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下面是 2 0 0 2年的一道高考题 :设Ａ、Ｂ是双曲线ｘ2 -ｙ22 =1上的两点 ,点Ｎ( 1 ,2 )是线段ＡＢ的中点 .( 1 )求直线ＡＢ的方程 ;( 2 )如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线交于Ｃ、Ｄ两点 ,那么Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 4点是否共圆 ?第 ( 1 )小题 .应用作差法和中点坐标公式易求得直线ＡＢ的斜率ｋ=1 ,方程为ｘ -ｙ+1 =0 .第 ( 2 )小题 ,解法很多 ,为简化解题过程 ,可绕过求交点 ,直接建立圆的方程 ,证明 4点在这个圆上 .∵ＣＤ ⊥ＡＢ ,且过点Ｎ( 1 ,2 ) ,∴ＣＤ的方程为ｘ +ｙ-3 =0把直线ＡＢ、ＣＤ看成二次曲线 (ｘ-ｙ+1 ) (ｘ +ｙ-3 ) =0 ,这样… 相似文献
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“设而不求”是解析几何中一种常用的重要方法和技巧 ,它能使问题简化 .但如何使用这种方法 ,在使用过程中应注意哪些问题 ,却经常困扰着同学们 .在此 ,笔者愿跟大家谈谈对上述问题的看法与认识 .一、哪些问题适合“设而不求”一般说来 ,解题中涉及到但又不需具体求出的中间量 (称为相关量 )可采取“设而不求” .1 巧设相关点例 1 过圆ｘ2 +ｙ2 =ｒ2 外一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )作圆的两切线ＰＡ、ＰＢ ,Ａ、Ｂ为切点 ,求连结Ａ、Ｂ两切点的直线方程 .解 设Ａ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则切线ＰＡ的方程为 ｘ1 ｘ + ｙ1 ｙ=ｒ2 ,切线Ｐ… 相似文献
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中点问题是解析几何中的重点、热点问题 .本文给出它的一种处理方法 :若Ｍ是线段ＡＢ的中点 ,且Ｍ点的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,则可设Ａ(ｘ0 +ｍ ,ｙ0 +ｎ) ,Ｂ(ｘ0 -ｍ ,ｙ0 -ｎ) (ｍ ,ｎ∈Ｒ) ,再结合题目中的其它条件进行解题 ,是一种行之有效的方法 ,以下分别举例加以说明 .1 判断直线 (或曲线 )的存在性例 1 已知双曲线 ｘ24 - ｙ22 =1,问是否存在直线ｌ,使Ｎ(1,12 )为直线ｌ被双曲线所截弦ＡＢ的中点 .若存在 ,求出直径ｌ的方程 ;若不存在请说明理由 .解 由题意得Ｎ(1,12 )为弦ＡＢ的中点 ,可设Ａ(1+ｍ ,12 +ｎ) ,Ｂ(1-ｍ ,12 -ｎ) … 相似文献
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在圆锥曲线中 ,求弦长为定值的动弦中点的轨迹方程是解析几何中比较棘手的问题 ,解题的方法较多 ,但运算过程繁琐复杂 ,学生往往难以入手 .本文归纳一种解题方法———角参变量法 ,可以大大地减少计算量 ,简缩推理过程 .下面简述其解题的基本思想及解题规律 .设圆锥曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0的弦Ｐ1Ｐ2 的长为ｌ ,则可设Ｐ1(ｘ ｌ2 ｃｏｓα ,ｙ ｌ2 ｓｉｎα) ,Ｐ2 (ｘ - ｌ2 ｃｏｓα ,ｙ - ｌ2 ｓｉｎα) ,其中α是直线Ｐ1Ｐ2 的倾斜角 ( 0≤α <π) .由点Ｐ1,Ｐ2 在圆锥曲线上 ,则Ｆ(ｘ ｌ2 ｃｏｓα ,ｙ ｌ2 ｓｉｎα) =0 ,Ｆ(ｘ - ｌ… 相似文献
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如何求曲线关于直线对称的方程呢 ?我们认为从曲线关于直线对称的本质出发 ,巧用平移从一个全新的角度来求曲线关于直线对称的方程 ,是解决该类问题的一种有效的方法 .下面举例说明 .一、巧设平移变换求曲线关于直线对称的方程 .例 1 求曲线Ｃ :3ｘ2 ｙ2 =4关于直线Ｌ :ｙ=ｘ 2对称的方程 .解 :设要求的曲线上任意一点Ｍ (ｘ ,ｙ) ,它关于Ｌ对称点为Ｍ′ ,令变换 :ｘ′=ｘ 2ｙ′=ｙ 则在该变换下 :Ｍ的坐标变成Ｍ(ｘ′-2 ,ｙ′) ,Ｌ的方程变成 :ｙ′ =ｘ′点 ,(ａ ,ｂ)关于直线ｙ =ｘ对称的点为 (ｂ ,ａ) ,∴Ｍ′的坐标为 (ｙ′ -2 ,ｘ… 相似文献
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在新编高中数学教材中增加了向量一章后 ,向量的坐标可用其起点、终点的坐标来表示 ,使向量与平面解析几何有了必然的联系 ,特别是两向量垂直与平行的充要条件 ,给求曲线的轨迹方程带来了极大的方便 ,使解题过程由复杂而变为简单 ,下面举几例来说明向量在求曲线方程时的简单应用 :例 1 过定点Ｍ ( 2 ,1)引动直线ｌ,ｌ与ｘ轴、ｙ轴分别交于Ａ、Ｂ两点 ,求线段ＡＢ中点Ｐ的轨迹方程 .分析 以往解析几何中 ,设过点 ( 2 ,1)的直线的斜率为ｋ ,由点斜式得直线ｌ的方程为 :ｙ- 1=ｋ(ｘ - 2 ) ,然后分别令ｘ=0 ,ｙ=0 ,求出Ａ、Ｂ两点的坐标 ,再设… 相似文献
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例 1 已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明 设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2 在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明 设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ… 相似文献
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严碧友 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):18-19
我们知道 ,ａｓｉｎα+ｂｃｏｓα =ａ2 +ｂ2 ｓｉｎ(α +φ) ,其中 φ角所在象限由ａ、ｂ的符号确定 ,φ角的值由ｔａｎφ =ｂａ 确定 ,这个公式称为辅助角公式 .该公式在解题中有广泛的应用 .一、求最值例 1 求函数 ｙ =3ｓｉｎ(ｘ +2 0°) +5ｓｉｎ(ｘ +80°)的最大、最小值 .解 :令θ =ｘ +2 0°,则ｙ =3ｓｉｎθ +5ｓｉｎ(θ +6 0°) =3ｓｉｎθ+512 ｓｉｎθ+32 ｃｏｓθ =112 ｓｉｎθ +52 3ｃｏｓθ=7ｓｉｎ(θ +φ) .∴ ｙ的最大、最小值分别为 7、- 7.二、求值例 2 若函数ｆ(ｘ) =ｓｉｎ2ｘ +ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- … 相似文献
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在平面解析几何中 ,关于平行直线有如下结论 :设有两条平行直线ｌ1:Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=0和ｌ2 :Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 =0 ,则到这两条直线距离相等的直线方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0 .证明 设Ｐ(ｘ ,ｙ)是所求直线上任一点 ,由题设以及点到直线的距离公式 ,有｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ1｜Ａ2 Ｂ2 =｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ｜Ａ2 Ｂ2 . 因为ｌ1与ｌ2 在点Ｐ的两侧 ,所以有Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=- (Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ) ,即 Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0为所求的直线方程 .运用该结论可以得到一种求直线对称点的新方法 .例 已知Ａ(- 2 ,4 ) ,求它关于直线ｌ:2ｘ- ｙ -1=0的对… 相似文献
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我们知道 ,圆与椭圆的参数方程与三角函数有密切的联系 .对一些具有平方和形式的问题 ,利用圆与椭圆的参数方程 ,能使问题的解决简便快捷 .一、求轨迹问题例 1 已知点Ｐ是圆ｘ2 + ｙ2 =16上的一个动点 ,点Ａ是ｘ轴上的定点 ,坐标为 (12 ,0 ) ,当点Ｐ在圆上运动时 ,线段ＰＡ的中点Ｍ的轨迹是什么 ?解 圆ｘ2 +ｙ2 =16的参数方程为ｘ =4ｃｏｓθ ,ｙ=4ｓｉｎθ (θ为参数 ) .设动点Ｐ的坐标为 (4ｃｏｓθ ,4ｓｉｎθ) .由中点坐标公式 ,得点Ｍ的轨迹的参数方程为ｘ =6+ 2ｃｏｓθ ,ｙ=2ｓｉｎθ (θ为参数 ) .因此线段ＰＡ的中点Ｍ的轨迹是以… 相似文献
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应用 1:利用导数的几何意义解题函数 ｙ =ｆ(ｘ)在ｘ0 处的导数的几何意义 ,就是曲线 ｙ =ｆ(ｘ)在点Ｐ(ｘ0 ,ｆ(ｘ0 ) )处的切线的斜率 .例 1 若抛物线ｙ =4ｘ2 上的点Ｐ到直线ｙ =4ｘ - 5的距离最短 ,则点Ｐ的坐标为 . 解 :在抛物线 ｙ =4ｘ2 上求一点Ｐ到直线ｙ =4ｘ - 5的距离为最短 ,即找一点Ｐ使过该点的切线与直线 ｙ =4ｘ - 5平行 .对函数ｙ =4ｘ2 求导 ,得 ｙ′ =8ｘ ,所以曲线上任一点的切线斜率ｋ =8ｘ .令 8ｘ =4 ,求出ｘ=12 ,代入抛物线方程得ｙ=1.故Ｐ 12 ,1.应用 2 :利用导数求函数的单调区间一般地 ,设函数ｙ =ｆ(ｘ)在… 相似文献
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解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点 ,而其中的计算是困难的 .如何避免求交点 ,从而简化计算 ,也就成了处理这类问题的难点与关键 .下面介绍一种策略———设而不求 ,这实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用 .一、与中点弦及弦的中点有关的问题例 1 过点Ａ(2 ,1 )的直线与双曲线ｘ2 -ｙ22 =1交于Ｍ、Ｎ两点 ,求弦ＭＮ的中点Ｐ的轨迹方程 .解 :设Ｍ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｎ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则ｘ21 -ｙ21 2 =1 ,ｘ22 -ｙ222 =1 ,两式作差并整理 ,得ｙ1 -ｙ2ｘ1 -ｘ2 =2 ｘ1 ｘ2ｙ1 ｙ2 .设弦ＭＮ的中点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,又ｋＭＮ =ｋ… 相似文献
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杜纪强 《中学生数理化(高中版)》2003,(1):16-18
一、直接由题设得不等关系 ,求得结果若问题中给出了某相关参数的取值范围 ,而所求参数依赖于已知参数 ,则可先建立起它们之间的关系 ,再利用已知参数的范围求得未知参数的范围 ,从而达到解决问题的目的 .例 1 已知双曲线Ｃ :ｘ2 + 1-ｔ2ｔ2 ｙ2 =1(ｔ>1)的右支分别与ｘ轴及直线ｘ + ｙ =0相交于Ａ、Ｂ两点 .以Ａ为焦点 ,对称轴是ｘ轴且开口向左的抛物线经过点Ｂ ,设抛物线的顶点为Ｍ .求当双曲线的一条渐近线的斜率在 415 ,+∞ 上变化时 ,直线ＢＭ的斜率的变化范围 .解 :由ｙ=-ｘ ,ｘ2 + 1-ｔ2ｔ2 ｙ2 =1,得Ｂ(ｔ,-ｔ) .设Ｍ (ｍ ,0 ) ,由… 相似文献
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弦的中点是沟通弦端点、弦的斜率、弦长以及与弦相关的对称问题、轨迹问题的“血管”和“神经” ,灵活利用弦中点的“动”、“静”规律 ,构造动弦、定弦处理与弦有关的问题 ,奇特巧妙、简捷新颖 .本文就这类问题给以归类例析 ,供参考 .曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于点Ｍ (ｘ0 ,ｙ0 )对称的曲线方程是ｆ( 2ｘ0 -ｘ ,2ｙ0 -ｙ) =0 ,两式相减得ｆ(ｘ ,ｙ) -ｆ( 2ｘ0 -ｘ ,2 ｙ0 - ｙ) =0 . ( 1)此即为以Ｍ为中点的弦所在直线方程 ,简称“中点弦方程” .以此弦作为解题模式的思想方法简称为“中点造弦法” .由 ( 1)易得几种常见曲线ｂ2 ｘ2 ±ａ2 ｙ2 … 相似文献
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大家都知道 ,过两曲线ｆ1(ｘ ,ｙ) =0 ,ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0的支点的曲线系方程为ｆ1(ｘ ,ｙ) λｆ2 (ｘ,ｙ) =0 (λ∈Ｒ) .利用它来处理解几中过两曲线交点的某些问题显得特别方便 ,但是运用曲线系方程时应注意以下两个问题 .1 应判定解的存在性应判定解的存在性 ,是指解题之前首先应判定曲线ｆ1(ｘ,ｙ) =0与ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0是否有交点 .如果有交点 ,则可用曲线系方程解之 ;如果无交点 ,说明本题无解 ,否则就可能将无解题求出解来 .例 1 求过两圆ｘ2 ｙ2 - 2ｘ - 3=0和ｘ2 ｙ2- 10ｘ 2ｙ 2 5 =0的两个交点的直线方程 .解 过两圆交点的曲… 相似文献
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有关圆锥曲线弦的二端点与原点连线的斜率问题 ,涉及解析几何中许多重要的知识点 ,在各种考试的试题中经常出现 .若用常规方法解决 ,运算量大、过程冗繁 .本文通过实例介绍这类问题的一种简捷解法 .例 1 (1993年上海市高考试题 )抛物线 ｙ=- 12 ｘ2 与过点Ｍ(0 ,- 1)的直线ｌ相交于Ａ、Ｂ两点 ,Ｏ为坐标原点 .若直线ＯＡ与ＯＢ的斜率之和为1,求直线ｌ的方程 .解 设直线ｌ的方程为 ｙ =ｋｘ- 1,即 1=ｋｘ-ｙ .代入抛物线方程 2 ｙ· 1+ｘ2 =0得 2ｙ(ｋｘ- ｙ) +ｘ2 =0 .整理后两边同时除以ｘ2 ,有 2 (ｙｘ) 2 - 2ｋ· (ｙｘ) - … 相似文献
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王艳平 《中学生数理化(高中版)》2003,(Z1)
解析几何是用代数方法研究几何问题的数学分支,题目可能涉及到代数、几何、三角等各种数学知识,这就决定了一个解析几何问题可能有不同的解法.解析几何题的一题多解会有利于提高思维的灵活性,进而有利于提高解决数学综合问题的能力.例 如图,抛物线ｘ2=4ｙ,过定点Ｐ(0,2)作一条直线交抛物线于Ｍ、Ｎ两点.求弦ＭＮ的中点的轨迹方程.解法1:设过Ｐ点的任意一条弦ＭＮ的中点为Ｑ(ｘ,ｙ),且Ｍ(ｘ1,ｙ1),Ｎ(ｘ2,ｙ2),则弦ＭＮ的斜率必然存在∴ ｘ21=4ｙ1,ｘ22=4ｙ2,ｘ1+ｘ2=2ｘ,ｙ1+ｙ2=2ｙ.①②③④①-②,得(ｘ1+ｘ2)(ｘ1-ｘ2)=4(ｙ1-ｙ2),ｙ1-… 相似文献
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构造二次函数解答三角方程或三角不等式中求所含参数取值问题 ,是一种有效的方法 .举例说明如下 :例 1 (2 0 0 1年北京市中学生数学竞赛题 )若关于ｘ的方程ｓｉｎ2 ｘ+ｓｉｎｘ +ａ=0有实数解 ,求实数ａ的最大值与最小值的和 .分析 如果把ｓｉｎ2 ｘ+ｓｉｎｘ +ａ=0单纯看作一个关于ｓｉｎｘ的方程 ,用判别式和求根公式来求解 ,则十分冗繁 .视ａ为关于ｓｉｎｘ的二次函数 ,则易于求解 .令ｔ=ｓｉｎｘ ,则 -1 ≤ｔ≤ 1 .ａ=-ｔ2 -ｔ=-ｔ+ 122 + 14 .当ｔ=-12 时 ,ａｍａｘ =14 .当ｔ=1时 ,ａｍｉｎ =-2 .∴ａｍａｘ +ａｍｉｎ =-74.例 2 … 相似文献
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直线方程x0x／a^2＋y0y／b^2=1的几何意义 总被引：6，自引：0，他引：6
何才富 《中学数学教学参考》2000,(4):54-55
文 [1]给出了直线方程ｘ0 ｘ ｙ0 ｙ =ｒ2 的三种几何意义 .笔者认为直线方程 ｘ0 ｘａ2 ｙ0 ｙｂ2 =1也有类似的几何意义 .先求经过椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的切线方程 .设切线的斜率为ｋ ,则其方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )或ｙ=ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 .将ｙ的表达式代入椭圆方程 ,得ｘ2ａ2 [ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 ] 2ｂ2 =1.化简并整理为ｘ的二次方程就是(ｂ2 ａ2 ｋ2 )ｘ2 - 2ａ2 ｋ(ｋｘ0 - ｙ0 )ｘ ａ2 (ｋｘ0 -ｙ0 ) 2 -ａ2 ｂ2 =0 . 由于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是切点 ,所以ｘ0 是这个方程的二重实… 相似文献