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张晓华 《苏州教育学院学报》1996,(2)
高中《立体几何》P31第9题为:求证两条平行线和同一平面所成的角相等,教学参考书上给出的证明是这样的: 已知:a∥b,a∩α=A_1,b∩α=B_1,∠θ_1,∠θ_2分别是a、b与α所成的角。 求证:∠θ_1=∠θ_2。 证明:如图,在a和b上分别取点A、B,这两点在平面α的同侧,且AA_1=BB_1,连结AB和A_1B_1,∴AA_1(?)BB_1,∴四边形AA_1BB_2是平行四边形,∴AB∥A_1B_1,∵A_1B_1(?)α,∴AB∥α,设A_2、B_2分别是α的垂线AA_2、BB_2的垂足,连结A_1A_2、B_1B_2,则距离AA_2=BB_2。 相似文献
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《立体几何》第31页第9道题是“求证:两条平行线和同一平面所成的角相等。”人民教育出版社出版的《教学参考书》第43页作了如下的解答: 已知:a∥b,a∩a=A_1,b∩a_1=B_1,∠θ_1、∠θ_2分别是a、b与a所成的角,求证:∠θ_1=∠θ_2。证:如图,在a与b上分别取点 A、B,这两点在平面a的同侧,且AA_1=BB_1,连结AB和A_1B_1。∵:AA_1(?)BB_1,∴四边形AA_1B_1B是平行四边形,∴AB∥A_1B_1, 相似文献
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根据异面直线所成角的定义 ,求两条异面直线所成的角一般需通过平移直线 ,将空间角转化为平面内的角来求解 .这一转化过程通常是解题的难点所在 .倘若解题时能借助适当的辅助平面 ,往往可以避繁就简 ,顺利求出 .(如图 1)引理 已知 a,b是异面直线 ,a α,b β,且α⊥β,α∩β =l,又设 a,b与 l所成的角分别为θ1、θ2 ,a,b所成的角为θ,则 cosθ =cosθ1cosθ2 .它的证明很简单 ,现留给大家 .对任意的异面直线来说 ,这样的辅助平面α、β是否一定存在呢 ?(如图 2 )设 a,b为异面直线 ,在直线 a上任取一点 O,则点 O及直线 b可确定一个平面 ,… 相似文献
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在立体几何中,有一个常见的模型 如图1,已知直线a、b、l与平面α满足a(α, b(α, a∩b=P, P∈l, l与a、b成相等的角θ,在l上任取异于点P的Q点,过Q作QK⊥α于K,那么K点到直线a、b的距离相等,即K点落在∠APB(或其补角)的平分线所在的直线上,记∠QPK=θ1, ∠KPB=θ2,不难得到cosθ=cosθ1·cosθ2. 相似文献
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定理:已知平面φ_1、φ2、φ_3两两相交,φ_1∩φ_2=φ_3,φ_2∩φ_3=l_1,φ_3∩φ_1=l_2,并且φ_1与φ_2所成二面角为θ,φ_2与φ_3所成二面角为θ_1;φ_3与φ_1所成二面角为θ_2。则 相似文献
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在立体几何中 ,有一个常见的模型 :图 1 图 2如图 1,已知直线a、b、l与平面α满足a α ,b α ,a∩b =P ,P∈l ,l与a、b成相等的角θ ,在l上任取异于点P的Q点 ,过Q作QK⊥α于K ,那么K点到直线a、b的距离相等 ,即K点落在∠APB(或其补角 )的平分线所在的直线上 ,记∠QPK =θ1 ,∠KPB =θ2 ,不难得到cosθ =cosθ1 ·cosθ2 .运用上述结论 ,可解决过空间一点P且与两直线 (包括二异面直线 )成等角的直线的条数问题 .2 0 0 4年高考数学 (湖北卷 )第 11题 :已知平面α与 β所成的二面角为 80° ,P为α、β外一定点 ,过点P… 相似文献
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统编高中数学第二册P_(100)第九题,如图,AB和平面a所成的角是θ_1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB成角θ_2,设∠BAC=θ,则 cosθ=cosθ_1·cosθ_2(*) 其证明不难,但运用有一定的广泛性。兹举凡例说明之。例1:已知一个直角三角形的两直角边长为a、b,把它沿斜边上的高折成直二面角,求两边夹角的余弦 相似文献
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高中《立体几何》(必修) P_(117)第3题:如图1,AB 和平面 a所成的角是θ_1,AC 在平面α内,AC 和 AB 的射影AB′成角θ_2,设∠ABC=θ.求证:cosθ_1·cosθ_2=cosθ.证明略.显然,题中的θ_1、θ_2、θ都是锐角;由余弦函数的单调性知,cosθ_1>cosθ,且cosθ_2>cosθ.于是θ_1 相似文献
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一、定理:已知二面角的平面角为φ,在二面角的棱上任取一点分别在两个半平面内作射线,两射线所成的角为θ,两射线与棱所成的锐角分别为θ_1和θ_2且θ_1,θ_2具有公共边,则有: cosθ=cosθ_1cosθ_2 sinθ_1sinθ_2cosφ。当φ=90°时,公式为cosθ=cosθ_1cosθ_2。证明: 如图,∠BAC=θ,∠BAO=θ_1,∠CAQ=θ_2,在PQ上任取一点D,在平面α和β内分别作BD⊥PQ交AB于B,作DC⊥PQ,交AC于C,连BC,则∠BDC=φ,并设AD=α, 相似文献
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一、定理:已知二面角的平面角为φ,在二面角的棱上任取一点A分别在两个半平面内作射线,两射线所成的角为θ,两射线与棱为公共边所成的角分别为θ_1和θ_2,则有: cosθ=cosθ_1 cosθ_2+sinθ_1 sinθ_2 coφ 当印φ=90°时,公式为cosθ=cosθ_1 cosθ_2 证明:(设φ,θ_1,θ_2均为锐角) 如图,∠BAC=θ,∠BAQ=θ_1,∠CAQ=θ_2,在PQ上任取一点D,在平面α和β内分别作BD⊥PQ交AB于B,作DC⊥PQ,交AC于C,连BC,则∠BDC=φ,并设AD=a, 相似文献
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本刊90年3期《一道值得重视的立体几何习题》、92年2期《一个值得重视的二面角公式》讨论了立体几何中的一个习题: “AB和平面α所成的角是θ_1,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′成角θ_2,设∠BAC=θ,求证:cosθ_1cosθ_2=cosθ”的应用和推广,很有教益,也非常重要。笔者认为,这习题之所以重要,不是没有涉及二面角,而是把直二面角的存在与面角的计算公式: 相似文献
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人民教育出版社出版的高级中学课本《立体几何》(必修 )第 1 8页 ,是这样给出直线和平面平行的判定定理及其证明过程的 :“直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 ,那么这条直线和这个平面平行 .图 1已知 :a α,b α,a∥ b(如图 1 ) .求证 :a∥α.证明 :∵ a α,∴ a∥ α或 a∩α=A.下面证明 a∩ α=A不可能 .假设 a∩α=A.∵a∥ b,∴ A b.在平面 α内过点 A作直线 c∥ b.根据公理 4 ,a∥ c,这和 a∩ c=A矛盾 ,所以 a∩α=A不可能 .∴a∥ α.”这一经典证法是多年来许多教材所选用的证明方法 .这种证… 相似文献
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高中《立体几何》(必修本)P_(117)总复习参考题第3题.如图1,AB 和平面α所成的角为θ_1,AC在平面α内,AC 和 AB 的射影AB′成角θ_2,设∠BAC=θ.求证:cosθ_1·cosθ_2=cosθ.本题只要利用三垂线定理(或逆定理)便可证明.由此不难得到下面两个结论:(1)公式成立的充要条件为角θ_1,θ_2所在的 相似文献
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在高中立体几何课本中,有一道习题如下:如图,AB和平面a所成的角是θ_1,AC在平面a内,AC和AB的射影AB′成θ_2角,设∠BAC=θ,求证:cosθ=cosθ_1cosθ_2 (1) 运用公式(1),需具备如下条件: 在三面角中,若两个面角所在的平面成直二面角,那么它所对面角的余弦等于这两个面角的余弦之积。公式(1)是球面三角中三面角余弦定理的特殊情 相似文献
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本刊1990年第3期刊登的《一道值得重视的立体几何习题》一文,介绍了习题: “AB和平面α所成的角是θ_1,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′成角θ_1,设∠BAC=θ,求证 cosθ_1cosθ_2=cosθ(*)~n的结论的广泛应用,读后颇受启发。但美中不足的是(*)式没有涉及二面角,如图1,若在α内过B′作B′D⊥AC,D为垂足,则 相似文献
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现行高中立几课本总复习参考题第3题为: 如图,AB和平面α所成的角是θ_1,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′成角θ_2,设∠BAC=θ,求证:cosθ_1·cosθ_2=cosθ。如果把θ_1、θ_2、θ看作是以A为顶点的三个面角,该命题也可叙述为:在三面角中,如果两个面角所在平面互相垂直,那么这两个角的余弦之积等于第三个面角的 相似文献
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高中数学教材中角的概念很多,并且各种角的取值范围往往不同,学生很容易混淆。而数学习题中涉及角的概念的有各种类型,例如: 1.已知:平面α∩平面β=c,a(?)α,且a上c,b(?)β,且b上c,α与β所成的角等于(2π)/3,求a与b所成的角。 2.(选择题)复数sin50°-icos0°的幅角的主值是(A)50°;(B)40°;(C)320°;(D)220°。 3.(选择题)直线X 2~(1/2)y-1=0的倾斜角是(A)π/4;(B)arctg(2~(1/2))/2;(C)arctg(-(2~(1/2))/2);(D)(3π)/4;(E)π-arctg(3~(1/2))/2。要准确回答以上问题,就必须对有关角的概念 相似文献
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88年全国高中数学联赛一(4)题: 已知三个平面α,β,Υ,每两个平面之间的夹角是θ,且α∩β=α,β∩Υ=b,Υ∩α=C.若有命题甲:θ>π/3,命题乙:a,b,c相交于一点,则 (A)甲是乙的充分条件但不必要. (B)甲是乙的必要条件但不充分. (C)甲是乙的充分必要条件. (D)(A)、(B)、(C)都不对. 相似文献
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一、三余弦公式及其推论三余弦公式:如图1,PO⊥平面α于O,PA∩α=A,ABα,直线AP与AB成θ角,AP与AO成θ1角,AO与AB成θ2角,则有cosθ=cosθ1cosθ2.证明:如图1,作OB⊥AB于B,连结PB,则PB⊥AB,∠PAB=θ,∠PAO=θ1,∠OAB=θ2,设|PA|=1,则|AO|=cosθ1,|AB|=|AO|cosθ2=cosθ1cosθ2,又|AB|=cosθ,所以cosθ= 相似文献
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在通用教材《立体几何》中有一道这样的习题:AB和平面α所成的角是θ_1,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′成角是θ_2,设∠BAC=θ,求证:cosθ_1·cosθ_2=cosθ。此命题的证明是不难的,因此本文略去。本题是一条很重要的结论,课本中的很多习题都可用本命题解出,用此法比常规解法(指教学参考书中给出的解答) 相似文献