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2>0. (1)×(2)×(3)褂 丽1_4x藉1籍4y舞百1 4两z_1. (4) ( 。)( 。)( 。) ” 一’ 由均值小等式知 1 4x。≥4x,1 4y。≥4y,l 4z。≥4z,一:It中等号当It仅当z—y—z一去时成立. .·.百再孬百6i4xy再z4Y丽而≤l’ 一(1 4z。)(1 。)(1 4￡。)飞“等0当J L仪当z—y一2一百1¨Y q~x11Pi.,|. {lfm(4)叮知只行z—y一。一寺.故原办稚纰彳『l从j组解: (z,Y,￡)一(0,0,0), (“炉)一(告,一导,l_1). 解法2:ill越设有z≥0,y≥0,2≥0.hll然z=0,∥一0,2—0灶方程组的‘纽解. 当x>0,y>O,z>0时,① ② ⑨,得 .￡’ ’y^一≈ 4x。 . 4.y。 . 4乎一丽十… 相似文献
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1.&hur不等式的加强及其等价形式 schur不等式指的是,设x、y、z任R十,则 x(x一y)(x一z)十y(y一z)(y一x)十z(z一x)(z一夕))0(1) (1)式可简记为名x(x一y)(x一z))0. 这里首先把Sch“r不等式加强为: 定理:设x,y,z为非负实数,则名x(x-y)(x一z))0(2). 证明:不妨设x)y)z》O,则 艺x(x一y)(x一z)二习x3一艺xy(x十夕)+3‘U探 二(x3十y3十Zxyz一xZy一xyZ一xZ:-yZ二)十(23十xyz一xzZ一yzZ) 二(x一y)2(x+y一z)十z〔x一z)(y一z))0. 其中等号成立当且仅当x二y=z或x,y,z中有两个相等,另一个为零. 不难验证(2)有下面的等价形式: 习x3一习xZ(夕+z)+3谬)o(… 相似文献
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W二Ianous猜想 已知x,y,:任R 证明落干军、军耳军 宜上三兰)。(《数理天 ~八z x’J y’y 二一一、’~~~地》1997年第2期) 证明:不妨设x)y)z,则x y)二 x)y十z 因为扩一扩一扩一少 少一尹 ‘匕.、.扩一扩_尹一少.少一扩、尹一少, 所以二一-二二‘~二‘---三匕 匕一一一一二乏乏二----已‘牛 川~y zy z’y z一z十x夕2一22x十y祷少一护.扩一少.xZ一矛\。口义—,~—门一—二华U。 z个xx十yy一z(当且仅当x~y一z时等式成立)2·关于三角形内角平分线的猜想 在△ABc中,求证:会 会 分>告 会 告·(《中学数学,‘996年第9期, 证明:如图,在△A召C中,… 相似文献
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例1已知(二一x)’一4(x一y)(y一z)~O,且x笋y.求证:Zy一x+z. 分析根据已知,联想到一元二次方程根的判别式△一犷一4ac.因此,可构造一元二次方程(x一y)tz+(二一x)t+(y一劝一。 丫△一(z一x)2一4(x一y)(一二)~O, :.此方程有两个相等的实数根. 观察到方程各项系数之和为。,故知有一根为1,则另一根也必为1,从而两根之积为1. y一之 X一y:.Zy一了+2.这样证明简捷明快,十分巧妙.例2已知:a、b、‘、d都是正数,证明:存在这样的三角形,它的三边等于了护+。2,丫砂十护十护+Zcd,丫彭+夕+砂+Zab,并计算这个三角形面积. 分析本题初看不容易理出头绪.我们… 相似文献
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王恒亮 《河北理科教学研究》2015,(3)
△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,大家知道有著名的Euler公式:R≥2r.
上述公式证明方法有多种,本文将给出△ABC中内切圆代换下的证明.
为此,我们先给出有关内切圆的一些基本知识点,这些在不等式证明中时是极其有用的.
如图1,设a=x+y,b=y+z,c =z + x,△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,面积为S,半周长p=a+b+c/2=x+y+z,由海伦公式知S=√p(p-a)(p-b)(p-c) =√xyz(x+y+z),注意到S=pr=a+b+c/2 r,故r=S/P=√xyz/x+y+z,而S=1/2absinC=abc/4R,故R=abc/4S=(x+y)(y+z)(z+x)/4√xyz(x+y+z),故=R/2r=(x+y)(y+z)(z+x)/8xyz≥8xyz/8xyz=1,故R≥2r. 相似文献
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W·Janous不等式新证 总被引：1，自引：0，他引：1
兰二2兰千兰二三兰X月一y y.十Z斗"设x、y、z任R千,求证:宜二z十妻0. 此不等式即为W·Ianou:的猜测不等式,许多数学刊物上曾介绍了这一猜测的多种证法,这里笔者再给出一种非常简明的证法. 证明:设少一扩一a,尸一少一b,则尹一扩~一(a b). 一X 倪一上. 一Z 一一 Z一Z津一y X一,‘ bx y22一夕2x y一。·(一共一卫一 艺州片工y门一z) b· llx yy z,,上共二,, b叹z十x八y十z)aZ b·(a b)Z—X(x y)(y z)(x y)(少 二)(z十x) 1,、,.3,,气a一卜-只户口)一~十一厂O“ 乙住(二 y)(〕, z)(z x)x,夕,二任R ,.’.(x 夕)(J, 二)(二 了)>0,于是yZ护… 相似文献
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朱金凯 《数理天地(初中版)》2006,(12)
.化简求值所以a十1 27a 1 > 27a l 272a l例1化简解比压在 万原式-丫丁豆十了冗百 护而十护丽一x酒一y石一:，则x y即272000 1_27200， 1云丽砚丙户乏而不丙·x Zy xyZ xz yz _工 y一(x y)(xy z) 1 xy z l杯 拓一杯一杯.例2已知(x 刃，(y z)，(z十x)一4:6:8，求x:y:z的值.解设x y一4t，y z~6t，z 二一8t，以上三式相加，得x y z一gt. 3.分解因式例5分解因式: x‘十2006x2十2005x 2006.解设2006=a，则2005一a一1，原式一了 二“ (a一1)x a ~(x‘一x) a(x“ x l)一(xZ x 1)(x“一x a) =(xZ十x l)(xZ一x 2006). 4.解方程(组)例6解方程:所以即… 相似文献
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先看一道思考题:已知二+三 刁,+三 少名 一一一一 y忿 ++l一xl一y=z+送, 工之 X +1一z且x、y、z两两不等,求证: x,,.名.=1。 证由已知条件得①②③X一y=y一Z=才—X二二二y一忿 义夕Z—.艺 夕名X一y 忿龙①x②x⑧得:(x一y)(y一z)(z一x)=①② 厂y一z)(z一x)(x一7) 扩y.zl 丫x、扒z两两不等. .’.(x一y)(y一z)(z一x)护0, x勺、,=1.证毕. 另一方面,若将题设中三式相加有: 1二1二1二2.,x ,丁州卜y十月了个z十二丁宁X=x十二二二十夕宁二二 X一yZ之)一yZ+之+之, Z之一二.砂+少+砂一卿一x之一yz_八枯理得二-‘一已‘一二‘二一一-二‘‘-‘二‘… 相似文献
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《数学教学通讯》1982,(6)
甲八一一、〔解〕(1)x=0. (2)x为任意实数. (3)x为任意实数. (4)!xl簇1 (5)x>0 (6)x为任意实数二、〔解〕(1)T:。=C委言(一1)61“ 直接展开,或利用行列式的性质得 2不丁3y一6一O图形是直线。一一C孟君-一C全。-一38了60(2)Xy厂、‘ 一一,人八OJ任 (2)y产=三、〔解〕(1){ 1一—心In 3“2xl2x3=1十eos甲=Zsin甲一3y 6化为(x一1)2+yZ_,—一i 4图形是椭圆。四、〔解一〕设园柱体半径为r,高为h. 由△ACD。△AOBH一h H由此得H一h二RR一H一一︸︸园柱体体积V(h)~二r’h一爵H一“’Zh两边对h求导V了(h)-(H一h)(H一3h)R一护以一H令V/(h)… 相似文献
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《中国高校招生》1999,(5)
一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。汀一6 一涯一2 ︸ tg2.函数f(x)二I吸x十l(x〕4)的反函数f一’(x)的定义域是 3.在(x3 杀)5的展开式中,含X’项的系数为 4.在△ABC中,若艺B二3任,AB=2行,面积s=招,则AC= 5.若平移坐标系,将曲线方程尹 4二一4y一4=0化为标准方程,则坐标原点应移到点口( ). 6.函数y=Zsinxcosx一Zsinzx十1的最小正周期T二 7.函数,二Zsin(2二 晋)(:‘[一二,o])的单调 ”一~J一一““、一’6产、“~L’“’一“产”J’,,递减区间是____,8.某工程的工序流程… 相似文献
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一、已知a为实数,且关于、的方程x“一ax十a二O有二实根a,民试证:a“+口艺)2(a+夕). 二、解关于实数x,夕,‘的方程(8‘xz一27万2+9梦z)2+(3yz一y之+2之2一8劣)2+9“6x一x 2. 三、如图,在△ABC外作△BPC,△CQA,△ARB,使匕PBC=匕CAQ=45。,匕BCpe二艺QCA=30“,乙ABR二匕BAR=15“.求证:△PQR是等腰直角三角形.即aZ+刀2+Za夕一4a)0今aZ+刀“一Za)0. 所以,a“+口2)Za=2(a+厅). 二、解原方程化为 (szx么一27封2+99之)2+(3夕乞一夕z+222一sx)“十(x一3)2=0.由非负数的性质,有{于一{“2么{“2歹‘一27犷龙”吧二U二\3互‘一夕之十22… 相似文献
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定理若整数仍、.不是3的倍数,而拼+介是3的倍数时,xZ十:十1是三项式‘仍+‘”十1的因式. 证明记f(x)=x“+:”十1.不妨设。=3k+l,佗=31十2(沦、l任z),。为1的一个三次虚根.那么 f(。)=。“,+‘+。,‘+,+1 =。+。2+1=0, f(。“)=。。沁+“+。。‘+4+1 二。2+。+1=0。因此,f(x)含有形如(z一。)(x一。’)二工艺十:十1的因式. 例.分解::7十2:‘十x十2. 解x7十2:”‘卜z十2二(x7十x“+1) +(xs+劣+1)=(x“+劣+1) (劣‘一劣‘十Zx,一劣“一劣+2)。三项式x~m+x~n+1的因式分解@王起凤$湖南道县一中~~… 相似文献
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设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4) 相似文献
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观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z… 相似文献
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}在各种数学资料及各级检测试题中,频频出现“丫十丢eR’’这一条件的复数题下面给出“扩 于任R”的一个充要条件,为处理这类问题提供一个解题模式. 定理:设z为非零复数,实数a>o,n任N,则扩十合任R的充要条件是}“丫万isino)或I,(z”)一0(I,(二)表示复数z的虚部). 证明:设z一r(cos0 (r>0),则二十共- 艺尸(cos,:0 ‘s‘n7:0) 号‘cos,:0一,s‘nn“, 二二Z万二._.,10 .102一 若lzf一们。,”1!‘十管一‘十褂一‘十‘·设二一二十,‘,则1<2二簇。。冬<二(3.又二, ,,- ’了‘”-一~一2、一~一’--一10且x,y是整数,.,.x一1,y一士3或x一3,y~士1.… 相似文献
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一、选择题(每题2分,共20分)1.下列各数用科学记数法表示为: (l)8 .792=8.792只101, (2)0 .001 001~1.001又10一2, (3)一0.00 043=4.3火10一4, (4)12 374.5七124火102,其中不正确的有咬). (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.下列计算正确的是(). (A)(一二十y)(一x一y)一少一尸 (B),6(西一。)·令(。一右)2一6(。一占)。一2 (C)(一x+y+z)(x一y一z)-一x“一犷一矛十Zxy+Zxz一Zyz①)险二一要,}卜4、+二,+半川一8、十誉少 ‘产‘任203.下列命题:(l)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(2)过一点有 且只有一条直线与已知直线平行;(3)有公共顶点且… 相似文献
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