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有关圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的弦的中点问题,大体可分为两类:一是已知斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(也就是直径)的方程;一是以定点(x_0,y_0)为中点的弦所在直线的方程(中点弦的方程)。下面分别作论述。一、斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(直径)方程定理1.二次曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(即直径)方程是(2A+Bk)x+(B+2Ck)y+(D+Ek)=0①推论二次曲线的直径是一条过斜率为 相似文献
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定理设二次曲线方程为F(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey +F=0。(1)过平面上任意一定点M(x_0,y_0)(除去曲线的中心)作动直线,与曲线(1)交于P_1、P_2两点,则弦P_1P_2的中点轨迹方程是Φ(x-x_0,y-y_0)÷F_1(x_0,y_0)(x-x_0) ÷F_2(x_0,y_0)(y-y_0)=0(2)并且曲线(1)与曲线(2)同族。其中Φ(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2 F_1(x,y)=Ax+By+D F_2(x,y)=Bx+Cy+E 证明:设过定点M(x_0,y_0)的动直线为 相似文献
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在平面解析几何里有这样一个问题:过二次曲线 Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0……①的内部(不含周界)一点 P(x_0,y_0)引一弦 MN(如图1),使它恰在这一点被平分,求此弦所在直线的方程。解决这一问题的方法较多,通常的方法是利用“韦达定理”消去参数,以求得直线的斜率,或利用中点坐标公式,但这样做计算繁复,且易出错。下面介绍一种简便的方法。将方程①的两边对 x 求导,得 相似文献
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在解析几何中,经常要求这样两类中点轨迹方程:第一类是求一个定点与二次曲线上任一点的连线的中点轨迹方程;第二类是过一个定点作二次曲线的弦,求弦中点的轨迹方程。本文准备给出这两类中点轨迹方程的一般形式,利用它们,可以直接写出要求的轨迹方程。设一般二次曲线的方程为 Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F=0其中A、B、C不全为零。为了方便起见,我们设f(x,y)=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F,这样二次曲线的 相似文献
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吴嘉程 《苏州教育学院学报》1995,(3)
本文给出圆锥曲线各种变动弦中点轨迹方程的统一求法,这种求法程序简单,便于记忆和应用。在此基础上就几类常见的弦中点轨迹问题分别举例加以说明。 一、一般圆锥曲线变动弦中点轨迹的统一方程及求法 引理:设圆锥曲线C的方程为:F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy 2 Dx Ey F=0（1）记Fx（x,y）=2Ax By D,F＇y（x,y)=Bx 2Cy E假如C以己知点M（Xo,yo）为中点的弦存在,则该弦所在直线的方程为: 相似文献
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刘桂香 《周口师范学院学报》1995,(4)
已知二次曲线方程为:F(x,y)=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F=0,若以点P(x_0,y_0)为中点的二次曲线的弦存在,求这弦所在的直线方程,是解析几何里常见的一类问题。本文旨在给出这弦所在直线方程的四种求法。 方法一,设所求直线方程为y-y_0=k(x-x_0)将y=k(x-x_0) y_0代入二次曲线方程,整理得:(A BK CK~2)x~2-[2Cx_0k~2 (Bx_0-2Cy_0-E)k-(By_0 D)]x [Cx_0~2k~2-(2Cx_0y_0 Ex_0)k (Cy_0~2 Ey_0 F)]=0 相似文献
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在教解析几何圆锥曲线这部分内容时,发现圆锥曲线Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0(本文中所指圆锥曲线方程都是指该方程)的导函数y’=(2Ax+By+D)/(Bx+2Cy+E)在解某些解析几何题目中有其广泛的应用。而且有些类型不同的题目可以得出形式类同的解答来。 相似文献
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我们知道,在同心圆中: (i)一个圆的切线,若被另一个圆所截,则切点平分所截得的弦; (ⅱ)一个圆的弦的中点,若在另一个圆上,则该弦必与另一圆相切。 本文将上述性质加以推广,并说明其应用。 一、定理及其证明 定理 设有圆锥曲线系Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey t=0(t为参数,t∈R),C_1、C_2 相似文献
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二次曲线方程的化简是中学数学教学十分重要的内容,而通常所用的方法是选取旋转角θ,用坐标变换 x=x' cosθ-y'sinθ y=x'sinθ+y'cosθ代入方程Ax~2+2Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0,再进行二项式展开,合并同类项,计算繁复。本文介绍的方法将使方程的化简更为简便。首先介绍Ax~2+2Bxy+Cy~2+F=0(B≠0)的方程的化简。定理设二次曲线方程为Ax~2+2Bxy+Cy~2+F=0,则 (1)如果λ_1和λ_2是二次方程|_B~(A-λ) _(C-λ)~B|=λ~2-(A+C)λ+AC-B~2=0 ①的二个根,那么二次曲线方程可化为λ_1x'~2+λ_2y'~2+F=0 ② 相似文献
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设二次方程Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0所代表的图形为f(实的或虚的).形式地设f的一个焦点为F(a,b).它对应的准线的方程为:xcosα+ysinα-P=0.离心率为e,于是f的方程又为: 相似文献
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讲授“坐标变换”的目的是使学生能把一般的二元二次方程。Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)化为圆锥曲线的标准方程(或者是退缩圆锥曲线的方程),从而认识曲线的性质。达到这一目的的关键是如何提高学生的计算能力,使之能“迅速、准确”地完成“化简”工作。统编教材对“坐标变换”内容的处理,在二次曲线一章开头讲了曲线和方程的关系以后,再讲把圆的一般 相似文献
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解析几何里有这样一类问题:过二次曲线 C:F(x,y)≡Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0内部〔指包含焦点的平面区域(不包括周界)〕已知点 M(x_0,y_0)作直线与曲线C 相交于两点 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得 M 点平分弦 AB.例.过二次曲线 C:14x~2+24xy+21y~2-4x+18y-139=0内一点 M(1,-2)作一直线,使截得的弦被 M 点平分。求此直线的方程。 相似文献
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一阶导数与二次曲线弦中点间存在着一种内在联系,这种联系为解决二次曲线中点弦一类问题开辟了一条较为简捷的路径.本文就以定理形式揭示这种联系并列举应用. 定理:椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的以斜率为k的一组平行弦中点轨迹方程是x~2/a~2 yy_x~'/b~2=0(※)(|x|≤a,|y|≤b)其中y_x~'就是平行弦的斜率k,它等于直线(※)与椭圆交点处切线的斜率. 证明:设点P(x_0,y_0)是以k为斜率的弦P_1P_2的中点,点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2) 相似文献
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有心二次曲线的直接作图法 总被引：1，自引：0，他引：1
一般二次曲线方程:Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1) 若B~2-4AC≠O,则(1)表示椭圆或双曲线,对这个方程的讨论,是解析几何课程中的一个重要组成部分。而传统的化简方法都采用坐标变换的形式。本文提出一种不经过坐标的平移和旋转,直接在原坐标系中确定对称轴,顶点或双 相似文献
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贵刊1983年第5期刊登了《一类直线方程的四种求法》一文,该文介绍了解决如下问题的四种方法:过二次曲线C:F(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0内部[指包含焦点的平面区域(不包括周界)]已知点M(x_0,y_0)作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得点M平分弦AB。对于这类问题,可作如下推广:过M作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得M点为弦AB的n等分点。当n≥3时,用《一类直线方程的四种求法》一文介绍的四种方法来求 相似文献
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众所周知,过二次曲线Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (g)上一点P_1(x_1,y_1)的切线方程为Ax_1x+Cy_1y+D((x_1+x)/2)+E((y_1+y)/2)+F=0(h)。这是一个将切点(曲线上的点)的坐标x_1、y_1与切线上的点(曲线外的点)的坐标x、y联系起来的公式。当已知切点P_1的坐标P_1(x_1,y_1)时,将x、y看作变量,则(h)为过P_1的切线上点的坐标满足的方程,即过P_1的切线方程。当已知曲线外一点P的坐标P(x,y)时,将x_1、y_1看作变量,则(h) 相似文献
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直线和圆锥曲线的位置关系中,涉及弦的问题特别多,其中以弦的中点问题最为丰富多彩.中点弦问题是中学数学的一类重要问题,解决圆锥曲线的中点弦问题,有以下几种策略.1“设而不求”的策略例1已知P(1,1)为椭圆22194x+y=内一定点,过点P的弦AB被点P平分,求弦AB所在直线的方程.分析常规思路设直线AB的斜率为k由方程组求A、B的坐标,由AB的中点坐标建立k的方程求k,但注意到弦的中点坐标公式x=12(x1+x2),y=12(y1+y2),故可用韦达定理,绕过求交点的步骤.设所求直线的方程y=k(x?1)+1,并过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由方程组:22(1)1,1,94y k xx y????… 相似文献