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解二元一次方程组的基本思想是消元,即化“二元”为“一元”,而消元的方法多种多样.下面仅举一例,介绍几种解二元一次方程组的常用方法.例:解方程组3(x-1)=y+5,5(y-1)=3(x+5) .解法1:代入消元法原方程组可化为3x-y=8,(1)3x-5y=-20.(2 由(1)得:y=3x-8.(3)(3)代入(2),得:3x-5(3x-8)=-20.解得摇x=5,代入(3)得摇y=7.因此,原方程组的解为x=5,y=7 .解法2:加减消元法原方程组可化为3x-y=8,(1)3x-5y=-20.(2 (1)-(2),得4y=28,所以摇y=7.把y=7代入(1)得摇3x-7=8,所以摇y=5.所以摇x=5,y=7 .评注:代入消元法与加减消元法是解二元一次方程组的基本方… 相似文献
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解二元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消元法.同学们在解题时,除熟练运用这两种基本方法外,还应当结合方程组的特征,灵活使用一些巧妙解法,这样不仅可以简化解题过程,提高解题的速度,而且可以养成爱动脑的好习惯.一、整体代入法例1解方程组3x=4y+7,(1)9x-10y=25.(2 简析:由于方程(2)中的9x可化成3×3x,故可视3x为整体,用(1)中的4y+7代换,这样既消去了x,又可避免方程变形之烦.解:将(1)代入(2),得3(4y+7)-10y=25,解之得y=2.将y=2代入(1),得3x=4×2+7,∴x=5.∴原方程组的解是x=5,y=2 二、整体加减法例2解方程组3(x-2y)+4(y+1)=10,… 相似文献
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在解某些数学题时,若已知两个字母a与b的和等于常数2k,我们则可引入参数t,分别用k+t,k-t代换a和b,使解题获得成功,用这种线性代换法解题来得简捷明快,颇具新意。现举例加以说明。例1 求的实数解的组数。解令x=1+t,y=1-t(t是实数),代入得 (1+t)(1-t)-z~2=1, 展开得 z~2+t~2=0,故z=t=0 因此原方程组有唯一的一组解例2 若a>0,b>0,a~3+b~3=2,试证a+b≤2。证明不妨设a+b=2c,显然c>0,我们只需证2c≤2,为此,又设a=c+t,b=c-t(t是实数),把它们代入a~3+b~3=2得c~3+3ct~2=1,即3ct~2=1-c~3, 相似文献
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祁正红 《数理化学习(高中版)》2006,(17)
一、直接法例1已知f(x)=x2(x≥0)x(x<0),g(x)=x(x≥0)-x2(x<0),则x<0时,f[g(x)]为()(A)-x(B)-x2(C)x(D)x2解:当x<0时,g(x)=-x2<0,所以f[g(x)]=g(x)=-x2,选(B).求复合函数的解析式,先求内层函数,再求外层函数,另外,分段函数要注意变量的范围.二、换元法例2已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x).解:令1-cosx=t则cosx=1-t,-1≤1-t≤1,所以0≤t≤2.所以f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t(0≤t≤2)所以f(x)=-x2+2x(0≤x≤2)三、配方法例3f(x-1x)=x2+x12.求f(x).解:f(x-1x)=x2+x12=(x-1x)2+2,所以f(x)=x2+2.四、待定系数法例4已知f(x)=3x-1,f[h(x)]=g(x)=2x+3,h(x)为x… 相似文献
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罗导江 《中学数学研究(江西师大)》2020,(1):55-56
文[1]指出:在中学阶段,求多元函数值域有两个方法,一是转化为一元函数求值域,如z(x,y)=x^2+2y^2/xy=x/y+2·y/x,令x/y=t(令y/y=t也一样),则z(x,y)=φ(t)=t+2/t,求φ(t)=t+2/t值域即可;二是将其中一个元作为自变量,其余元作常量,逐步求一元含参函数的值域,最后求一元函数值域,如z(x,y)=x^2-2xy+2y^2-2y+3,令z(x,y)=φ(x)=x^2-2xy+2y^2-2y+3=(x-y)2+y^2-2y+3,则φ(x)min=φ(y)=y^2-2y+3,又令φ(y)=y^2-2y+3,则φ(y)min=φ(1)=2,即z(x,y)min=z(1,1)=2. 相似文献
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洪恩锋 《河北理科教学研究》2015,(2):47-48
题目:已知函数f(x)=x2+ax+1/x2+a/x+b(x∈R,且x≠0)若实数a,b使得f(x)=0有实根,求a2+b2的最小值.
预备工作:令t=x+1/x,则t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),方程f(x)=0(=)t2+at+b-2=0(|t|≥2).
方法一:(消元法)
解析:a2+b2=a2+(2-t2-at)2=(1+ t2)a2+2(2-t2)t·a+ (2-t2)2=(1+t2)(a-t2-2/1+t2)2+(2-t2)2-(2-t2)2t2/1+t2≥(2-t2)2-(2-t2)2t2/1+t2,令1+t2=m(m≥5)则 t2=m-1 相似文献
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第一周二元一次方程组与代入法求解A组一、填空题1.叫二元一次方程,5x-2y=0的解有组.2.对于方程4x+y=3,用x的代数式表示y的结果是;对于方程3x+2y=1,用y的代数式表示x的结果是.3.若x3m-3-2yn-1=5是二元一次方程,则m=,n=.4.二元一次方程4x+y=20的所有正整数解有组5.已知x=2y=-1是方程组4mx-x+y=132x-ny+1=2的解,则2m+3n的值等于.6.已知一4xm+nym-n与23x7-my1+n是同类项,则m=,n=.7.x=2,y=1是方程(ax-by-1)2+|x+by-5|=0的一组解,则a=,b=.8.若方程组x-my=02x+3y=7的解也是方程x-y=1的解,则m=.二、选择题1.方程x-4y=1;x2+y=0;y+z=0;xy=1;x-2y3+y=… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2010,(2)
已知sin xcos y=1/2,求cos xsin y的最大值与最小值.错解1:令cos xsin y=t则cos xsin y+sin xcos y=t+1/2,即sin(x+y)=t+1/2.由|sin(x+y)|≤1,得|t+1/21|≤1,解得 相似文献
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一、构造方程例1已知a,b缀R,且a3+b3=2,求a+b的最大值.解设a+b=t,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=t(t2-3ab)=2,即ab=t3-23t,所以a,b是方程x2-tx+t3-23t=0的两实根.故驻=t2-4×t3-23t≥0.解得0相似文献
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王东青 《中学课程辅导(初一版)》2003,(1)
二元一次方程中经常出现字母系数 ,我们可以根据题中的条件把它确定下来 .下面分类举例说明 .一、根据方程组的解的意义求字母系数 例 1 已知方程组 ax+by=7,bx+ay=5 的解是x=1,y=2 .则 a+b=.解 :由方程组的解的意义得a+2 b=7,12 a+b=5 .2 解之 ,得 a=1,b=3 .故 a+b=4.注 :本题若用整体思想 ,求解更方便 .另解 :( 1+2 )÷ 3 ,得 a+b=4.二、根据方程组有无数个解求字母系数 例 2 若方程组 x-my=2 ,1nx-y=3 2 有无数个解 ,那么 m= ,n=.解 :由 1,得 x=my+2 3 ,把 3代入 2 ,得 ( mn-1) y=3 -2 n∵原方程组有无数个解 ,∴mn-1=0 ,3 -2 n=… 相似文献
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一、反函数策略例1求函数y=3-x2x+5的值域.分析此题可用“观察法”,但形如y=ax+bcx+d的值域问题,用反函数法尤为简洁.解函数y=3-x2x+5的反函数为y=3-5x2x+1,而y=3-5x2x+1的定义域为x|x≠-12 ,∴原函数的值域为y|y≠-12 .二、换元策略例2求函数y=2x+41-x姨的值域.分析可将原式2x移至等式左边后,再两边平方,用“Δ法”求解,但是值域范围有可能扩大.若令t=1-x姨≥0,则x=1-t2,从而将原式转化为在限制条件下,即t≥0时二次函数的值域问题.解令t=1-x姨≥0,则x=1-t2,故原式为y=2穴1-t2雪+4t=-2穴t-1)2+4≤4,∴原函数的值域为(-∞,4].三、数形结合… 相似文献
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活用一次方程或一次方程组的解可巧妙解题 ,现略举几例 ,供同学们学习时参考 .例 1 已知关于 x、y 的方程组3x - 4y=- 6 ,ax + 2 by=- 4和 3bx+ 2 ay=0 ,2 x- y=1有相同的解 ,求 a和 b的值 .分析 :两个方程组的解相同 ,则这个解必定同时适合这两个方程组中的四个方程 ,从而它必定是方程组( 1) 3x- 4y=- 6 ,2 x- y=1和 ( 2 ) ax+ 2 by=- 4,3bx+ 2 ay=0 的解 .因此 ,可有如下巧解 .解 :解方程组 3x- 4y=- 6 ,2 x- y=1. 得 x=2 ,y=3.把 x=2 ,y=3.代入 ( 2 )可得 2 a+ 6 b=- 4,6 a+ 6 b=0 .解之 ,得 a=1,b=- 1.例 2 王明和李芳同求方程 ax + b… 相似文献
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于志洪 《山西教育(综合版)》2004,(16):30-31
一、化简代入技巧例1先化简,再求值。ba-b·a3+ab2-2a2bb3÷b2-a2ab+b2,其中a=23,b=-3。解:待求式=ba-b·a(a-b)2b3·b(b-a)=-ab=-23÷(-3)=29。二、求值代入技巧例2已知a(a-2)-(a2-2b)=-4,则a2+b22-ab=。解:∵a(a-2)-(a2-2b)=-4,∴a2-2a-a2+2b=-4,∴-2(a-b)=-4,a-b=2,故a2+b22-ab=(a-b)22=222=2。三、换元代入技巧例3如果x:y:z=1:3:5,那么x+3y-zx-3y+z=。23,则。解:设x=k,y=3k,z=5k,则x+3y-zx-3y+z=k+9k-5kk-9k+5k=5k-3k=-53。四、和积代入技巧例4已知x=樤3+樤2,y=樤3-樤2,试求2xyx2-y2+xx+y-yy-x的值。解:由题设得,x+y=2樤3,x-y=2樤2,xy=1… 相似文献
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戴志祥 《河北理科教学研究》2013,(2):44-46
问题 设x∈(0,π/2),则函数y=225/4sin2x+2/cosx的最小值为_____.
此题是2007年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第10题,竞赛组委会给出的标准答案如下:
解:因为x∈(0,π/2),所以sinx＞0,cosx＞0,设k＞0,y=225/4sin2x+ksin2x+1/cosx+1/cosx+kcos2x-k≥15(√)2kk+3(√)3k-k①.等号成立当且仅当{225/4sin2x=ksin2x 1/cosx=kcos2x＜＝＞{sin2x=15/2(√)2k cos2x=1/(√)3k2,此时15/2(√)2ｋ+1/(√)3ｋ2＝1,设1/k=t6,则2t4+15t3-2=0,而2t4+ 15t3-2=2t4-t3+16t3-2=t3(2t-1)+2(2t-1)(4t2+ 2t+1)=(2t-1)(t3 +8t2 +4t +2),故(2t-1)(t3+8t2+4t+2)=0. 相似文献
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看到本文标题 ,你也许很吃惊 :还有用“机械”解方程组的方法吗 ?当然 ,这里的“机械化”不是这个意思 ,为解开这个疑问 ,我们一起先解几个二元一次方程组吧 .例 1 解下列方程组 :( 1) 3x-2 y=7,5x +4 y=19;①②( 2 ) 2 y=3x -7,5x+4 y=19;③④( 3 )3 (x -1) =2 ( y+2 ) ,x4+y5=192 0 .⑤⑥分析 对于方程组 ( 1) ,由 ①× 2 +②得 11x =3 3 ,x=3 .把x=3代入②得y=1.对于方程组 ( 2 ) ,可由④ -③ × 2得5x =19-2 ( 3x-7) ,11x=3 3 ,x=3 .代入③得 y =1.也可将③移项 ,化成 3x -2 y=7. ⑦⑦式与④式联立 ,就是方程组 ( 1)… 相似文献
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本文讨论变系数线性方程组戈=A(t)x(l) fx,1 fa,,(‘)a12(‘)1的解,其中x二11,A(t)是2 xZ连续函数矩阵:A(t)二l_、l LxZ JL“21(‘)“二(‘)」 定义1一尸一’通(t)p设A(t)为2x2函数矩阵.若存在非奇异常数矩阵p,使B(t)则称A(t)与B(t)相似.显然,在变换x=py下,方程组(l)可化为方程组夕=B(t)y(2) [y,1其中,y=l卜B(‘)= LyZJp一’双t)尸.只要求出方程组(2)的解,即可求出方程组(l歹的解,反之亦然.因此,认为方程组(l)与(2)是等价的. 引理设通(t)、刀(r)均为2x2函数矩阵.若A(r)与B(r)相似,则中(t)E+A(t)与中(t)E+B(t)相似,其中,E为单位矩… 相似文献
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金友良 《数理化学习(初中版)》2006,(8)
在解二元一次方程组时,由于有的同学数学基础不扎实,或解题时粗心大意,常会出现这样或那样的错误.针对这种现象,本文就举几个例子作如下分析,以便帮助同学们及时纠正错误,为今后的学习扫除部分障碍.一、加减时符号出错例1解方程组2x+3y=33x-2y=11①②错解:①×3,得6x+9y=9.③②×2,得6x-4y=22.④③-④得5y=-13,解得y=-135.把y=-135代入①得,2x-395=3,解这方程得x=275.所以方程组的解是x=275y=-135.剖析:③-④时,应是9y-(-4y)=-13,即13y=-13,所以,解得y=-1;把y=-1代入①后,则为2x-3=3,所以,解得x=3.因此,方程组的解应是x=3y=-1.二、在化简去… 相似文献
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一、比较大小例1若logx23-logx53≥log-y23-log-y53,则A.x-y≥0B.x+y≥0C.x-y≤0D.x+y≤0分析根据所给不等式的结构特征,可考虑构造函数f(t)=logt23-logt53,利用函数的单调性即可确定x与y之间的关系.解令f(t)=logt23-logt53,则易证f(t)在(-∞,+∞)上是增函数,由题设条件得f(x)≥f(-y).根据函数f(t)的单调性,得x≥-y,即x+y≥0.选B.二、求值例2已知x,y是实数,而且满足下列方程组(x-1)3+1997(x-1)=-1,(y-1)3+1997(y-1)=1 则x+y=_____.分析要直接解出x,y显然不大可能,因此必须考虑建立x,y之间的联系.解原方程组可化为(x-1)3+1997(x-1)=-1,(1… 相似文献
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1981年12期数学通报《几种类型的不等式证明》一文中(二): 已知条件为线性方程形式的不等式证明(即条件x+y+z+…A,A为常数)。 4:若x+y+z=1,试证x~2+y~2+z~2≥1/3证明:令x=1/3-t,y=1/3-2t,z=1/3+3t(t为实数)。 x~2+y~2+z~2=[(1/3)-t]~2+[(1/3)-2t]~2+[(1/3)-3t]~2 =1/9-(2/3)t+t~2+1/9-(4/3)t+4t~2+1/9+2t+9t~2 =1/3+14t~2≥1/3 (∵t为实数)。 当t=0时,即x=y=z=1/3时,上式等号成立。 相似文献