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在许多复数问题中会出现有关 z,z,1z的式子 ,利用这几个复数相对应的点的位置关系解题 ,别有趣味 .设 z=r(cosα isinα) (r>0 ) ,则z=r[cos(-α) isin(-α) ],1z=1r[cos(-α) isin(-α) ].它们的对应点如图 1例 1 已知 z 1z=cos x(x∈R) ,且 | z|≤ 1 ,求 argz的取值范围 .解 先设 | z| <1 ,如图 2 ,此时 z 1z所对应的向量不在 x轴上 ,所以 z 1z ≠cos x,故 | z| <1不可能 ,于是 | z| =1 .令 z=cosθ isinθ(0≤θ<2 π) ,则由z 1z=z z=2 cosθ=cos x,即 cosθ=12 cos x∈ [- 12 ,12 ],所以 θ∈ [- π3 ,π2 ]∪ [4π3… 相似文献
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设复数 z=a b_i对应向量 (?),将它逆时针旋转一个角度θ就得到 z_1=z(cosθ isinθ)所对应的向量(?).现举例说明这一原理的应用. 相似文献
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现行高中课本中有一道练习题:“求1的立方根”。其解法及结果是: 由于1=cos0+isin0,于是1的立方根是cos(2kr+0)/3+isin(2kπ+0)/3,(k=0,1,2)。即1的立方根是1,-1/2+(3~(1/2))/2i,-1/2-(3~(1/2))/2i。-1/2-(3~(1/2))/2i。 相似文献
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解某些无理方程与无理不等式、推导圆锥曲线的标准方程,需要对式子两端施行平方运算,这是大家熟知的。在另一些场合下,这一方法,对于化繁为简,也很有意义,以下,聊举数例说明这种情况。例1 若A=(6~(1/2)+2~(1/2))(3~(1/2)-2)((3~(1/2)+2)~(1/2),试求A。解原式较繁,因之,试探其平方是否可以化简,得: A~2=(6~(1/2)+2~(1/2))~2(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2) =(8+4(3~(1/2)))(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2) =4(3~(1/2)-2)~2(3~(1/2)+2)~2=4 考虑到3~(1/2)<2因而A<0,所以A=-2。例2 求sin15°+cos15°的值。解考虑到:sin~215°+cos~215°=1, 并且2sin15°cos15°=sin30°=1/2 可知: 相似文献
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如图:设石二r:(eoss:+isins,)z:二1:(eoss:+i·5 1 no:)在复平面XOY内所对应的向量分别。乙八 几一一户一.~气,是OP:、0P2,把向量OP:按逆时针方向旋转一个角度02(若e:按逆时针方向绕M旋转粤就得到向量补.’~一’一’r’‘”刁,.一’、2’~”一‘’‘二~ 根据复数乘法:向量M尸所对应的复数为a(eos口一isins)i=a(ieoss+sin6)又因为OP=OM十MP,所以向量O尸所对应的复数为:x+夕s=二(eos口+isino)+a(ieos口+5 in口)二a(eos夕+sins)+a(eoso+sin口)i由复数相等的定义得:<0,就把O尸,按顺时针方向旋转一个角}0:1),再把它的模变为原来的::倍,所… 相似文献
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一、选择题(满分30分,每小题5分) 1.化简(1-2sin20°cos20°)~(1/2)/(cos20°-(1-cos~2160°)~(1/2))得( )。 (A)(1-sin40°)~(1/2) (B)1/(cos20°-sin20°) (C)1 (D)-1 2.设P_1P_2是抛物线x~2=y的一条弦,如果P_1_2的垂直平分线的方程是y=-x 3,则弦P_1P_2所在的直线方程是( )。 相似文献
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1995年全国高考数学试题理科(22)题:求 sin~2 20°+cos~2 50°+sin20°cos50°的值.答案为3/4,又当我们将式中的20°和50°分别换为10°和40°,奇妙地发现 sin~2 10°+cos~2 40°+sin10°cos40°的值仍为3/4,由此引起我们思考:20°,50°,与10°,40°之间有什么关系呢?容易发现等差关系50°-20°=40°-10°=30°.是否有一般性呢?再求 sin~2 19°+cos~2 49°+sin19°cos49°的值.解:原式=1/2(1-cos38°)+1/2(1+cos98°)+sin19°cos49° 相似文献
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(一)填空 1.已知角α的终边过点(7~(1/2),-3),则sin α=____,sosα=____,tgα=____,ctgα=____,seaα=____,cscα=____。 2.3pcos0°+sin30°+(p~2+q~2)cos90°-3pctg225°tg45°的值为____。 相似文献
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统编教材中有棣莫佛定理:设复数z=r(cosθ+isinθ),n∈N,则 z~n=r~n(cosnθ+isinnθ) (1) 利用复数的指数形式可以证明下列等式(证明从略): [r(cosθ+isinθ)]~(-n)=1/r~n[cos(-nθ)+1sin(-nθ)] (2) [r(cosθ-isinθ)]~n=r~n(cos nθ-isinnθ) (3) 下面分五方面举例说明(1)、(2)、(3)的应用。限于篇幅,仅各举一、二例。 (一) 求解复数的乘方。 相似文献
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求复数1+cosθ+isinθ(0<θ<π/2)的辐角主值的习题,很多同学见到这样的题,只能用三角公式去“凑”,若将符号进行一些变化,用这种方法不但很费时,而且也容易出错。下面介绍一种简便的方法,供参考。求复数Z=1+cosθ+isinθ(0<θ相似文献
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安振平 《数学大世界(高中辅导)》2004,(5):35-40
一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1.已知f(x) =1+x21-x2 ,则下列关系中不正确的是 ( )A .f(x) =f( -x)B .f( -x) =f 1xC .f( ｜x｜) =f( -x)D .f( ｜x｜) =f -1x2 .设f:x→x2 是集合A到集合B的映射 ,如果B ={1,2 } ,则A ∩B只可能是( )A .Φ B .Φ或 {1}C .Φ或 {2 }D .{1}3.已知复数z=1+i,复数ω =z2 + 4z-2 ,那么ω的三角形式为 ( )A .2 2 (cos π4+isin π4)B .2 2 (cos3π4+isin3π4)C .2 2 (cos5π4+isin5π4)D .2 2 (cos7π4+i… 相似文献
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复数具有代数形式、三角形式、指数形式等多种表述方式,所蕴含的实际意义是以新的视角、新的途径沟通了代数、三角和几何等内容之间的联系,由此,该知识点是高校自主招生考试(也是高考与数学竞赛)的一个重要内容.
1复数知识
1.1 复数的表示形式与运算
代数形式:z=a+bi(a、b∈R);
三角形式:
z=r(cosθ+i sinθ)(r≥0,θ∈R);
指数形式:z=reiθ(r≥0,θ∈R).
例1 设复数
ω1=-1/2+√3/2i,
ω2 =cos2π/5+isin2π/5.
令ω=ω1ω2.则复数
ω+ω2+…+ω2011=(______).
(2011,复旦大学自主招生考试)
解 显然,ω1=e 2πi/3,ω2 =e2πi/5.
则ω=ω1ω2=e16πi/15.
故ω+ω2+…+ω2011=ω(1-ω2011)/1-ω
而ω2011=ω2010·ω=ω,于是,
ω+ω2+…+ω2011 =ω. 相似文献
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复数是高中数学中涉及面广,知识跨度大的内容,它具有综合代数、三角、几何为一体的特点。是研究图形变换和求轨迹的有力工具,应用十分广泛。要学好复数,除要理解复数有关概念外,还要熟练地掌握出复数解题的常用技巧。 1.利用i的性质 常用下列代换:1=-i~2=i~4,（1±i）~2=±2i, (1±i)~4=-4,1/i=-i,（1 i）/（1-i）=i及b ai=i(a-bi)=-i(-a bi)等。 例1 计算[（5~（1/2） （5i)~（1/2）)~2(3-4i)]/(4 3i) 解 原式=[5 5~（1/2）(1 i)~2(-i)(4 3i)]/(4 3i) =-5(5i)~（1/2）(2i)(1 i)=10 5~（1/2） 10(5i)~（1/2）. 相似文献
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试题 已知复数z的辐角为60°,且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项,求|z|. 《参考答案》给出的解法是设z=r(cos60°+sin60°),则知道复数z的实部为r/2,且有z+z=r,z·z=r2.由题意容易得到|z-1|2=|z|·|z-2|,但要进一步得到(z-1)(z-1)=|z| 却比较困难(从实→虚→较简单 相似文献
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1.用公式求值例1.求tg67°30′的值解一:tg135°/2=(1-135°/1+135°)~(1/2)=(1+cos45°/1-45°)~(1/2) =((1+cos45°)~2/sin~245°)~(1/2)=(1+cos45°)/sin45°解二:tg67°30′=sin135°/1+cos135° =(2~(1/2)/2)/1-2~(1/2)/2=2~(1/2)+1 解三:tg67°30′=1-135°/sin135°=(1+45°)/sin45° =(1+2~(1/2)/2)/2~(1/2)/2=2~(1/2)+1 上面三种解法,以解三为最简便。一般说来,如果α的正弦和余弦都知道,或者α为特殊角,那么,用公式Tα/2=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)求值比较方便,特别用tgα/2=(1-cosα)/sinα最为方便,因为它的分母为单项式。但如果只知道cosα的值,α又不是特殊角,一般说用Tα/2=±(1-cosα/1+cosα)~(1/2)求值好些。 相似文献
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我们先来看一个测验题的解法在△ABC中,求证sin~2A+sin~2B-sin~2C=2·sinAsinB·cosC。证明左边=1/2(1-cos2A)+1/2(1-cos2B)-(1-cos~2C)=cos~2C-1/2(cos2A+cos2B)=cos~2C-cos(A+B)·cos(A-B)=cos~2C+cosC·cos(A-B)=cosC[cosC+cos(A-B)]=cosC2cos1/2(C+A-B)cos1/2(C-A+B)=2cosCcos1/2(180°-2B)cos(1/2)(180°-2A)=2cosCcos(90°-B)cos(90°-A)=2sinAsinBcosC=右边 相似文献
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《中学数学月刊》2000,(8)
一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1)设集合 A和 B都是自然数集合 N,映射 f :A→ B把集合 A中的元素 n映射到集合 B中的元素 2 n n,则在映射 f 下 ,象 2 0的原象是(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5(2 )在复平面内 ,把复数 3- 3 i对应的向量按顺时针方向旋转 π3,所得向量对应的复数是(A) 2 3 (B) - 2 3i (C) 3 - 3i (D) 3 3i(3)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 ,3 ,6 ,这个长方体对角线的长是(A) 2 3 (B) 3 2 (C) 6 (D… 相似文献