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例 1 已知x >0 ,求函数 y =2x2 +3x的值域 .错解 ∵y=2x2 +3x=2x2 +1x +2x≥ 33 2x2 ·1x· 3x=3 3 6.故所求函数的值域为 [3 3 6,+∞ ) .剖析 由于方程 2x2 =1x =2x 无解 ,即等号不能成立 ,故求解错误 .正解 y=2x2 +3x=2x2 +32x+32x≥ 33 2x2 · 32x· 32x=323 3 6.故所求函数值域为 323 3 6,+∞ .例 2 已知 1≤a+b≤ 5 ,-1≤a-b≤ 3 ,求 3a -2b的取值范围 .错解 ∵ 1≤a+b≤ 5 ,①-1≤a-b≤ 3 ,②∴ 0 ≤ (a +b) +(a-b)≤ 8,∴ 0≤a≤ 4,③∴ 0 ≤ 3a≤ 12 ,又∵ 1≤a+b≤ 5 , -3≤-a +b≤ 1,∴ -2 ≤ (a +b) +( -a+b)≤ 6,∴ -… 相似文献
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求有理分函数 y=a1x2 +b1x+c1ax2 +bx+c 的值域 (或最值 )是中学数学中的一个难点 ,由于受到各种资料的影响 ,学生常用一元二次方程根的判别式求解。但由于求解过程中采用了非等价变形 ,易导致解题出错。本文试对这个问题作初步探讨。用一元二次方程根的判别式求函数y =a1x2 +b1x+c1ax2 +bx+c (a≠ 0 ) (1)的值域 ,先作如下变形 :(ay -a1)x2 + (by-b1)x +cy-c1=0 (2 )由于x是实数 ,所以△ ≥ 0 ,即(by-b1) 2 - 4(ay -a1) (cy-c1) ≥ 0 (3)解不等式 (3)即得函数 (1)的值域。其实上述解法 ,求得 (3)中 y的值的集合不… 相似文献
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无理函数 y =mx +n + lax2 +bx +c(mla??綒 0 )的值域已有好多文章通过举例进行了讨论 ,如文 [1]、[2 ]、[3],各自从不同的角度 ,用不同的方法作了分析 ,但没有给出一个通用的结论表达式 .本文通过换元、构造圆锥曲线 ,利用解析的方法分五种情形解决这一问题 .1 a >0 ,b2 - 4ac>0 ,l >0此时 ,函数y =mx +n +lax2 +bx +c的定义域为 {x|x≤x1或x≥x2 } ,其中x1、x2 是方程ax2 +bx +c =0的两个根 ,且x1相似文献
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函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.函数值域依解析式的特点分(1)常见函数值域;(2)简单的复合函数的值域;(3)由常见函数作某些"运算"而得函数的值域.一、直接法利用常见函数的值域来求(1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R,值域为R(2)反比例函数y=k/x(k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};(3)二次函f(x)=ax~2+bx+c(a≠0)的定义域为R,当a>0时,值域为{y|y≥4ac-b~2/4a}; 相似文献
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李素红 《数理化学习(高中版)》2006,(17)
一、配方法如给定函数解析式为二次三项式常用此法.例1求函数y=x2-ax(a为常数),x∈[-1,1]的值域.解:因为y=x2-ax=(x-2a)2-a42.(1)当2a≤-1,即a≤-2时,f(-1)≤f(x)≤f(1),函数的值域为[1 a,1-a];(2)当-1<2a≤0,即-2≤a≤0时,f(2a)≤f(x)≤f(1),函数的值域为[-a42,1-a];(3)当0相似文献
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戴建全 《数学大世界(高中辅导)》2004,(10):24-24
【例1】 已知a>0,b>0且a+b=1,求证a+12+b+12≤2.证明:设x=a+12,y=b+12且x+y=k则射线x+y-k=0与圆弧x2+y2=2有交点,所以|-k|2≤2即|k|≤2.∴a+12+b+12≤2【例2】 已知实数x,y满足(x-3)2+(y-3)2=92,则yx的最大值是 .解:令yx=k,则直线kx-y=0与圆(x-3)2+(y-3)2=92有交点.所以|3k-3|k2+1≤32.整理,得k2-4k+1≤0.解之,得2-3≤k≤2+3.故yx的最大值是2+3.【例3】 求函数y=2-sinx2-cosx的值域.解:令u=cosx,v=sinx,则直线yu-v-2y+2=0与圆u2+v2=1有交点.∴|-2y+2|y2+1≤1整理,得3y2-8y+3≤0.解之,得4-73≤y≤4+73故所求函数的值域为[4-73,4+73… 相似文献
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判别式法是求函数值域的主要方法之一,方程思想在函数问题上的应用。它的理论依是:函数的定义域是非空数集,将原函数看作以y为参数的关于x的二次方程,若方程有数解,必须判别式Δ≥0,从而求得函数的值。因此,判别式法求函数值域的适用范围虽然泛,但又是有条件制约的。一、判别式法的广泛性⑴判别式法不只适用于形如y=x2+b1x+c1x2+b2x+c2(a12+a22≠0)的函数的值域问题。例1:求函数y=x-2-x√的值域。解:由已知得x-y=2-x√∵2-x≥0∴x≤2,又∵x-y≥0∴y≤2y=x-2-x√两边平方,整理得:x2-(2y-x+y2-2=0则解得y≤94又∵y≤2,故原函数的值域为狖y∈R… 相似文献
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一、利用函数的单调性求值域如果y=f(x),x∈[a,b],是单调函数,则由函数的单调性可知y=f(x)的值域为[f(a),f(b)]。例1.已知:y=lg(x+1)+5,x∈[0,99]。求函数的值域。 相似文献
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一、试题呈现设函数f(x)=x2+2ax+a,若函数f(x)与函数f[f(x)]的值域相同,则实数a的取值范围为.第一步:分析f(x)的单调性与最值,易知f(x)在(-∞,-a)上递减,在(-a,+∞)上递增,f(x)min=f(-a)=a-a2,∴f(x)的值域是[a-a2,+∞).第二步:换元分析两函数.设t=f(x),则f[f(x)]=f(t),函数f(t)在t∈(-∞,-a)上递减,在t∈(-a,+∞)上递增,则y=f(t)(t≥a-a2)的值域也是[a-a2,+∞). 相似文献
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问题不等式21≤ax2x+23+x1+b≤121对一切x∈R恒成立,求a、b的值.这是许多数学资料都选为范例或典型练习的一道题,主要解法如下:设y=f(x)=ax2+3x+bx2+1,则21≤y≤121,即函数y=f(x)的值域是[21,121].将y=f(x)变形整理得:(y-a)x2-3x+(y-b)=0,由于原不等式对任意x∈R恒成立,则这个关于x的方程必有实根,Δ≥0,即9-4(y-a)(y-b)≥0,亦即4y2-4(a+b)y+(4ab-9)≤0(※),这个不等式的解为:12≤y≤121,则y1=21,y2=121是方程(※)的两个根,则由韦达定理,得a+b=64ab-94=141ba==15,或ba==15.,这个解法是错误的,举一个反例:取a=b=3,则y=f(x)=3x2x+23+x1+3=3+3… 相似文献
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复习与练习一、填空(每题2分,共28分)1. 多项式-12abx2+4x3-a2b3+3是 次 项式,其中5次项的系数是 .2. 计算: ① (a5)3 ÷a6 = ,② (a - b)3 ·(b - a)4 = .3. (- 3x - 4y) ( ) = 9x2 - 16y2, (-12a - b)2 = .4. (-0.25)2 005 ×161 002 = ; 已知am =2,an =3,则a2m-3n= .5. 若a-b =5,ab =4,则a2 +b2 的值为 ,若x2 +2ax +16为完全平方式,则a = .6. 设(1+ x)2(1- x) = a + bx + cx2 + dx3,则a + b + c + d =图1 .7. 我国北宋时期数学家贾宪在他的著作… 相似文献
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众所周知,绝对值有如下几条简单的性质:(1)若x是小于1的正数,则a≥xa(当且仅当a=0时取等号);(2)a=-a;(3)a+b+c≥a+b+c.本文利用上述几条性质,通过添加系数,简洁求解两道二元函数的最小值,供参考.例1设x和y是任意实数,求表达式2x-y-1+x+y+y的最小值.这是2006年莫斯科大学数学力学系入学考试数学试卷的一道压轴题,文[1]在文末征求简便解法,下面给出一种简便方法. 相似文献
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2004年高考(湖南)数学(文史类)12道选择题中有6道题可以用特殊值法巧解.例1函数y=lg(1-1x)的定义域是()A.邀x｜x<0妖B.邀x｜x>1妖C.邀x｜01妖解析令x=-1,则1-1-1>0,此式有意义;令x=2,则1-12=12>0,此式有意义.选D.例2设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a、b满足()A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0解析依题意可令α=3π4,则直线过点(-1,1),(1,-1).将这两点的坐标分别代入直线方程有-a+b+c=0,①a-b+c=0.②②-①得a-b=0.选D.例3设f-1(x)是函数f(x)=x姨的反函数,则以下不等式中恒成立的是()A.f-1(x)≤2x-1B.f… 相似文献
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正(2012年高考山东卷·理12)设函数f(x)=1x,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,且a≠0)若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是()A.当a0时,x1+x20,y1+y20B.当a0时,x1+x20,y1+y20C.当a0时,x1+x20,y1+y20D.当a0时,x1+x20,y1+y20分析一:令a=-2,b=3,1x=-2x2+3x,因式分解-(x- 相似文献
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一次函数与坐标轴围成的图形的面积问题,在历年中考题中常见,它有两种类型:一是由解析式求与坐标轴围成的图形的面积;二是由围成的三角形面积,求该函数的解析式.现举例如下:例1(2004年泰安市中考题)已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都经过点A(-2,0)、且与y轴分别交于B、C两点,求△ABC的面积.解由题意得-4+a=0,a=4.2+b=0,b=-2.在y=2x+4中,令x=0,则y=4.因此该直线交y轴于点B(0,4).在y=-x-2中,令x=0,则y=-2因此该直线交y轴于点C(0,-2).图1S△ABC=21|OA|·(|OB|+|OC|)=21×2×6=6.练习已知一次函数y=kx+b+6与一次函数y=-kx+b+2的图象交… 相似文献
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一、反函数策略例1求函数y=3-x2x+5的值域.分析此题可用“观察法”,但形如y=ax+bcx+d的值域问题,用反函数法尤为简洁.解函数y=3-x2x+5的反函数为y=3-5x2x+1,而y=3-5x2x+1的定义域为x|x≠-12 ,∴原函数的值域为y|y≠-12 .二、换元策略例2求函数y=2x+41-x姨的值域.分析可将原式2x移至等式左边后,再两边平方,用“Δ法”求解,但是值域范围有可能扩大.若令t=1-x姨≥0,则x=1-t2,从而将原式转化为在限制条件下,即t≥0时二次函数的值域问题.解令t=1-x姨≥0,则x=1-t2,故原式为y=2穴1-t2雪+4t=-2穴t-1)2+4≤4,∴原函数的值域为(-∞,4].三、数形结合… 相似文献
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王金明 《中学生数理化(高中版)》2006,(Z1)
结论1设a、b为常数,则函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x=a+b/2对称的充要条件是:对任意实数x,都有f(a+x)= g(b-x)．证明:(1)充分性:设点P(a+x0,y0)是函数y=f(x)的图象上任意 相似文献
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吴金辉 《数理天地(高中版)》2005,(11)
有很多同学误认为只有一次分式函数才可以用分离常数法求值域,其实不然.形如y=(af(x) b)/(cf(x) d)(a,c≠0) 的函数均可采用分离常数法求值域,函数可化成y=a/c (cb-ad)/(c[cf(x) d]') 如果令t=c[cf(x) d],则只需求出t的范围, 利用函数y=a/c (cb-ad)/t(t是自变量)的单调性,即可求出函数的值域. 相似文献