心 ,由对称性知 ,四边形ＡＯ3 ＢＯ4 是菱形。连结Ｏ3 Ｏ4 ,由题意知 ,∠Ｏ4 ＡＯ3 =6 0°。故△ＡＯ3 … 相似文献
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一、填空题1 由ｙ =12 ｘ - 16 可以得到用ｙ来表示ｘ的式子ｘ = .2 用科学记数法表示 :0 .0 0 0 0 32 1=.3 ａ2 - 6ａ +=(ａ - ) 2 .4 计算 :2 3 +3- 1+( 1- 14 ) 0 =.5 ( - 0 .5) 1999× 4 999=.图 16 36°7′12″ =° ,12 5°17′ -53°2 8″ =°′″ .7 4点钟的时间 ,钟表上的时针和分针成的角 .8 命题“一个锐角的补角大于这个锐角的余角” ,改写成“如果…… ,那么……”的形式 ,是.9.如图 1,ＡＢ、ＣＤ都是直线 ,ＥＯ⊥ＡＢ于Ｏ ,ＯＦ平分∠ＡＯＤ ,∠ 1=2 0° ,则∠ 2 =,∠ 3= .10 如果一个角是 115°4 5′ ,它的补角的余角是… 相似文献