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1.
朱明刚 《成都教育学院学报》2000,(3)
设f(x)=a_x,x∈1[1,+∞],且f(1)=m,(m∈R), f(x+1)=qf(x)+p(x)显然,当x=n(n∈N)时,有f(n+1)=qf(n)+p(n)或a_(n+1)=q_n~a+p(n),当x=1时有f(2)=qf(1)+p(1)=qm+p(1),对(1)式两端关于x求导,可得 相似文献
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本文介绍一种求数列通项的方法——微分积分法。下面举两个例子。例1 已知f(x)是定义在自然数集上的函数,且f(1)=1,对任意的m,n∈N,有f(m+n)=f(n)+f(m)+mn。求f(n)。解:令m=1,则f(n+1)=f(n)+n+1。两边对(n+1)求导:f’(n+1)-f’(n)=1,故f’(n)是公差为1的等差数列,首项f’(1)。∴f’(n)=f’(1)+(n-1),两边对n积分,有f(n)=nf’(1)+1/2n~2-n+C。由条件f(1)=1得到f(2)=3。 相似文献
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读本刊1991年第五期《由一类函数方程确定的周期函数》》,深受启发,特再给出几种由函数方程所确定的周期函数,权作该文的补充。定理1 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+α)+f(x+β)=k (1) (α、β、k均为实常数,α≠β),则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。证明由(1)可知,对(?)x∈R有 f(x+a)=k-f(x+β) 将上式中x换成x-a,则有 f(x)=k-f(x+(β-α)) 反复使用上式,则有 f(x)=k-[k-f(x+2(β-α))] =f(x+2(β-α)) 同理可证 f(x)=f(x-2(β-α)) 则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。定理2 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+a)+f(x+β)=2f(x+(α+β)/2)cosmπ/n(2) (其中α≠β,n为非1自然数,m为非零整数,且n、m 相似文献
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(四川省2011年高考卷(理科)第22题)已知函数f(x)=2/3x+1/2,h(x)=x.(Ⅰ)设函数F(x)=18f(x)-x^2[h(x)]^2,求F(x)的单调区间与极值;(Ⅱ)设a∈R,解关于x的方程lg[3/2f(x-1)-3/4]=2lgh(a-x)-2lg(4-x);(Ⅲ)设n∈N*,证明:f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+…+h(n)]≥1/6. 相似文献
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甘志国 《数理化学习(高中版)》2012,(12):12-14
高考题1:(陕西·文·21)设函数f(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(12,1)内存在唯一零点;(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;(3)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f(x1)-f(x2)|≤4,求b的取值范围.高考题2:(陕西·理·21)设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(12,1)内存在唯一零点; 相似文献
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画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x) 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2018,(6)
<正>一、数列极限与函数的综合例1已知函数y=f(x)为一次函数,f(1)是f(3)和f(7)的等比中项,且f(5)=5,求lim(n→∞)(f(1)+f(2)+…+f(n))/(n2)。解析:设f(x)=kx+b(k≠0),由题意得f2(1)=f(3)f(7)且f(5)=5,即(k+b)2)。解析:设f(x)=kx+b(k≠0),由题意得f2(1)=f(3)f(7)且f(5)=5,即(k+b)2=(3k+b)(7k+b)且5k+b=5,联立得k=2,b=-5,所以f(n)=2n-5,所以{f(n)}是以 相似文献
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一本杂志上刊登过如下一道题目: 题一:设,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(x≤-2).(1)求f~(-1)(x);(2)设a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))(n≥2,n∈N),求a_n;(3)求sum from i=1 to n 1/(a_1+a_i+1)的值该题作为函数与数列的综合题在教学中广为流传,通常简解如下解:(1)函数,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(定义域为x≤—2,值域为y≥0)的反函数为f~(-1)(x)=-(x~2+4)~(1/2)(定义域为x≥0,值域为y≤-2) (2)∵a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))由迭代法得:a_n=-(a_(n-1)~2+4)~(1/2)=-(a_(n-2)~2+2×4)~(1/2)=…=-(a_1~2+(n-1)4)~(1/2)=-(4n-3)~(1/2)(亦可由a_n~2=a_(n-1)~2+4,n=2,3,…n,累加而得) (3) 注意到 a_n~2-a_(n-1)~2=4, 相似文献
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定理nn-1[(m+1)n-1n-1]<∑mi=11niαn-αn-1(α>1,n∈N,n≥2).证明由二项式定理得(α-1n)n=∑nr=0(-1)rCrn1nrαn-r,∵Crn(1n)r-Cr+1n(1n)r+1=Cr+1n(1n)r+1·nr+rn-r≥0,∴Crn(1n)r≥Cr+1n(1n)r+1(当且仅当r=0时等号成立).若n为偶数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-2n1nn-2α2-Cn-1n1nn-1α)+Cnn1nn>αn-αn-1;若n为奇数时,(α-1n)n=αn-αn-1+(C2n1n2αn-2-C3n1n3·αn-3)+…+(Cn-1n1nn-1α-Cnn1nn)>αn-αn-1.2定理的证明(1)∑m… 相似文献
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数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.… 相似文献
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我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数,本文就如何确定抽象函数的周期性通过实例介绍一些技巧,供学习参考。 1 合理赋值 在确定抽象函数的周期时,如果题设条件中含有f(a)=b(a、b为常数)等类似条件时,合理赋以特殊值,常可使问题迎刃而解。 例1: 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,并对任何x∈R均有f(x+2)-f(x)=f(2),则f(x)是以2为周期的周期函数。 分析:因为f(x)是R上的奇函数,所以对一切x∈R都有:f(-x)=-f(x) 又f(x+2)-f(x)=f(2)。 令x=-1,得f(1)-f(-1)=f(2), 即f(1)+f(1)=f(2), 从而f(2)=2f(1)=0 所以f(x+2)=f(x)+f(2)=f(… 相似文献
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张本尧 《郧阳师范高等专科学校学报》1992,(1)
定义.如果对于f(x)的定义域D中的任意x_1,x_2,有f(x_1+x_2)/2≥(≤)则把f(x)叫做D上的上凸(下凸)函数。定理.如果f(x)是D上的上凸(下凸)函数则对于x_1,x_2,…,x_n∈D,n∈N,有f(x_1+x_2+…+x_n)/n≥(≤)f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_k)/n下面我们用凹凸函数的性质证明一类不等式。 相似文献
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在最近笔者所在学校参与的一次高三联考中,出现了如下一道关于函数中双变量的任意与存在混搭的等式问题.题目已知函数f(x)=aln x+x^2+x-2(a∈R).(1)若f(x)在[1,+∞)单调增,求实数a的取值范围;(2)当a=2时,对于任意的λ∈[1,2],存在正实数x1、x2,使得f(x1)+f(x2)=λ(x1+x2),求x1+x2的最小值. 相似文献
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在中学讲授微积分时,应用微积分来解决学生已学过的一些问题,将激发起学生学习的兴趣和积极性,无疑对教学会带来很大的好处,本文用微积分来研究有限级数求和的问题,它可供教师在教学中参考。一、两个公式设有限级数 f(1)+f(2)+…+f(n)=F(n) (1)由(1)可得 F(n)-F(n-1)=f(n) (2)如果函数f(x)与F(x)在x≥0时可求导,并有 F(x)-F(x-1)=f(x) (3)(3)式两端求不定积分,即令G′(x)=F(x),g′(x)=f(x)于是由(3)式,有 G(x)-G(x-1)=g(x)+c (4)由(4)可得一系列等式: 相似文献
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一、选择题(每小题5分,共30分)1.在△ABC中,如果a2+b2=6c2,则(cotA+cotB)tanC的值等于().(A)51(B)52(C)71(D)722.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数.如果对于任意的a、b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a),则函数f(x)().(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数也不是偶函数3.设由正整数有序数对(x,y)组成如下数列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,按x+y的值由小到大的顺序排列,当x+y的则有序数对(m,n)(m、n均为正整数)在该数列中的位置是().(A)第2m+n-1位(B)第2m+n-2位(C)第(m+n… 相似文献