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顾向忠 《数理化学习(高中版)》2006,(18)
函数思想是中学数学思想的核心内容.正确理解并掌握函数思想对提高数学素养很有帮助,尤其是在不等式中往往用函数思想去理解,能起到高瞻远瞩,画龙点睛的作用.下面略举几例.一、构造函数证明不等式例1已知△ABC的三边长是a、b、c,且m为正数,求证:aa m bb m>cc m.简析:观察求证式结构,构造相应函数f(x)=xx m(x>0,m为正数).由于xx m=1-mx m,易证f(x)是R 上的增函数.因为在△ABC中,a b>c,所以f(a b)>f(c),即a ba b m>cc m.又因为aa m bb m>aa b m b a b m=a ba b m,所以原不等式成立.本题若采用分析法(或比较法),体现了不等式的基本方法,但有… 相似文献
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构造函数解题需要较强的创新意识,是高考改革的方向,本文愿就此抛砖引玉．一、构造一次函数y=kx+b(k≠0) 例1 设a,b,c∈(-1,1),求证:ab+bc+ca>-1. 解析作辅助函数f(x)=(b+c)x+bc+1．因为f(1)=(b+1)(c+1)>0,f(-1)=(1-b)(1-c)>0,所以在(-1,1)上恒有f(x)>0．又-10,即原不等式成立．例2 设不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m恒成立,求x 相似文献
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顾向忠 《中学数学研究(江西师大)》2006,(6):29-30
函数思想是中学数学思想的核心内容.正确理解并掌握函数思想对提高数学素养很有帮助,尤其是在不等式中往往用函数思想去理解,能起到高瞻远瞩,画龙点睛的作用.下面略举几例,抛砖引玉.一、构造函数证明不等式例1 已知△ABC 的三边长是 a、b、c,且m为正数,求证:a/(a m) b/(b m)>c/(c m).简析:观察求证式结构,构造函数 f(x)= 相似文献
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刘淑珍 《沙洋师范高等专科学校学报》2002,3(1):71-73
不等式的证明是数学分析中经常遇到而且比较困难的问题,本文将对数学分析中不等式证明的常用方法作简单的归纳与总结。一、利用函数单调性证明不等式这是最常用最基本的方法。由文[1]定理7.1,若函数.f在(a,b)可导,则.f在(a,b)内递增(递减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0),x∈(a,b)。特别地,设函数f在(a,b)内可异,若f'(x)>0(f'(x)相似文献
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刘志联 《数理化学习(初中版)》2002,(6)
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≥0;若a<0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≤0. 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,则△=b2-4ac≥0. 以上性质,我们可以用来证明不等式. 例1 已知a,b∈R,且b>0.求证:a2+b2>3a-2ab-3. 证明:被证不等式可变形为 相似文献
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《高中生之友》2006,(Z3)
通过构造函数,利用导数研究函数的性质(单调性、最值等)与图像,可以用来证明不等式或求解含参不等式中参数的取值范围等问题．一、证明不等式例,已知a,b∈R,求证：(|a b|/1 |a b|)≤(|a|/1 |a|) (|b|/1 |b|)·证明：令f(x)=(x/1 x),x≥0,则f′(x)=(1/(1 x)~2)＞0．故f(x)在[0, ∞)上是单调递增函数．∵|a b|≤|a| |b|,∴f(|a b|)≤(|a| |b|)．即(|a b|/1 |a b|)≤(|a| |b|/1 |a| |b|)=(|a|/1 |a| |b|) (|b|/1 |a| |b|)． 相似文献
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邹生书 《河北理科教学研究》2015,(1):44-46
最近阅读了2014年《高中数学教与学》第6期叶红萍老师的文章《与不等式有关的最值问题解法探析》,文中的例7是一道以二次不等式恒成立为背景的最值问题,笔者经过解题研究发现这类问题均可通过赋值法求解,题目如下:例1已知对于任意实数x,二次函数f(x)=ax2+bx+c≥0恒成立,且a相似文献
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段春生 《开封教育学院学报》1994,(1)
一、配方法函数y=f(x)=ax~2+bx+c(a■0),配方后有:y=a(x+b/(2a))+(4ac-b~2)/(4a),,由此,若a>0,当x=-(b/(2a))时,y_(min)=(4ac-b~2)/(4a);若a<0,当x=-(b/(2a))时,y_(max)=(4ac-b~2)/(4a). 相似文献
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证明不等式,方法很多,分析法、比较法、综合法、反证法、换元法及数学归纳法等基本方法.事实上,不少不等式,还可以从解不等式的角度进行论证,从而渗透动静转化的辩证思想,培养学生的能力.例1 已知“a、b、m∈R~ ,且 aa/b(高中《代数》下册 P_(12)例7)证明:令 x=m,构造不等式(a x)/(b x)>a/b……※移项通分得:(b-a)×x/(b(b x)>0 相似文献
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《中学数学杂志》2005,(7)
构造函数,将不等式问题化为函数问题,再利用导数来解决,这为简化解题思路提供了新的方法.例1(2004全国卷二22题)已知函数f(x)=ln(1 x)-x,g(x)=xlnx,(Ⅰ)求函数f(x)的最大值.(Ⅱ)设0相似文献
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应用导数证明不等式是导数的一个重要应用,是不等式证明的一种新方法.导数法证明不等式就是根据原不等式的结构特点,构造适当的函数,进而通过求导考察函数的单调性或最值,再利用函数的单调性或最值来证明不等式.导数法证明不等式的关键是构造函数,本文举例说明构造函数的几种方法,供参考.1对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如f(a)>f(b)的形式.例1证明2sin2cos2sin55555ππ π>ππ cos5π.分析题中2π/5、π/5不是特殊角,若用传统方法证明将会很困难,考虑到原不等式两边的结构相同,分别是x sin x cosx… 相似文献
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求形如 f (x) =ax + b + d -cx(a>0 ,c >0 ,dc>-ba)的函数值域的方法很多 ,本刊文 [1]利用“双换元法”给出一种求法 ,阅后深受启发 .本文再给出此类函数的一种新的求法 ,具有简单易行的特点 ,更易为广大中学生所理解和接受 ,现介绍如下 .1 结论及证明定理 设 f1 (x) =ax + b,f2 (x) =d -cx,则函数 f (x) =ax + b + d -cx(a >0 ,c >0 ,dc >-ba)的值域为[[f1 ( x) +f2 ( x) ] m in,f1 ( dc +f2 ( - ba) ] .以下定理的证明过程 ,即给出了求 f (x)值域的一种方法 .证明 :(1)证 f (x)≤f1 (dc) + f2 (-ba)设λ >0 ,则由基本不等式 ab≤a + b2 … 相似文献
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用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.途径一构造差函数直接作差,即构造差函数,是构造辅助函数的最主要方法.例1求证:不等式x-x22<1n(1+x)0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,且f(x)在… 相似文献
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高考试题:已知函数f(x)=x2+2/x+alnx(x>0),f(x)的导函数是f’(x),对任意两个不相等的正数x1﹑x2,证明: (Ⅰ)当a≤0时,[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2];(Ⅱ)当a≤4时,|f’(x1)-f’(x2)|>|x1-x2|.该题可以运用不等式和导数的有关知识给出证明.在这里提出这样的问题:能否对题目中给出的a的条件作出进一步的加强,使得(Ⅰ)﹑(Ⅱ)仍然成立呢?为了探讨这个问题,首先给出一个定义和一个定理:定义(函数凸凹性):已知函数f(x)在区间(a,b)有定义, 相似文献
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函数的图象和性质在证明不等式中有广泛的运用,本文利用函数的性质和图象,对一些常见不等式给出了一些新颖的证法. 例1设。>。>0,比较《早《与旦干李的大 一一---一’一~a艺 b乙‘a b一‘/-小(高中课本《代数》下册(必修本)尸32,3).例3求证:‘十六 分·…六>几易知函数f(x)一衍寸在‘0,aZ一 co)上为减函数.又f(bZ)=aZ一bZaZ bZ’f(ab)=一abaZ aba一ba b.因为a>b>0,所以ab>护>0,从而(n>1且n任N).(课本《代数》)(必修本,下册,Pl邓,33) 证明:原不等式等价于 ‘·六·六·分·…六一石>0,令f(n,一‘ 六 六十六一几,则 f(一‘,一f(n,一六一俪… 相似文献
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构造法是一种创造性的解题方法,它根据数学问题的题设和结论特征,构造出新的、易解决的问题,从而得到简捷、明快、新颖的解法.笔者以高二数学教材上册中的一道例题来说明构造法证不等式的几种策略.[例]已知a,b,m∈R+,且aba.策略一:构造函数,利用其单调性分析:不等式左边为ba++mm,而右边可写成ba++00,从而可构造函数f(x)=ab++xx,研究其单调性便能使问题得到解决.证明:构造函数f(x)=ab++xx=1-bb+-xa,易知f(x)在[0,+∞]上递增,又因为m>0,所以ab++mm>ba.策略二:构造斜率,数形结合分析:观察不等式的左式,结构与斜率公式k=y2-y1x2… 相似文献
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<正>本刊2021年第12期的1136号问题:已知对任意正数a、b、c,当a+b+c=1时,都有3a+3b+3c 0,且a+b+c=1,可知a、b、c∈(0,1).设f(x)=3x-(2x+1),x∈(0,1),则f’(x)=3xln3-2. 相似文献