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《中学数学》(苏州大学)1993年第1期与第5期集锦栏对著名的W.Janous猜测: “设x、y、z都是正数,则有y~2-x~2/z+x+z~2-y~2/x+y+x~2-z~2/y+z≥0”给出了两个简证。现可子以推广,得到: 命题设x、y、z都是正教,m、n均为自然数,则有(y~m-x~m)/(z~n+x~n)+(z~m-y~m)/(x~n+y~n)+(x~m-z~m)/(y~n+z~n)≥0. 下面利用对称思想给出一个巧妙的证法。证明:因为命题中不等式左边是一个关于x、y、z的轮换对称式.所以可设x≥y≥z,于是, 左式=((y~m-x~m)/(z~n+x~n)-(y~m-x~m)/(y~n+z~n))+((z~m-y~m)/(x~n+y~n)-(z~m-y~m)/(y~n+z~n))=(y~m-x~m)·(y~n-x~n)/((z~n+x~n)(y~n+z~n)) +(z~m-y~m)·(z~n-x~n)/((x~n+y~n)(y~n+z~n)) 又对任何自然数p,有a~p-b~p=(a-b)(a~(p-1)+a~(p-2)b+…+b~(p-1))。从而,左式 相似文献
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丁学明 《初中生学习(中考新概念)》2006,(3)
在代数学习中有一类不等式较难证明,但是这类不等式却有明显的几何意义,因此,可以构造几何图形来证明这类代数不等式.下举几例,供大家参考.一、构造三角形证明不等式例1设x、y、z均为正数,求证:!x2 xy y2 !y2 yz z2>!z2 zx x2.证明:构造图1所示的三角形,使AO=x,BO=y,CO=z,∠AOC=∠AOB=∠BOC=120°.由余弦定理,有AC2=x2 z2-2xzcos120°→AC=!z2 zx x2,AB2=x2 y2-2xycos120°→AB=!x2 xy y2,BC2=y2 z2-2yzcos120°→BC=!y2 yz z2.∵AB BC>AC,∴!x2 xy y2 !y2 yz z2>!z2 zx x2.二、构造长方形证明不等式例2设a、b、c、d都是正数,… 相似文献
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有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z 相似文献
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证明某些不等式时 ,若能恰当、灵活地运用好“1”,常常能使证明过程简捷、明了而且事半功倍 .本文将举例说明用“1”证明不等式的七种常用技巧 .1 替换“1”用等于“1”的式子直接替换需证明的不等式中的“1”.例 1 设 x,y,z∈ R ,x y z=1,求证 :1x 4y 9z≥ 36 .分析 ∵左边 =1x 4· 1y 9· 1z= x y zx 4(x y z)y 9(x y z)z= 14 (yx 4xy) (4 zy 9yz) (9xz zx)≥ 14 2· 2 2· 6 2· 3=36 ,∴原不等式得证 .2 借用“1”借用与“1”相关的式子去表示需证的不等式中的变量 ,或借用需证的不等式左、右两边的… 相似文献
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本刊1992年第六期《“配偶”技巧的应用》一文中的例1如下,设x、y、z是正数,求证: (y~2-x~2)/(z x) (z~2-y~2)/(x y) (x~2-z~2)/(y z)≥0 (1) 上述这个不等式的背景实际上称作W Janous猜想,在《数学通讯》1992年第4期上作为数学难题刊载出来,据供题人称,此题选自《Crux》1612(即加拿大《数学难题》杂志) 由本刊及《数学通讯》上给出的两种证法实际上是同一种方法,显得繁琐。由此,我们不禁要问,对于一些分式不等式的证明,是否一定要实施通分或用排序原理等手段来完成呢?有无更好的一些方法?回答是肯定的。本文拟介绍一种较为简洁而又实用的分母置换证法,以供教学中参考。我们先以证明W.Janous猜测为例。如若 相似文献
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一个不等式的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
文 [1 ]提出一个猜想不等式 :设 x,y,z∈ ( 0 , ∞ ) ,则有xx y yy z zz x≤ 322 . ( 1 )文 [2 ]应用导数给出了证明 ,文 [3]又给出其下界估计xx y yy z zz x>1 . ( 2 )现将其推广 :设 x,y,z∈ ( 0 , ∞ ) ,n≥2 ,则有1 xx y,yy z>yy z,n zz x>zz x,所以n xx y n yy z n zz x>xx y yy z zz x>xx y z yy z x zz x y=1 .再证右端 .当 n=2时 ,由 ( 1 )知 ,不等式 ( 3)显然成立 .现设 n>2 ,… 相似文献
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1999年加拿大数学奥林匹克竞赛有这样一道题目 :令 x,y,z是满足 x y z=1的非负实数 .证明 :x2 y y2 z z2 x≤ 42 7,并求不等式成立的条件 .简证 由于不等式是关于 x,y,z轮换对称的 ,故可设 x≥y≥z,从而 x2 y y2 z z2 x≤ x2 y 2 xyz=xy(x 2 z) =12 x· 2 y· (x 2 z)≤ 12 (x 2 y x 2 z3 ) 3=12 [2 (x y z)3 ]3=12 × (23) 3 =42 7.等号在 x=2 y=x 2 z时成立 ,即 x=23,y=13,z=0时成立 .若条件不变则结论可推广为 :xnym ynzm znxm≤ nn· mm(n m) n m(n>m,n,m∈ N) .证明 推广后的不等式仍是关于 x,y,z的轮换对称… 相似文献
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引例已知:x:y:z=1:3:10,求(3x-y z)/(x y 5z)的值。解:已知x:y:z=1:3:10, 即x/1=y/3=z/10, 设x/1=y/3=z/10=k(k≠0),则 x=k,y=3k,z=10k ∴(3x-y z)/(x y 5z)=(3k-3k 10k)/(k 3k 50k)=4/27 本题还有其他解法(从略),这里采用的“设比值”,是解决此例问题的一个常规方法。运用恰 相似文献
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《中学数学教学》有奖解题擂台(82)为:设x、y、z是正实数,满足x~2 y~2 z~2=1,n是正整数,证明或否定:1/(1-x~(2n)) 1/(1-1y~(2n)) 1/(1-z~(2n))≥(n n1)~(1 1/n)(1)这个不等式是成立的,本文给出证明.证明当n=1时,由已知及均值不等式(1)式左端=1-1x2 1-1y2 1-1z2=y21 z2 z2 1x2 x 相似文献
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安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 3年第 7期《一个三角形中的不等式》一文中给出了不等式 :命题 1 在△ ABC中 ,三边长 a,b,c,则a - b ca b- c ab c - a bc ≤ 3. ( 1 )现在给出 ( 1 )左式的下界 :命题 2 在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则 a - b ca b- c ab c - a bc >2 . ( 2 )证明 设2 x =a - b c,2 y =b- c a,2 z =c- a b则a =x y,b =y z,c=z x,且 x,y,z >0 .∴ a - b ca b - c ab c - a bc=2 xx y 2 yy z 2 zz x= 2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y z yy z x zz x y) =2 .这个… 相似文献
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一个不等式的下界估计 总被引：2，自引：0，他引：2
文 [1]提出了如下猜想 :设 x,y,z∈R ,则xx y yy z zz x≤ 322 .1文 [2 ]中运用均值不等式和导数知识证明了 1式 .笔者将给出 1的左式的下界估计 :设 x,y,z∈R ,则xx y yy z zz x>1. 2证明 记 M=max{ x y,y z,z x} ,则有xx y yy z zz x>xM yM zM=(x y z ) 2M=(x y z) 2 (xy yz zx)M>x y zM >1.另证 xx y yy z zz x>xx y z yx y z zx y z=(x y z ) 2x y z=1 2 xy 2 yz 2 zxx y z >1.当 x→ 0 ,y→ 0时 ,2的左式→ 1.这说明常数 1是不等式 2的最佳下界一个不等式的下界估计@安振平$陕西省永寿县中学!7134001 刘保乾.试谈发现三… 相似文献
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W·Janous不等式新证 总被引：1，自引：0，他引：1
兰二2兰千兰二三兰X月一y y.十Z斗"设x、y、z任R千,求证:宜二z十妻0. 此不等式即为W·Ianou:的猜测不等式,许多数学刊物上曾介绍了这一猜测的多种证法,这里笔者再给出一种非常简明的证法. 证明:设少一扩一a,尸一少一b,则尹一扩~一(a b). 一X 倪一上. 一Z 一一 Z一Z津一y X一,‘ bx y22一夕2x y一。·(一共一卫一 艺州片工y门一z) b· llx yy z,,上共二,, b叹z十x八y十z)aZ b·(a b)Z—X(x y)(y z)(x y)(少 二)(z十x) 1,、,.3,,气a一卜-只户口)一~十一厂O“ 乙住(二 y)(〕, z)(z x)x,夕,二任R ,.’.(x 夕)(J, 二)(二 了)>0,于是yZ护… 相似文献
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题目:设x+y+z=xyz,(x>0,y>0,z>0)求证:2(x2+y2+z2)-3(xy+yz+xz)+9≥0文[1]中用三角函数知识来证明,且证明繁琐,文[2]用换元的方法,然后利用第25届IMO试题的结论:若x≥0,y≥0,z≥0,且x+y+z=1,则xy+yz+xz-2xyz≤727来证明也是不简单,实际上利用拙文[3]中提出的证明不等式化齐次的策略可简单地给出证明.证明:因x+y+z=xyz,原不等式等价于2(x2+y2+z2)(x+y+z)-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+9xyz≥02(x3+y3+z3)+2x(y2+z2)+2y(x2+z2)+2z(x2+y2)-3x(y2+z2)-3y(x2+z2)-3z(x2+y2)-9xyz+9xyz≥02(x3+y3+z3)-x(y2+z2)-y(x2+z2)-z(x2+y2)≥0(x+y)(x-y)2+(y+z)(y-z… 相似文献
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段惠民 《中学数学研究(江西师大)》2006,(6):17-18
W.Janous 猜想:设 x、y、z>0,则 (y~2-x~2)/(z x) (z~2-y~2)/(x y) (x~2-z~2)/(y z)≥0 (1)近几年,不少刊物发表文章给出这一猜想的证明和推广形式,其中文[1]的参数形式的推广很有适应性,印命题1 设 x_i∈R~ (i=1、2、…、n),α、β、γ∈R,λ>0,且1-λx_i~γ>0(i=1、2、…、n),则当αβγ≥0时, 相似文献
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一个不等式的正确证明 总被引：1，自引：0，他引：1
贺斌 《中学数学教学参考》2004,(5)
一个不等式 若x ,y ,z≥0 ,xy yz zx =1 ,则1y z 1z x 1x y≥52 ( =|x ,y ,z中一个为0 ,两个为1 ) . ( )据所知,( )式首出文[1 ],然后又见于文[2 ]、文[3 ],但其证明都隐含实质性缩小变量取值范围的错误.下面重予证明.证明:不妨设x≥y≥z≥0 ,由条件知x≥y >0 ,0≤yz≤13 ,x =1 -yzy z ,于是( )式 2 [(x y) (z x) (x y) ( y z) ( y z) (z x) ]≥5 (x y) ( y z) (z x) 2 [(x2 y2 z2 ) 3 (xy yz zx) ] ≥5 [(x y z) (xy yz zx) -xyz] 2 [(x y z) 2 1 ]≥5 [(x y z) -xyz] 2 (x y z) 2 -5 (x y z) 2 5x… 相似文献
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1 巧引参数 例1 已知(x)/(2)=(y)/(3)=(z)/(4),那么(x2-2y2 3z2)/(xy 2yz 3zx)的值等于＿. (1997年"希望杯"初中数学邀请赛初二题) 解设(x)/(2)=(y)/(3)=(z)/(4)=k(k≠0),则x=2k,y=3k,z=4k, 所以(x2-2y2 3z2)/(xy 2yz 3zx)=(4k2-18k2 48k2)/(6k2 24k2 24k2)=(34k2)/(54k2)=(17)/(27). 相似文献